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1、
第二十七講 圖形的折疊、剪拼與分割
一頁(yè)普通的紙,童年時(shí)我們用稚氣的雙手把它折成有趣的動(dòng)物,民間藝人可以把它剪成美麗的圖案.折紙與剪紙是最富于自然情趣而又形象生動(dòng)的實(shí)驗(yàn),是豐富想象力與心靈手巧的結(jié)合.
對(duì)圖形進(jìn)行折疊與剪拼,是學(xué)習(xí)幾何不可或缺的重要一環(huán),通過(guò)折疊與剪拼圖形,我們可以發(fā)現(xiàn)一些幾何結(jié)論并知曉這些結(jié)論是怎樣被證明的.
把圖形或部分沿某直線翻折叫圖形的折疊,對(duì)圖形通過(guò)有限次的剪裁再重新拼接成新的圖形叫圖形的剪拼.
解與圖形折疊或剪拼相關(guān)的問題,利用不變量解題是關(guān)鍵,在折疊過(guò)程中,線段的長(zhǎng)度、角的度數(shù)保持不變;在剪拼過(guò)程中,新圖形與原圖形的面積一般
2、保持不變.
例題求解
【例1】 如圖,有一塊直角三角形紙片,兩直角邊AC=6㎝,BC=8㎝,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,則CD等于 .
(南通市中考題)
思路點(diǎn)撥 設(shè)CD=x,由折疊的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等量轉(zhuǎn)換,將條件集中到Rt△BDE中,建立x的方程.
注 圖形折疊與剪拼問題可考壹我們的動(dòng)手操作能力和分析推理能力,解題時(shí)需要把計(jì)算、推理與合情想象結(jié)合起來(lái).
折疊問題可以對(duì)稱觀點(diǎn)認(rèn)識(shí):
(1)折痕兩邊是全等的;
(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被折痕垂直平分.
解折疊問題常用到勾股定理、相似形
3、、方程思想等知識(shí)與方法.
【例2】 如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊,則重疊部分△AFC的面積為( )
A.12 D10 C.8 D.6 (2004年武漢市選拔賽試題)
思路點(diǎn)撥 只需求出AF長(zhǎng)即可.
【例3】 取一張矩形的紙進(jìn)行折疊,具體操作過(guò)程如下:
第一步:先把矩形ABCD對(duì)折,折痕為MN,如圖1;
第二步:再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上,折痕為AE,點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,得Rt△AB'E,如圖2;
第三步:沿EB'線折疊得折痕EF,如圖3
4、.
利用展開圖4探究:
(1)△AEF是什么三角形?證明你的結(jié)論.
(2)對(duì)于任一矩形,按照上述方法是否都能折出這種三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(山西省中考題)
思路點(diǎn)撥 本例沒有現(xiàn)成的結(jié)論,需經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng),從而探究得到結(jié)論.
【例4】如圖,是從邊長(zhǎng)為40cm、寬為30cm的矩形鋼板的左上角截取一塊長(zhǎng)為20cm、寬為10cm的矩形后,剩下的一塊下腳料.工人師傅要將它作適當(dāng)?shù)厍懈?,重新拼接后焊成一個(gè)面積與原下腳料的面積相等,接縫盡可能短的正方形工件.
(1)請(qǐng)根據(jù)上述要求,設(shè)計(jì)出將這塊下腳料適當(dāng)分割成三
5、塊或三塊以上的兩種不同的拼接方案(在圖2和圖3中分別畫出切割時(shí)所沿的虛線,以及拼接后所得到的正方形,保留拼接的痕跡);
(2)比較(1)中的兩種方案,哪種更好一些?說(shuō)說(shuō)你的看法和理由.
(山東省中考題)
思路點(diǎn)撥 拼接后正方形的邊長(zhǎng)為㎝,它恰是以30cm和10cm為兩直角邊的直角三角形的斜邊的長(zhǎng),為此可考慮設(shè)法在原鋼板上構(gòu)造兩直角邊長(zhǎng)分別為30㎝和l0cm的直角三角形,這是解本例的關(guān)鍵.
注 有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不能單純地依賴模仿與記憶,應(yīng)該通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng),形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略,從而使知識(shí)得到
6、內(nèi)化,形成能力.
近年中考中涌現(xiàn)的設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)意的折疊、剪拼與分割等問題,注重對(duì)動(dòng)手實(shí)踐操作、應(yīng)用意識(shí)、學(xué)習(xí)潛能的考查.
【例5】 用10個(gè)邊長(zhǎng)分別為3,5,6,11,17,19,22,23,24,25的正方形,可以拼接成一個(gè)矩形.
(1)求這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬;
(2)請(qǐng)畫出拼接圖.
思路點(diǎn)撥 利用拼接前后圖形面積不變求矩形的長(zhǎng)和寬;運(yùn)用矩形對(duì)邊相等這一性質(zhì)畫拼接圖.
【例6】 如圖,已知△ABC中,∠B=∠C=30°,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)三種不同的分法,將△ABC分割成四個(gè)三角形,使得其中兩個(gè)是全等三角形,而另外兩個(gè)是相似但不全等的直角三
7、角形.請(qǐng)畫出分割線段,標(biāo)出能夠說(shuō)明分法的所得三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)角度數(shù)(或記號(hào)).(畫圖工具不限,不要求證明,不要求寫出畫法) (溫州市中考題)
思路點(diǎn)撥 充分運(yùn)用幾何計(jì)算、推理和作圖,綜合運(yùn)用動(dòng)手操作、空間想象、解決問題.
學(xué)力訓(xùn)練
1. 將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折,如圖所示可得到一條折痕(圖中虛線),繼續(xù)對(duì)折,對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行,連續(xù)對(duì)折三次后,可以得到7條折痕,那么對(duì)折四次可以得到 條折痕,如果對(duì)折n次,可以得到 條折痕.(2002年南寧市中考題)
2.一張直角三角形的紙片,像圖中那樣折疊
8、,使兩個(gè)銳角頂點(diǎn)A、B重合,若∠B=30°,AC=,則折痕DE的長(zhǎng)等于 . (三明市中考題)
3.如圖,將一塊長(zhǎng)為12的正方形紙片ABCD的頂點(diǎn)A折至DC邊上的點(diǎn)E,使DE=5,折痕為PQ,則線段PM= .
4.在△ABC中,已知AB=20,∠A=30°,CD是AB邊的中線,若將△ABC沿CD對(duì)折起來(lái),折疊后兩個(gè)小三角形ACD與三角形BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的,有如下結(jié)論:①AC邊的長(zhǎng)可以等于a;②折疊前的△ABC的面積可以等于;③折疊后,以A、B為端點(diǎn)的線段AB與中線CD平行且相等,其中,正確結(jié)論有 個(gè).
9、
(天津市中考題)
5.將四個(gè)相同的矩形(長(zhǎng)是寬的3倍),用不同的方式拼成一個(gè)大矩形,設(shè)拼得大矩形的面積是四個(gè)小矩形的面積和,則大矩形周長(zhǎng)的值只可能有( )
A.1種 B.2種 C.3種 D.4種 (2003年南昌市中考題)
6.如圖,把△ABC紙片沿DE折疊,當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí),則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變,請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律,你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是( )
A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2
C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠l+∠2)
(北京市海淀區(qū)中考題)
10、7.將一張矩形紙對(duì)折再對(duì)折(如圖),然后沿著圖中的虛線剪下,得到①、②兩部分.將①展開后得到的平面圖形是( )
A.矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形 (陜西省中考題)
8.如圖1,小強(qiáng)拿一張正方形的紙,沿虛線對(duì)折一次得圖2,再對(duì)折一次得圖3,然后用剪刀沿圖3中的虛線剪去一個(gè)角,再打開后的形狀是( ) (濟(jì)南市中考題)
9.如圖,東風(fēng)汽車公司沖壓廠沖壓汽車零件的廢料都是等腰三角形的小鋼板,其中AB=AC,該沖壓廠為了降低汽車零件成本,變廢為寶,把這些廢料再加工成紅星農(nóng)業(yè)機(jī)械廠粉碎機(jī)上的零件,銷售
11、給紅星農(nóng)業(yè)機(jī)械廠,這些零件的形狀都是矩形.現(xiàn)在要把如圖所示的等腰三角形鋼板切割后再焊接成兩種不同規(guī)格的矩形,每種矩形的面積正好等于該三角形的面積,每次切割的次數(shù)最多兩次(切割的損失可忽略不計(jì)).
(1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)兩種不同的切割焊接方案,并用簡(jiǎn)要的文字加以說(shuō)明;
(2)若要把該三角形廢料切割后焊接成正方形零件(只切割一次),則該三角形需滿足什么條件? (十堰市中考題)
10.如圖,ABCD是矩形紙片,E是AB上一點(diǎn),且BE:EA=5:3,EC=15,把△BCE沿折痕EC向上翻折,若點(diǎn)B恰好落在AD邊上,設(shè)這個(gè)點(diǎn)為F,求AB、BC的長(zhǎng).
11.如圖,
12、在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,現(xiàn)將它折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,則折痕的長(zhǎng)是 . (四川省競(jìng)賽題)
12.如圖,一張矩形紙片沿BC折疊,頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A,處,第二次過(guò)A,再折疊,使折痕DE∥BC,若AB=2,AC=3,則梯形BDEC的面積為 .
( “宇振杯”上海市競(jìng)賽題)
13.如圖,將矩形ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起,恰好拼成既無(wú)縫隙又無(wú)重疊的四邊形EFGH,若EH=3,EF=4,那么線段AD與AB的比等于 . ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
14.要剪切如圖l(尺寸單位mm)所示的兩種直角梯形零件,且使兩種零件的數(shù)量相
13、等.有兩種面積相等的矩形鋁板,第一種長(zhǎng)500mm,寬300mm(如圖2);第二種長(zhǎng)600mm,寬250mm(如圖3);可供選用.
(1)填空:為了充分利用材料,應(yīng)選用第 種鋁板,這時(shí)一塊鋁板最多能剪甲、乙兩種零件共 個(gè),剪出這些零件后,剩余的邊角料的面積是 mm2.
(2)畫圖,從圖2或圖3中選出你要用的鋁板示意圖,在上面畫出剪切線,并把邊角余料用陰影表示出來(lái).
15.如圖,EF為正方形ABCD的對(duì)折線,將∠A沿DK折疊使它的頂點(diǎn)A落在EF上的G點(diǎn),則∠DKG為( )
A.15° B.30° C.55° D.75°
14、
16.某班在布置新年聯(lián)歡會(huì)會(huì)場(chǎng)時(shí),需要將直角三角形彩紙裁成長(zhǎng)度不等的矩形彩條,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=30㎝,AB=50cm,依次裁下寬為1㎝的矩形紙條a1,a2,a3,…,若使裁得的矩形紙條的長(zhǎng)都不小于5cm,則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數(shù)是( )
A.24 B.25 C. 26 D.27 (山東省濟(jì)南市中考題)
17.如圖,若將左邊正方形剪成四塊,恰能拼成右邊的矩形,設(shè)a=1,則這個(gè)正方形的面積為( )
A. B. C. D.
(2003年山東省競(jìng)
15、賽題)
18.如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°,沿過(guò)點(diǎn)月的一條直線BE折疊這個(gè)三角形,使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)為D,要使點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn),問在圖中還需添加什么條件?
(1)寫出兩個(gè)滿足邊的條件;
(2)寫出兩個(gè)滿足角的條件;
(3)寫出一個(gè)滿足除邊角以外的其他條件. (黃岡市競(jìng)賽題)
19.如圖,正方形紙片ABCD中,E為BC的中點(diǎn),折疊正方形,使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合,壓平后,得折痕MN,設(shè)梯形ADMN的面積為S1,梯形BCMN的面積為S2,求的值
20.已知一個(gè)三角形紙片ABC,面積為25,BC的長(zhǎng)為l0,∠B、∠C都為銳角,M為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)(M與A、B
16、不重合),過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N,設(shè)MN=x.
(1)用x表示△AMN的面積;
(2)△AMN沿MN折疊,使△AMN緊貼四邊形BCNM(邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內(nèi)),設(shè)點(diǎn)A落在平面BCNM內(nèi)的點(diǎn)A′,△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y.
①用的代數(shù)式表示y,并寫出x的取值范圍.
②當(dāng)x為何值時(shí),重疊部分的面積y最大,最大為多少?