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1、,,方程的根與函數的零點,數學必修1第三章 函數的應用,方程的根與函數的零點,一教材分析,二教法學法分析,三教學過程分析,四評價分析,五教學反思,教材分析,,,關于教材地位與作用的解析,1、第三章“函數與方程”是高中數學的新增內容，是近年來高考關注的熱點. 2、本節(jié)課是在學習了前兩章函數的性質的基礎上，結合函數的圖象和性質來判斷方程的根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程的根的關系以及掌握函數在某個區(qū)間上存在零點的判定方法;是培養(yǎng)學生“等價轉化思想”、“數形結合思想”、“方程與函數思想”的優(yōu)質載體. 3、本節(jié)課為下節(jié)“二分法求方程的近似解”和后續(xù)的 “算法學習”提供了基礎，具有承前啟后
2、的作用.,教材分析,,,關于教學目標的解析,（一）知識目標： 1結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程的根的聯系. 2理解并會用函數在某個區(qū)間上存在零點的判定方法 （二）能力目標： 培養(yǎng)學生自主發(fā)現、探究實踐的能力 （三）情感目標： 在函數與方程的聯系中體驗數學轉化思想的意義和價值.,教材分析,,,關于教學重點、難點的解析,教學重點：了解函數零點的概念，體會函數的零點與方程的根之間的聯系，掌握零點存在的判定條件,教學難點：探究發(fā)現函數零點的存在性.在合情推理中讓學生體會到判定定理的充分非必要性，能利用適當的方法判斷零點的存在或確定零點 .,教法學法分
3、析,關于教法的解析,,關于學法的解析,,,,“將課堂還給學生，讓課堂煥發(fā)出生命的活力” 是進行教學的指導思想，充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用. 采用 “啟發(fā)探究討論”式教學模式.,以培養(yǎng)學生探究精神為出發(fā)點，著眼于知識的形成和發(fā)展，著眼于學生的學習體驗，設置問題，由淺入深、循序漸進，給不同層次的學生提供思考、創(chuàng)造和成功的機會。,教學過程分析,1 設 問 激 疑 創(chuàng) 設 情 境,2 啟 發(fā) 引 導 形 成 概 念,6 知 識 應 用 嘗 試 練 習,3 初 步 運 用 示 例 練 習,4 討 論 探 究 揭 示 定 理,5 觀 察 感 知 例 題 學 習,7 反 思 小 結 培 養(yǎng) 能
4、力,8 課 后 作 業(yè) 自 主 學 習,（一）設問激疑，創(chuàng)設情景,設計意圖:由簡單到復雜，使學生認識到有些復雜的方程用以前的解題方法求解很不方便,需要尋求新的解決方法，讓學生帶著問題學習，激發(fā)學生的求知欲,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,y= x22x3,y= x22x+1,函數,函 數 的 圖 象,方程的實數根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,無實數根,函數的圖象 與x軸的交點,(1,0)、(3,0),(1,0),無交點,x22x3=0,,,,y= x22x+3,（二）啟發(fā)引導，形成概念,(1)y=x2+2x-3與x2+2x-3=0,(2)y=x2+2x+1與x2+2x+1=0
5、,(3)y=x2+2x+3與x2+2x+3=0,問題2：下列二次函數的圖象與x軸交點和 相應方程的根有何關系？,設計意圖: 有利于培養(yǎng)學生思維的完整性,也為學生歸納方程與函數的關系打下基礎,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函數y= ax2 +bx +c(a0)的圖象,判別式 =b24ac,0,=0,0,函數的圖象 與 x 軸的交點,有兩個相等的 實數根x1 = x2,沒有實數根,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),沒有交點,兩個不相等 的實數根x1 、x2,問題3:二次函數y=ax2+bx+c (a0)的圖象與x軸交點和相應一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有何關
6、系?,結論:,二次函數圖象與x軸交點的橫坐標 就是相應方程的實數根。,（二）啟發(fā)引導，形成概念,設計意圖：把具體的結論推廣到一般情況,向學生滲透“從最簡單、最熟悉的問題入手解決較復雜問題”的思維方法,培養(yǎng)學生的歸納能力,對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點。,方程f(x)=0有實數根,函數零點的定義：,等價關系,（二）啟發(fā)引導，形成概念,設計意圖：利用辨析練習，來加深學生對概念的理解目的要學生明確零點是一個實數，不是一個點. 引導學生得出三個重要的等價關系，體現了“轉化”和“數形結合”的數學思想，這也是解題的關鍵 ,,,,設計意圖：鞏固函數零點的求法
7、，滲透二次函數以外的函數零點情況進一步體會方程與函數的關系,（三）初步運用，示例練習,（四）討論探究，揭示定理,探究:在什么情況下，函數f（x）在區(qū)間 （a，b）一定存在零點呢？,設計意圖：從現實生活中的問題，讓學生體會動與靜的關系，系統(tǒng)與局部的關系. 將現實生活中的問題抽象成數學模型，進行合情推理，將原來學生只認為靜態(tài)的函數圖象，理解為一種動態(tài)的過程。 由原來的圖象語言轉化為數學語言。培養(yǎng)學生的觀察能力和提取有效信息的能力。體驗語言轉化的過程。,1.如果把函數比作一部電影，那么函數的零點就像是電影的一個瞬間，一個鏡頭。有時我們會忽略一些鏡頭，但是我們仍然能推測出被忽略的片斷?，F在我有兩組
8、鏡頭（下圖），哪一組能說明他的行程一定曾渡過河？,2.將河流抽象成x軸，將前后的兩個位置視為A、B兩點。請問當A、B與x軸怎樣的位置關系時，AB間的一段連續(xù)不斷的函數圖象與x軸一定會有交點？,3.A、B與x軸的位置關系，如何用數學符號（式子）來表示？,用f（a）f（b）<0來表示,觀察二次函數f(x)=x22x3的圖象:,2,1 f(2)0 f(1)<0 f(2)f(1)<0 （2,1）x1 x22x30的一個根,2,4 f(2)0 f(2)f(4)<0 （2,4）x3 x22x30的另一個根,觀察對數函數f(x)=lgx的圖象:,0.5 , 1.5 f(0.5)0 f(0.5)f(1.
9、5)<0 （0.5 , 1.5) x1 lgx=0的一個根.,（四）討論探究，揭示定理,問題4：函數yf(x)在某個區(qū)間上是否一定 有零點？怎樣的條件下，函數yf(x)一定 有零點？,設計意圖：通過小組討論完成探究，教師恰當輔導，引導學生大膽猜想出函數零點存在性的判定方法.這樣設計既符合學生的認知特點，也讓學生經歷從特殊到一般過程.,,,設計意圖：引導學生理解函數零點存在定理,分析其中各條件的作用，并通過特殊圖象來幫助學生理解,將抽象的問題轉化為直觀形象的圖形，更利于學生理解定理的本質,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（四）討論探究，揭示定理,（四）討論探究，揭示定理,設計意圖：通過
10、反饋練習,使學生初步運用定理來解決“函數零點存在或所在區(qū)間”這一類問題,引導學生觀察圖象的單調性以及在每一個單調區(qū)間的零點情況，得出相應的結論，為后面的定理應用作好鋪墊,反饋練習:,練習1、觀察下表，分析函數 在定義域內是否存在零點？,練習2、求證：方程5x2-7x-1=0的一個根在區(qū)間(-1,0)內，另一個根在區(qū)間(1,2)內。,變式：若函數y=5x2-7x-1在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且函數y=5x2-7x-1在(a,b)內有零點，則f(a)f(b)的值( ) A、大于0 B、小于0 C、無法判斷 D、等于零,（2）函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點 f(a)
11、f(b)<0。,總結：函數y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線： （1） f(a)f(b)<0 函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點；,,,由表3-1和圖3.13可知,f(2)0，,即f(2)f(3)<0，,說明這個函數在區(qū)間(2,3)內 有零點。,由于函數f(x)在定義域 (0,+)內是增函數，所以 它僅有一個零點。,解：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應值表（表3-1）和圖象,4,1.3069,1.0986,3.3863,5.6094,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,例2 求函數f(x)=lnx+2x6的零點個數。,1,2,3,4,5,
12、6,7,8,9,x,f（x）,,（五）觀察感知，例題學習,設計意圖:引導學生思考如何應用定理來解決相關的具體問題，接著讓學生利用計算器完成對應值表，然后利用函數單調性判斷零點的個數，并借助函數圖象對整個解題思路有一個直觀的認識.,問題5：你能判斷函數,的單調性，并給出相應的證明嗎？判斷方法：,（六）知識應用，嘗試練習,2.利用函數的圖象，指出下列函數零點所在的區(qū)間：,（1）f(x)= x33x+5；,（2）f(x)=2x ln(x2)3；,（3）f(x)=ex1+4x4;,,,,設計意圖:對新知識的理解需要一個不斷深化完善的過程，通過練習，進行數學思想方法的小結，可使學生更深刻地理解數學思想方
13、法在解題中的地位和應用，同時反映教學效果，便于教師進行查漏補缺.,（七）反思小結，培養(yǎng)能力,1你能說說二次函數的零點與一元 二次方程的根的聯系嗎？ 2如果函數圖象在區(qū)間a,b上是連 續(xù)不斷的，那么在什么條件下， 函數在(a,b)內有零點？,設計意圖： 通過師生共同反思，優(yōu)化學生的認知結構，把課堂教學傳授的知識較快轉化為學生的素質.,問題6：,內容小結：,1函數零點的定義 2等價關系 3函數的零點或相應方程的根的存 在性以及個數的判斷,作業(yè)：,（八）課后作業(yè)，自主學習,設計意圖:鞏固學生所學的新知識，將學生的思維向外延伸，激發(fā)學生的發(fā)散思維達到熟練使用零點定理的目的（沒有圖像的情況下）
14、，同時為下一節(jié)課作好鋪墊。,,,,,板書設計,評價分析,,,本節(jié)課的教學通過提出問題，引導學生發(fā)現問題，經歷思考交流概括歸納概念，由問題的提出進一步加深理解；這一過程能夠培養(yǎng)學生發(fā)現問題、分析問題、解決問題的能力。 加強過程性評價，創(chuàng)設公平、平等、寬松、積極向上的課堂環(huán)境，這就要求對學生的語言行為及時地給予肯定性的表揚和鼓勵，充分暴露思維，及時矯正，調整思路。,教學反思,,,1. 逐層鋪墊，降低難度,由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形,2. 恰當使用信息技術,恰當地使用多媒體和計算器，讓學生直觀形象地理解問題，了解知識的形
15、成過程.,3. 采用“啟發(fā)探究討論”教學模式,精心設置一個個問題鏈，給每個學生提供思考、創(chuàng)造、表現和成功的機會.,謝謝指導！,解：作出函數的圖象，如下：,,因為f(1)=10,f(1.5)=2.875<0, 所以f(x)= x33x+5在區(qū)間(1, 1.5) 上有零點。又因為f(x)是(,） 上的減函數，所以在區(qū)間(1, 1.5)上有 且只有一個零點。,(1)f(x)= x33x+5,,解：作出函數的圖象，如下：,,因為f(3)30,所以f(x)= 2x ln(x2)3在區(qū)間(3,4)上有零點。又因為 f(x) =2x ln(x2)3是(2，）上的增函數， 所以在區(qū)間(3,4)上有且只有一個零點。,(2)f(x)=2x ln(x2)3,,解：作出函數的圖象，如下：,因為f(0)3.630,所以f(x)= ex1+4x4 在區(qū)間(0,1)上有零點。又因 為f(x) = ex1+4x4是( ， ）上的增函數，所以在 區(qū)間(0,1)上有且只有一個零 點。,(3)f(x)=ex1+4x4,,,
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