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1、實(shí)驗(yàn)三 用雙線性變換法設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器,測控技術(shù)與儀器研究室 指導(dǎo)教師：林曉鋼,實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1. 掌握用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR DF的原理及具體設(shè)計(jì)方法，熟悉用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR DF的計(jì)算機(jī)編程。 2. 觀察用雙線性變換法設(shè)計(jì)的DF的頻響特性，了解雙線性變換法的特點(diǎn)。 3. 熟悉用雙線性變換法設(shè)計(jì)BW和CB型DF的全過程。,實(shí)驗(yàn)原理及方法,為了克服沖激響應(yīng)不變法產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象，這是從S平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換zesT的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的，為了克服這一缺點(diǎn)，產(chǎn)生了雙線性變換法。,雙線性變換法的映射函數(shù)：,分式展開,固定其中一個(gè)變量，則另一個(gè)是線性的?；蛘哒f，這種變換對于s和z是雙線性
2、的。,實(shí)驗(yàn)原理及方法,實(shí)驗(yàn)原理及方法,（1）把s=+j帶入上式得：,因此：,（2）整個(gè)左半平面映射成單位圓的內(nèi)部，因此這是一個(gè)穩(wěn)定的變換。 （3）虛軸以一一對應(yīng)的方式映射成單位圓，因此在頻域中不會出現(xiàn)混疊。,實(shí)驗(yàn)原理及方法,由于幅度為1，把看做的函數(shù)求解，得到：,這說明和的關(guān)系是非線性的，但是沒出現(xiàn)混疊。在把變換為時(shí)產(chǎn)生了非線性畸變。為了克服它帶來的問題，通常要使按上式預(yù)修正，以抵消畸變的影響。,（4）根據(jù)上述變換關(guān)系，可以寫出：,上式就是模擬濾波器和經(jīng)采樣后的數(shù)字濾波器之間的變換關(guān)系。,IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程,設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的一般步驟： 把給出的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的
3、性能指標(biāo) 根據(jù)轉(zhuǎn)換后的性能指標(biāo)，通過濾波器階數(shù)選擇函數(shù)，來確定濾波器的最小階數(shù)N和固有頻率Wn 由最小階數(shù)N得到低通濾波器原型 由固有頻率Wn把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換為低通、高通、帶通、帶阻濾波器 運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器,實(shí)驗(yàn)程序流程（Matlab）,低通濾波器，采樣頻率為1000Hz，通帶臨界頻率fl =200Hz，通帶內(nèi)衰減小于1dB（p=1）；阻帶臨界頻率fh=300Hz，阻帶內(nèi)衰減大于25dB（s=25）。設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器滿足以上參數(shù)。 FS=1000; Fl=200;Fh=300; %通帶、阻帶截止頻率 Rp=1;Rs=25; wp=Fl*2*
4、pi; %臨界頻率采用角頻率表示 ws=Fh*2*pi; %臨界頻率采用角頻率表示 wp1=wp/FS; %求數(shù)字頻率 ws1=ws/FS; %求數(shù)字頻率 OmegaP=2*FS*tan(wp1/2);%頻率預(yù)畸 OmegaS=2*FS*tan(ws1/2);%頻率預(yù)畸 %選擇濾波器的最小階數(shù) n,Wn=buttord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,s); %此處是代入經(jīng)預(yù)畸變后獲得的歸一化模擬頻率參數(shù) bt,at=butter(n,Wn,s); % 設(shè)計(jì)一個(gè)n階的巴特沃思模擬濾波器 bz,az=bilinear(bt,at,FS); %雙線性變換為數(shù)字濾波器 H,W = freqz
5、(bz,az); %求解數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) plot(W*FS/(2*pi),20*log10(abs(H);grid; xlabel(頻率/Hz);ylabel(幅值);,z,p,k=buttap(n); b,a = zp2tf(z,p,k); % 零極點(diǎn)增益模型到傳遞函數(shù)模型的轉(zhuǎn)換 bt,at = lp2lp(b,a,Wn); % 低通到低通的轉(zhuǎn)變,示例結(jié)果,IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程圖,設(shè)計(jì)示例,設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字信號處理系統(tǒng)，它的采樣率為fs=100Hz，希望在該系統(tǒng)中設(shè)計(jì)一個(gè)Butterworth型高通數(shù)字濾波器，使其通帶中允許的最大衰減為0.5dB，阻帶內(nèi)的最小衰減為40dB，通帶上限臨
6、界頻率為40Hz，阻帶下限臨界頻率為30Hz。,MATLAB源程序設(shè)計(jì)如下： fp=40;ft=30;fs=100; rp=0.5;rs=40; wp=fp/(fs/2);ws=ft/(fs/2); %利用Nyquist頻率進(jìn)行歸一化 n,wc=buttord(wp,ws,rp,rs); %求數(shù)字濾波器的最小階數(shù)和截止頻率 b,a=butter(n,wc, high); %設(shè)計(jì)高通數(shù)字濾波器系數(shù)b，a H,W=freqz(b,a,256); %繪出頻率響應(yīng)曲線 plot(W*fs/(2*pi),20*log10(abs(H);grid; xlabel(頻率/Hz);ylabel(幅值);,示例
7、結(jié)果,函數(shù)說明,n,wc=buttord(wp,ws,rp,rs);設(shè)計(jì)任意選頻的巴特沃斯濾波器 對于低通濾波器，wpws; 對于帶通濾波器，wp和ws分別為具有兩個(gè)元素的矢量wp=wp1, wp2和ws=ws1, ws2，并且ws1wp1 wp2ws2; 對于帶阻濾波器，wp和ws分別為具有兩個(gè)元素的矢量，wp=wp1, wp2和ws=ws1, ws2，并且wp1ws1 ws2wp2; b,a=butter(n,wc, high)：設(shè)計(jì)N階高通濾波器，wc為它的3dB邊緣頻率，以為單位。 b,a=butter(n,wc)：當(dāng)wc為具有兩個(gè)元素的矢量wc=w1, w2時(shí)，它設(shè)計(jì)2N階帶通濾波器
8、，3dB通帶為w1 ww2 ，以為單位。 b,a=butter(n,wc, high)：若wc=w1, w2時(shí)，它設(shè)計(jì)2N階帶阻濾波器，3dB通帶為w1 ww2 ，以為單位。,設(shè)計(jì)示例,設(shè)計(jì)一個(gè)CB-型帶通DF，滿足：通帶邊界頻率為800Hz1800Hz，通帶衰耗小于3dB，過渡帶寬30Hz，阻帶衰耗大于15dB，取樣頻率fs=5000Hz。,MATLAB源程序設(shè)計(jì)如下： fp=800,1800;ft=770,1830;fs=5000; rp=3;rs=15; wp=fp/(fs/2);ws=ft/(fs/2); n,wn=cheb2ord(wp,ws,rp,rs); b,a=cheby2(n
9、,rs,wn); H,W = freqz(b,a); plot(W*fs/(2*pi), 20*log10(abs(H);grid; xlabel(頻率/Hz);ylabel(幅值);,示例結(jié)果,IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)函數(shù),注意：在直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的函數(shù)中，采用的是雙線性變換函數(shù)bilinear，如果要用沖激響應(yīng)不變法就得分步進(jìn)行，即采用典型設(shè)計(jì)法。上表中的butter函數(shù)、 cheby1函數(shù)、 cheby2函數(shù)和 ellip函數(shù)，不僅可以設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，而且還可以設(shè)計(jì)模擬濾波器。但設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，截止頻率的單位為弧度/秒，它可以大于1.0。,實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟,1、讀懂所給參考程序，熟悉
10、程序的整體結(jié)構(gòu)和功能。 2、設(shè)計(jì)一個(gè)CB型低通DF，通帶截頻fp=3000Hz，衰耗滿足Apmax=3dB，阻帶截頻fT=3400Hz,衰耗ATmin=31dB,取樣頻率fs=8000Hz。寫出其模擬濾波器方程及數(shù)字濾波器方程。 3、設(shè)計(jì)一個(gè)BW型低通DF，滿足：通帶截頻fp=100Hz，衰耗滿足Apmax=3dB，阻帶截頻fT=400Hz,衰耗ATmin=15dB,取樣頻率fs=2000Hz。寫出其模擬濾波器方程及數(shù)字濾波器方程。 4、設(shè)計(jì)一個(gè)BW型高通DF，滿足：通帶截頻fp=400Hz，衰耗滿足Apmax=3dB，阻帶截頻fT=350Hz,衰耗ATmin=15dB,取樣頻率fs=1000
11、Hz。寫出其模擬濾波器方程及數(shù)字濾波器方程。,實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟,5、設(shè)計(jì)一個(gè)CB型帶通DF，滿足：通帶邊界頻率為100Hz500Hz，通帶衰耗小于3dB，過渡帶寬20Hz，阻帶衰耗大于15dB，取樣頻率fs=2000Hz。寫出其模擬濾波器方程及數(shù)字濾波器方程。 6、人體心電圖信號在測量過程中往往受到工業(yè)高頻干擾，所以必須經(jīng)過低通濾波處理后，才能作為判斷心臟功能的有用信息。下面程序中給出一實(shí)際心電圖信號采樣序列樣本x(n)，其中存在高頻干擾。在實(shí)驗(yàn)中，以x(n)作為輸入序列，濾除其中的干擾成分。我們用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯低通IIR數(shù)字濾波器對上述信號進(jìn)行處理。直接運(yùn)行程序，結(jié)果輸出濾波器幅
12、頻特性曲線圖，有噪聲的心電圖采集信號波形圖和經(jīng)過三級二階濾波器后的心電圖信號波形圖，可以看出低通濾波器除信號中高頻噪聲的濾波效果。,實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求,1、簡述實(shí)驗(yàn)?zāi)康募霸怼?2、給出上述四個(gè)濾波器的頻響特性，并對結(jié)果加以分析。 3、求出上述AF低通原型的H(s)以及H(z)，檢查所設(shè)計(jì)的DF是否滿足要求。 4、根據(jù)對心電信號進(jìn)行處理的程序，寫出用雙線性變換法設(shè)計(jì)的巴特沃斯低通IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)為：在通帶內(nèi)頻率低于0.2時(shí)，最大衰減小于1dB；在阻帶內(nèi)0.3,頻率區(qū)間上，最小衰減大于15dB。 5、與脈沖響應(yīng)不變設(shè)計(jì)法相比較，簡述雙線性變換設(shè)計(jì)法的優(yōu)缺點(diǎn)。,1)模擬濾波器的設(shè)
13、計(jì)函數(shù) 設(shè)計(jì)bessel模擬低通濾波器 z,p,k=besselap(n) %設(shè)計(jì)bessel模擬低通濾波器 設(shè)計(jì)butterworth模擬低通濾波器 z,p,k=buttap(n) %設(shè)計(jì)butterworth模擬低通濾波器 設(shè)計(jì)chebyshevI型模擬低通濾波器 z,p,k=cheb1ap(n,Rp) %設(shè)計(jì)chebyshevI型模擬低通濾波器 %Rp：通帶內(nèi)的波紋系數(shù)，單位分貝 設(shè)計(jì)chebyshevII型模擬低通濾波器 z,p,k=cheb2ap(n,Rs) %設(shè)計(jì)chebyshevII型模擬低通濾波器 %Rs：阻帶內(nèi)的波紋系數(shù)低于通帶Rs分貝 設(shè)計(jì)橢圓模擬濾波器 z,p,k=ell
14、ipap(n,Rp.Rs) %設(shè)計(jì)橢圓模擬濾波器,2）濾波器階數(shù)的選擇 下列函數(shù)除了能選擇模擬濾波器的階數(shù)外，同時(shí)也能選擇數(shù)字濾波器的階數(shù)。 選擇butterworth濾波器階數(shù) 數(shù)字域：n,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) 模擬域：n,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) 選擇chebyshevI型濾波器階數(shù) 數(shù)字域：n,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs) 模擬域：n,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) 選擇chebyshevII型濾波器階數(shù) 數(shù)字域：n,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs) 模擬域：n,Wn=cheb2
15、ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) 選擇橢圓濾波器階數(shù) 數(shù)字域：n,Wn=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs) 模擬域：n,Wn=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) 注意： n：返回符合要求性能指標(biāo)的數(shù)字濾波器或模擬濾波器的最小階數(shù) Wn：濾波器的截至頻率（即3db頻率） Wp：通帶的截至頻率，Ws：阻帶的截至頻率，單位rad/s。且均為歸一化頻率，即。1對應(yīng)弧度。 頻率歸一化：信號處理工具箱中使用的頻率為萊奎斯特頻率，根據(jù)香農(nóng)定理，它為采樣頻率的一半，在濾波器設(shè)計(jì)中的截止頻率均使用萊奎斯特頻率進(jìn)行歸一化。歸一化頻率轉(zhuǎn)換為角頻率，則將歸一化頻率乘以。如果將歸一化頻率轉(zhuǎn)換為H
16、z，則將歸一化頻率乘以采樣頻率的一半。,5直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 1）Butterworth模擬和數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 數(shù)字域：b,a=butter(n,Wn)可設(shè)計(jì)出截止頻率為Wn的n階butterworth濾波器 b,a=butter(n,Wn,ftype)當(dāng)ftype=high時(shí)，可設(shè)計(jì)出截止頻率為Wn的高通濾波器；當(dāng)ftypestop時(shí)，可設(shè)計(jì)出帶阻濾波器 z,p,k=butter(n,Wn) zp,k=buter(n,Wn,ftype) A,B,C,D=butter(n,Wn) A,B,C,D=butter(n,Wn,ftype) 模擬域：b,a=butter(n,Wn,s)可設(shè)計(jì)出截止
17、頻率為Wn的n階模擬butterworth濾波器， 其余形式類似于數(shù)字域的。 2）chebyshevI型濾波器（通帶等波紋）設(shè)計(jì) 數(shù)字域：b,a=cheby1(n,Rp,Wn)可設(shè)計(jì)出n階chebyshevI濾波器,其截止頻率由Wn確定，通帶內(nèi)的波紋由Rp確定 b,a=cheby1(n,Rp,Wn,ftype)當(dāng)ftype=high時(shí)，可設(shè)計(jì)出截止頻率為Wn的高通濾波器；當(dāng)ftypestop時(shí)，可設(shè)計(jì)出帶阻濾波器 z,p,k=cheby1(n,Rp,Wn) zp,k= cheby1 (n,Rp,Wn,ftype) A,B,C,D= cheby1 (n,Rp,Wn) A,B,C,D= cheby
18、1 (n,Rp,Wn,ftype) 模擬域：b,a= cheby1 (n,Rp,Wn,s)可設(shè)計(jì)出截止頻率為Wn的n階chebyshevI型模擬濾波器，其余形式類似于數(shù)字域的。,3）chebyshevII型濾波器（阻帶等波紋）設(shè)計(jì) 數(shù)字域：b,a=cheby2(n,Rs,Wn)可設(shè)計(jì)出n階chebyshevI濾波器,其截止頻率由Wn確定，阻帶內(nèi)的波紋由Rs確定 b,a=cheby2(n,Rs,Wn,ftype) 當(dāng)ftype=high時(shí)，可設(shè)計(jì)出截止頻率為Wn的高通濾波器；當(dāng)ftypestop時(shí)，可設(shè)計(jì)出帶阻濾波器 z,p,k=cheby2(n,Rs,Wn) zp,k= cheby2(n,Rs,Wn,ftype) A,B,C,D= cheby2 (n,Rs,Wn) A,B,C,D= cheby2(n,Rs,Wn,ftype) 模擬域：b,a= cheby2(n,Rs,Wn,s)可設(shè)計(jì)出截止頻率為Wn的n階chebyshevII型模擬濾波器，其余形式類似于數(shù)字域的。,
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