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1、2023屆高考一輪復(fù)習(xí) 綜合水平測(cè)試B
一、選擇題(共10小題)
1. 設(shè)集合 A=xx?1>0,集合 B=xx≤3,則 A∩B= ??
A. ?1,3 B. 1,3 C. 1,3 D. ?1,3
2. 下列函數(shù)中,滿足“fx+y=fxfy”的單調(diào)遞增函數(shù)是 ??
A. fx=x3 B. fx=3x C. fx=x12 D. fx=12x
3. 若方程 lnx+1+2x?1=0 的根為 x=m,則 ??
A. 00,且 a≠1)的圖象如圖所
2、示,則下列函數(shù)圖象正確的是 ??
A. B.
C. D.
5. “x<0”是“l(fā)nx+1<0”的 ??
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
6. 若關(guān)于 x 的不等式 2kx2+kx?38≤0 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立,則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 ??
A. ?∞,?3∪0,+∞ B. ?∞,?3∪0,+∞
C. ?3,0 D. ?3,0
7. 有下列四種變換方式:
①向左平移 π4,再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 12(縱坐標(biāo)不變);
②橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 12(縱坐標(biāo)不變)
3、,再向左平移 π8;
③橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 12(縱坐標(biāo)不變),再向左平移 π4;
④向左平移 π8,再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 12(縱坐標(biāo)不變).
其中能將正弦曲線 y=sinx 的圖象變?yōu)?y=sin2x+π4 的圖象的是 ??
A. ①和③ B. ①和② C. ②和③ D. ②和④
8. 已知函數(shù) y=log2x2?2kx+k 的值域?yàn)?R,則 k 的取值范圍是 ??
A. 0
4、7 C. 7 D. 17
10. 函數(shù) y=kx+1,?2≤x<02sinωx+φ,0≤x≤8π3 的圖象如圖,則 ??
A. k=12,ω=12,φ=π6 B. k=12,ω=12,φ=π3
C. k=?12,ω=2,φ=π6 D. k=?2,ω=2,φ=π3
二、選擇題(共1小題)
11. 已知函數(shù) fx=ex?e?x2,gx=ex+e?x2,則 fx,gx 滿足 ??
A. f?x=?fx,g?x=gx
B. f?2
5、12. 定義域?yàn)?R 的函數(shù) fx 在 8,+∞ 上是減函數(shù),若函數(shù) y=fx+8 是偶函數(shù),則 ??
A. f6>f7 B. f6>f9
C. f7=f9 D. f7>f10
13. 下列四個(gè)命題正確的是 ??
A. fx=sin2x?π4 的對(duì)稱軸為 x=kπ2+3π8,k∈Z
B. 函數(shù) fx=sinx+3cosx 的最大值為 2
C. 函數(shù) fx=sinxcosx?1 的周期為 2π
D. 函數(shù) fx=sinx+π4 在 ?π2,π2 上是增函數(shù)
四、填空題(共4小題)
14. 已知方程 x3=4?x 的解在 k,k+12 內(nèi),k 是
6、12 的整數(shù)倍,則實(shí)數(shù) k 的值是 ?.
15. 設(shè)函數(shù) fx=1x,x>1?x?2,x≤1 則 ff?4= ?,函數(shù) fx 的值域是 ?.
16. 給出下列命題:
①長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弦所對(duì)的圓心角是 1 弧度的角;
②兩數(shù) y=sin5π2?x 是偶函數(shù);
③正弦函數(shù)在第一象限是增函數(shù);
④關(guān)于函數(shù) fx=4sin2x+π3x∈R,由 fx1=fx2=0 可得 x1?x2 是 π 的整數(shù)倍;
⑤正切函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期是 2π.
其中正確命題的序號(hào)是
7、 ?.
17. 若函數(shù) fx=lg4?k?2x 在 ?∞,2 上有意義,則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 ?.
五、解答題(共6小題)
18. 規(guī)定記號(hào)“?”表示一種運(yùn)算,即 a?b=ab+a+ba,b∈R+.若 1?k=3.
(1)求 k 的值;
(2)求函數(shù) fx=k?x 的值域.
19. 設(shè)集合 A=xy=log0.5x+14,B=yy=12x,且x≤?1.
(1)求集合 C=xx∈A∪B,且x?A∩B.
(2)設(shè)集合 D=x2?a
8、某公司以每噸 10 萬(wàn)元的價(jià)格銷售某種化工產(chǎn)品,每年可售出該產(chǎn)品 1000 噸.若將該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲 x%,則每年的銷售數(shù)量將減少 mx%,其中 m 為正常數(shù).
(1)當(dāng) m=12 時(shí),該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲百分之幾,可使銷售的總金額最大?
(2)如果漲價(jià)能使銷售總金額增加,求 m 的取值范圍.
21. 設(shè)正數(shù) A,B,C 的常用對(duì)數(shù)分別是 a,b,c,且 a+b+c=0,求證:A1b+1c?B1c+1a?C1a+1b=11000.
22. 已知函數(shù) fx=3sinωx?π3?cosωx?π3ω>0 圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為 π2.
(1)求 fπ8 的值;
9、(2)將函數(shù) y=fx 的圖象向右平移 π6 個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù) y=gx 的圖象,求 gx 在區(qū)間 0,π2 上的單調(diào)性.
23. 已知函數(shù) fx=loga1?mxx?1 是奇函數(shù) a>0且a≠1.
(1)求 m 的值;
(2)判斷 fx 在 1,+∞ 上的單調(diào)性并加以證明;
(3)當(dāng) a>1,x∈1,3 時(shí),fx 的值域是 1,+∞,求 a 的值.
答案
1. B
【解析】本題考查集合的運(yùn)算.由題意得 A=xx>1,則 A∩B=x1
10、3x 為增函數(shù),B項(xiàng)符合條件,故選B.
3. A
【解析】設(shè) fx=lnx+1+2x?1,則 f0=?1<0,f1=ln2+1>0,所以 0
11、 時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)知符合條件,故 k∈?3,0,
故選D.
7. B
【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象變換.依次判斷各選項(xiàng),
① sinx→sinx+π4→sin2x+π4;
② sinx→sin2x→sin2x+π8=sin2x+π4;
③ sinx→sin2x→sin2x+π4=sin2x+π2;
④ sinx→sinx+π8→sin2x+π8,故只有①②符合題意.
8. C
【解析】據(jù)題意可知已知函數(shù)值域?yàn)?R,則必有函數(shù) gx=x2?2kx+k 能取得所有的正值,結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知只需 Δ=2k2?4k≥0 即可,解得 k≥1 或 k≤0.
9. A
【解析】本題
12、考查兩角和與差的三角函數(shù)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用.
由已知易得 cosα=?45,tanα=?34,因此 tanα?π4=tanα?11+tanα=?34?11?34=?7,故選A.
10. A
【解析】由圖象可得 k=12,T=48π3?5π3=2πω,即得 ω=12,將 8π3,?2 代入 y=2sin12x+φ 可得 2sin4π3+φ=?2,取 4π3+φ=3π2 可得 φ=3π2?4π3=π6,故選A.
11. A, B, C
【解析】f?x=e?x?ex2=?ex?e?x2=?fx,g?x=ex+e?x2=gx,故A正確;
fx 為增函數(shù),則 f?
13、2g?2,故B正確;
2fx?gx=2×ex?e?x2?ex+e?x2=2×e2x?e?2x2=2f2x,故C正確;
fx2?gx2=fx+gx?fx?gx=ex??e?x=?1,故D錯(cuò)誤,故選ABC.
12. C, D
【解析】本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用.
由于 y=fx+8 為偶函數(shù),故將其圖象右移 8 個(gè)單位得 y=fx 的圖象,因此 y=fx 的圖象關(guān)于直線 x=8 對(duì)稱,因此 f7=f9,又函數(shù)在區(qū)間 8,+∞ 上為減函數(shù),由單調(diào)性可得 f7=f9>f10,故選CD.
13. A, B
14、
【解析】令 2x?π4=kπ+π2,k∈Z,可得 x=kπ2+3π8,k∈Z,
即函數(shù) fx=sin2x?π4 的對(duì)稱軸為 x=kπ2+3π8,k∈Z,得選項(xiàng)A正確;
由 fx=sinx+3cosx=2sinx+π3 可得函數(shù) fx=sinx+3cosx 的最大值為 2,即選項(xiàng)B正確;
由 fx=sinxcosx?1=12sin2x?1 得該函數(shù)的周期為 π,即選項(xiàng)C不正確;
函數(shù) fx=sinx+π4 在 ?3π4,π4 上是增函數(shù),
在 π4,5π4 上是減函數(shù),即選項(xiàng)D不正確,
故選AB.
14. 1
【解析】fx=x3+x?4,利用定義可證函數(shù) fx 在定義
15、域上是單調(diào)遞增函數(shù),如果有零點(diǎn),只能有一個(gè).
又 f1=?2<0,f32=278+32?4=78>0,
故函數(shù) fx 必然有一個(gè)根在 1,32 上,即 k=1.
15. 12,?3,+∞
【解析】本題考查分段函數(shù)的概念,
f?4=2,ff?4=f2=12,
因?yàn)楫?dāng) x>1 時(shí),1x∈0,1;
當(dāng) x≤1 時(shí),?x?2∈?3,+∞,
所以函數(shù) fx 的值域?yàn)??3,+∞.
16. ②
【解析】①錯(cuò),應(yīng)為長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角為 1 弧度;
②易知 y=sin5π2?x=cosx 為偶函數(shù);
③錯(cuò),正弦函數(shù)在第一象限不單調(diào),注意第一象限的含義;
④錯(cuò),由于函數(shù)
16、的周期為 π,故函數(shù)兩零點(diǎn)間的距離只需為半個(gè)周期,即 π2 的整數(shù)倍即可;
⑤錯(cuò),正切函數(shù)的最小正周期為 π.
綜上可知只有命題②是正確的.
17. ?∞,1
【解析】4?k?2x>0,x∈?∞,2 時(shí),2x∈0,4,
所以 k<1.
18. (1) a?b=ab+a+b?1?k=k+k+1=3?k=1.
??????(2) fx=1?x=x+x+1x≥0.
令 x=tt≥0,則 fx=gt=t2+t+1≥1,
即 fx 的值域?yàn)?1,+∞.
19. (1) 由條件知 0
17、1,
所以 y≥2,即集合 B=2,+∞.
因?yàn)?A=?1,3,B=2,+∞,
所以 A∪B=?1,+∞,A∩B=2,3.
因?yàn)?C=xx∈A∪B,且x?A∩B,
所以 C=?1,2∪3,+∞.
??????(2) 因?yàn)?B∪D=B,
所以 D?B.
當(dāng) D=? 時(shí),
因?yàn)?2?a≥3a,
所以 a≤12;
當(dāng) D≠? 時(shí),2?a<3a,2?a>2,
解得 a>12,a<0, 解集為空集,
所以 a 不存在.
故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ?∞,12.
20. (1) 由題設(shè),當(dāng)價(jià)格上漲 x% 時(shí),銷售總金額為 y=101+x%?10001?mx%0
18、
即 y=?mx2+1001?mx+10000,
當(dāng) m=12 時(shí),y=12?x?502+22500,
當(dāng) x=50 時(shí),ymax=11250.
即該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲 50% 時(shí),銷售總金額最大.
??????(2) 由(Ⅰ)得 y=?mx2+1001?mx+1000000 時(shí),y>10×1000,
即 x>0 時(shí),?mx2+1001?mx+10000>10000,
所以 ?mx+1001?m>0,注意到 m>0,
所以 1001?mm>x,
所以 1001?mm>0,
所以 0
19、 0,1.
21. 令 M=A1b+1c?B1c+1a?C1a+1b,
對(duì)等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得 lgM=1b+1clgA+1c+1algB+1a+1blgC,
因?yàn)?lgA=a,lgB=b,lgC=c,
所以 lgM=a1b+1c+b1c+1a+c1a+1b=b+ca+a+cb+a+bc,
因?yàn)?a+b+c=0,
所以 b+c=?a,a+c=?b,a+b=?c,
所以 lgM=?aa+?bb+?cc=?3,于是 M=11000,
所以得證.
22. (1) fx=2sinωx?π3?π6=2sinωx?π2=?2cosωx.
由條件得 ω=2,
所以 fx=?2cos2
20、x,fπ8=?2.
??????(2) gx=?2cos2x?π3,
令 2kπ?π≤2x?π3≤2kπk∈Z,
解得 kπ?π3≤x≤kπ+π6,
又 x∈0,π2,
所以 gx 在 0,π6 上單調(diào)遞減,
在 π6,π2 上單調(diào)遞增.
23. (1) 因?yàn)?fx 是奇函數(shù),
所以 f?x=?fx 在其定義域內(nèi)恒成立,
即 loga1+mx?x?1=?loga1?mxx?1,
所以 1?m2x2=1?x2 恒成立,
所以 m=?1 或 m=1舍去,
所以 m=?1.
??????(2) 由(I)得 fx=logax+1x?1a>0且a≠1,
設(shè) tx=x+1x?1
21、,任取 x1,x2∈1,+∞,且 x11,x2>1,x10,x2?1>0,x2?x1>0.
所以 tx1>tx2,即 x1+1x1?1>x2+1x2?1,
所以當(dāng) a>1 時(shí),logax1+1x1?1>logax2+1x2?1,
即 fx1>fx2;
當(dāng) 01 時(shí),fx 在 1,+∞ 上是減函數(shù),
當(dāng) 01 時(shí),fx=logax+1x?1 在 1,3 上為減函數(shù),要使 fx 在 1,3 上值域?yàn)?1,+∞,即 logax+1x?1>1,可得 x+1x?1>a,
令 gx=x+1x?1=1+2x?1 在 1,3 上是減函數(shù),
所以 gx∈1+23?1,+∞,
所以 a=1+23?1=2+3,即滿足條件,
所以 a=2+3.
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