浙江省2013年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題升級(jí)訓(xùn)練5 函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 文

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1、專題升級(jí)訓(xùn)練5　函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 (時(shí)間：60分鐘　滿分：100分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 1．函數(shù)f(x)＝＋a的零點(diǎn)為1，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)． A．－2 B．－ C． D．2 2．已知a是函數(shù)f(x)＝2x－的零點(diǎn)，若0＜x0＜a，則f(x0)的值滿足(　　)． A．f(x0)＝0 B．f(x0)＜0 C．f(x0)＞0 D．f(x0)的符號(hào)不確定 3．函數(shù)f(x)＝2x－x－的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　)． A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．

2、(3,4) 4．已知A，B兩地相距150千米，某人開(kāi)汽車以60千米/時(shí)的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1時(shí)后再以50千米/時(shí)的速度返回A地，汽車離開(kāi)A地的距離x(千米)與時(shí)間t(時(shí))之間的函數(shù)表達(dá)式是(　　)． A．x＝60t B．x＝60t＋50t C．x＝ D．x＝ 5．若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)． A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 6．已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在

3、區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 7．(2012·浙江高考沖刺卷B,10)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的函數(shù)h(x)＝f2(x)＋bf(x)＋有5個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4，x5，則x＋x＋x＋x＋x等于(　　)． A． B．16 C．5 D．15 8．(2012·浙大附中3月月考，16)若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[a，b](a，b為整數(shù))上的值域是[0,1]，則滿足條件的數(shù)對(duì)(a，b)共有(　　)． A．2 013對(duì) B．4 024對(duì) C．4 025對(duì)

4、 D．4 026對(duì) 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分) 9．若函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－1的零點(diǎn)是拋物線x＝ay2的焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則a＝__________. 10．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不為0，則a的最小值為_(kāi)_________． 11．已知y與x(x≤100)之間的部分對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表： x 11 12 13 14 15 … y … 則x和y可能滿足的一個(gè)關(guān)系式是__________． 12．(2012·浙江四校聯(lián)考，16)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)

5、k使得對(duì)于任意x∈D，有f(x＋k)≥f(x)，則稱f(x)為D上的“k調(diào)函數(shù)”．如果定義域是[－1，＋∞)的函數(shù)f(x)＝x2為[－1，＋∞)上的“k調(diào)函數(shù)”，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________． 三、解答題(本大題共4小題，共44分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 13．(本小題滿分10分)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c. (1)若f(－1)＝0，試判斷函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； (2)若?x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，試證明?x0∈(x1，x2)，使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立． 14．(本小題滿分10分)某食

6、品廠進(jìn)行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本為20元，并且每公斤蘑菇的加工費(fèi)為t元(t為常數(shù)，且2≤t≤5)，設(shè)該食品廠每公斤蘑菇的出廠價(jià)為x元(25≤x≤40)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售量q與ex成反比，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價(jià)為30元時(shí)，日銷售量為100公斤． (1)求該工廠的每日利潤(rùn)y元與每公斤蘑菇的出廠價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式； (2)若t＝5，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價(jià)x為多少元時(shí)，該工廠每日的利潤(rùn)最大？并求最大值． 15．(本小題滿分12分)提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到20

7、0輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時(shí)) 16．(本小題滿分12分)(2012·上海七校聯(lián)考，22)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足對(duì)任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，則稱f(x)為“V形函數(shù)”． (1)當(dāng)f(x)＝x2時(shí)，判斷f

8、(x)是否為V形函數(shù)，并說(shuō)明理由； (2)當(dāng)f(x)＝lg(x2＋2)時(shí)，證明：f(x)是V形函數(shù)； (3)當(dāng)f(x)＝lg(2x＋a)時(shí)，若f(x)為V形函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 參考答案 一、選擇題 1．B　解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.故選B. 2．B　解析：分別作出y＝2x與的圖象如圖，當(dāng)0＜x0＜a時(shí)，y＝2x的圖象在圖象的下方，所以f(x0)＜0.故選B. 3．B　解析：由f(0)＝20－0－＜0，f(1)＝2－1－＜0，f(2)＝22－2－＞0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，故選B. 4．D　解析：到達(dá)B地需要

9、＝2.5(小時(shí))，所以當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)，x＝60t； 當(dāng)2.5＜t≤3.5時(shí)，x＝150； 當(dāng)3.5＜t≤6.5時(shí)，x＝150－50(t－3.5)．故選D. 5．C　解析：∵方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根， ∴Δ＝m2－4＞0.∴m2＞4，即m＞2或m＜－2. 6．B　解析：當(dāng)0≤x＜2時(shí)，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1. 根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，由f(x)的最小正周期為2， 可知y＝f(x)在[0,6)上有6個(gè)零點(diǎn)， 又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0， 所以y＝f(x)的圖象在[0,6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為7. 7．D　解析：作出函數(shù)f(x)的圖

10、象可知，方程f(x)＝m，當(dāng)m＝1時(shí)，有三個(gè)不同的根，當(dāng)m＞0，且m≠1時(shí)，有兩個(gè)不同的根．要使關(guān)于x的函數(shù)h(x)＝f2(x)＋bf(x)＋有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則關(guān)于f(x)的方程f2(x)＋bf(x)＋＝0有兩個(gè)不同的根，且有一個(gè)根為f(x)＝1，此時(shí)另一個(gè)根為f(x)＝，由f(x)＝1得到x1＝0，x2＝1，x3＝2，由f(x)＝得到x4＝3，x5＝－1，故選D. 8．C　解析：由0≤≤1，得0≤|x|≤2 012. 則[－2 012,0]?[a，b]?[－2 012,2 012]，或[0,2 012]?[a，b]?[－2 012,2 012]． 因?yàn)閍，b為整數(shù)，故當(dāng)a＝－2 01

11、2時(shí)，b∈{0,1,2，…，2 012}，此時(shí)滿足條件的數(shù)對(duì)(a，b)共有2 013對(duì)； 當(dāng)b＝2 012時(shí)，a∈{－2 012，－2 011，…，0}，此時(shí)滿足條件的數(shù)對(duì)(a，b)共有2 013對(duì)； 但區(qū)間[－2 012,2 012]是重復(fù)的，則滿足條件的數(shù)對(duì)(a，b)總共有4 025對(duì)． 二、填空題 9．　解析：令f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x＝1，于是拋物線x＝ay2的焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0)，因?yàn)閤＝ay2可化為y2＝x，所以解得a＝. 10．1　解析：g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不為零，即f(x)圖象與直線y＝a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不為零，畫出f(x)的圖象可知，

12、a的最小值為1. 11．y(108－x)＝2 12．k≥2　解析：依題意有(x＋k)2≥x2對(duì)于x≥－1恒成立，即2kx＋k2≥0對(duì)于x≥－1恒成立，k＜0顯然不成立，k＞0時(shí)，有－2k＋k2≥0，得k≥2. 三、解答題 13．(1)解：∵f(－1)＝0，∴a－b＋c＝0，b＝a＋c. Δ＝b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2， 當(dāng)a＝c時(shí)，Δ＝0，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)a≠c時(shí)，Δ＞0，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)． (2)證明：令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，則 g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝， g(x2)＝f(x2)

13、－[f(x1)＋f(x2)]＝， ∴g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2＜0.(f(x1)≠f(x2)) ∴g(x)＝0在(x1，x2)內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根，即?x0∈(x1，x2)， 使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立． 14．解：(1)設(shè)日銷量q＝，則＝100，∴k＝100e30， ∴日銷量q＝， ∴y＝(25≤x≤40)． (2)當(dāng)t＝5時(shí)，y＝，y′＝， 由y′＞0，得x＜26，由y′＜0，得x＞26， ∴y在[25,26)上單調(diào)遞增，在(26,40]上單調(diào)遞減， ∴當(dāng)x＝26時(shí)，ymax＝100e4. 當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價(jià)為26元時(shí)，該工廠

14、每日的利潤(rùn)最大，最大值為100e4元． 15．解：(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b. 再由已知得解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得f(x)＝ 當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1 200； 當(dāng)20≤x≤200時(shí)，f(x)＝x(200－x)≤2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立． 所以，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值. 綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333， 即

15、當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/時(shí)． 16．(1)解：∵f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝2x1x2， ∴不滿足對(duì)任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)． ∴當(dāng)f(x)＝x2時(shí)，f(x)不是“V形函數(shù)”． (2)證明：g(x)＝x2＋2的定義域?yàn)镽，且g(x)＝x2＋2＞0. ∵[(x1＋x2)2＋2]－(x12＋2)·(x22＋2)＝－(x1x2－1)2－x12－x22－1＜0， ∴l(xiāng)g[g(x1＋x2)]－[lg g(x1)＋lg g(x2)]＝lg[(x1＋x2)2＋2]－lg[(x12＋2)·(x22＋2)]＜0， ∴對(duì)任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)， ∴f(x)是V形函數(shù)． (3)解：∵f(x)是V形函數(shù)， ∴對(duì)任意x∈R,2x＋a＞0， ∴a≥0. 當(dāng)a＝0時(shí)，顯然成立；當(dāng)a≠0時(shí)，對(duì)任意x1，x2∈R， 有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)， ∴l(xiāng)g(＋a)≤lg(＋a)＋lg(＋a)， 即lg(＋a)≤lg[(＋a)(＋a)]． ∴＋a≤(＋a)(＋a)． ∴1≤＋＋a. ∴a≥1－(＋)． 又＋＞0， ∴a≥1. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{0}∪[1，＋∞)．