山東省2013年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習 專題升級訓(xùn)練10 數(shù)列的求和及其綜合應(yīng)用 理

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1、專題升級訓(xùn)練10　數(shù)列的求和及其綜合應(yīng)用 (時間：60分鐘　滿分：100分) 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分) 1．等差數(shù)列{an}滿足a2＋a9＝a6，則S9＝(　　)． A．－2 B．0 C．1 D．2 2．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2 010，－＝6，則S2 012＝(　　)． A．2 011 B．2 010 C．2 012 D．0 3．已知Sn是非零數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝2an－1，則S2 012＝(　　)． A．1－22 012 B．22 012－1 C．

2、22 011－1 D．22 012 4．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，則當Sn取最大值時n的值是(　　)． A．5 B．6 C．7 D．8 5．(2011·大綱全國高考，理4)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝(　　)． A．8 B．7 C．6 D．5 6．若向量an＝(cos 2nθ，sin nθ)，bn＝(1,2sin nθ)(n∈N*)，則數(shù)列{an·bn＋2n}的前n項和Sn＝(　　)． A．n2 B．n2

3、＋2n C．2n2＋4n D．n2＋n 二、填空題(本大題共3小題，每小題6分，共18分) 7．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，則S10的值為__________． 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，且對任意的正整數(shù)m，n都有am＋n＝am·an，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝__________. 9．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項為2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝__________. 三、解答題(本大題共3小題，共46分．解答應(yīng)寫出必要的

4、文字說明、證明過程或演算步驟) 10．(本小題滿分15分)(2012·甘肅蘭州診測，20)已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)已知{bn}的前n項和為Sn，且對任意正整數(shù)N*，都有成立． 求證：≤Sn＜1. 11．(本小題滿分15分)已知數(shù)列{an}是公比為d(d≠1)的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列． (1)求d的值； (2)設(shè)數(shù)列{bn}是以2為首項，d為公差的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，試比較Sn與bn的大?。? 12．(本小題滿分16分)(2012·廣東廣州綜合測試，19)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，

5、它的前n項和為Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，求證：≤Tn＜. 參考答案 一、選擇題 1．B　解析：方法一：∵a2＋a9＝a6， ∴a1＋d＋a1＋8d＝a1＋5d，即a1＝－4d. ∴S9＝9a1＋36d＝9×(－4d)＋36d＝0. 故選B. 方法二：由a2＋a9＝a6，得a5－3d＋a5＋4d＝a5＋d， ∴a5＝0. 則S9＝＝9a5＝0，故選B. 2．C　解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 則＝n＋， ∴－＝×6＝3d.∴d＝2. 故Sn＝na1＋n2－n＝n(n＋a1－

6、1)． ∴S2 012＝2 012.故選C. 3．B　解析：∵Sn＝2an－1， ∴Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，兩式相減，得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1， ∴數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列． 由S1＝2a1－1得a1＝1， ∴S2 012＝＝22 012－1. 故選B. 4．B　解析：由a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，兩式相減，得2d＝－6， ∴d＝－3. ∵a5＋a7＝4，∴2a6＝4，即a6＝2. 由a6＝a1＋5d，得a1＝17， ∴an＝a1＋(n－1)×(－3)＝20－3n. 令an＞0，得n＜， ∴前6項和最大，故選B. 5

7、．D　解析：由Sk＋2－Sk＝24，∴ak＋1＋ak＋2＝24， ∴a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝24，∴2a1＋(2k＋1)d＝24. 又∵a1＝1，d＝2，∴k＝5. 6．B　解析：an·bn＋2n＝cos 2nθ＋2sin2nθ＋2n＝(1－2sin2nθ)＋2sin2nθ＋2n＝2n＋1， 則數(shù)列{an·bn＋2n}是等差數(shù)列， ∴Sn＝＝n2＋2n，故選B. 二、填空題 7．110　解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 由題意得 解之得a1＝20，d＝－2， ∴S10＝10×20＋×(－2)＝110. 8．2－　解析：令m＝1，則an＋1＝a1·a

8、n， ∴數(shù)列{an}是以a1＝為首項，為公比的等比數(shù)列． ∴Sn＝＝2－. 9．2n＋1－2　解析：∵an＋1－an＝2n， ∴當n≥2時， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n. 當n＝1時，a1＝2也適合上式， ∴an＝2n(n∈N*)．∴Sn＝＝2n＋1－2. 三、解答題 10．(1)解：∵an＋1＝(n∈N*)， ∴＝＝＋，即－＝. ∴數(shù)列是以＝2為首項，為公差的等差數(shù)列， 故＝2＋＝. ∴an＝. (2)證明：∵bn·＝1， ∴bn＝＝＝－. ∴Sn＝b1＋b2＋…

9、＋bn＝＋＋＋…＋＝1－， ∴≤Sn＜1. 11．解：(1)∵2a3＝a1＋a2，∴2a1d2＝a1＋a1d， ∴2d2－d－1＝0.∵d≠1，∴d＝－. (2)∵bn＝2＋(n－1)·＝－＋， ∴Sn＝＝， ∴Sn－bn＝－＝， ∴n＝1或n＝10時，Sn＝bn；2≤n≤9時，Sn＞bn；n≥11時，Sn＜bn. 12．(1)解：因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列， 所以an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d. 依題意，有即 解得a1＝6，d＝4，或a1＝14(舍去)，d＝0(舍去)， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n＋2(n∈N*)． (2)證明：由(1)可得Sn＝2n2＋4n， 所以＝＝＝. 所以Tn＝＋＋＋…＋＋ ＝＋＋＋…＋＋＝ ＝－. 因為Tn－＝－＜0，所以Tn＜. 因為Tn＋1－Tn＝＞0， 所以數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列， 所以Tn≥T1＝.所以≤Tn＜.