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1、3.4.6一元一次方程與實(shí)際問題行程問題------環(huán)形跑道問題,1,運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的一般過程是什么?,1、審題:分析題意,找出題中的數(shù)量及其關(guān)系;,2、設(shè)元:選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)用字母表示(例如x);,3、列方程:根據(jù)相等關(guān)系列出方程;,4、解方程:求出未知數(shù)的值;,5、檢驗(yàn):檢查求得的值是否正確和符合實(shí)際情形,并寫出答案。,審,設(shè),列,解,驗(yàn),6、答:把所求的答案答出來。,答,一、激發(fā)求知欲,2,用一元一次方程分析和 解決實(shí)際問題的基本過程如下:,實(shí)際問題,,,,數(shù)學(xué)問題,,,已知量,未知量,等量關(guān)系,,,一元一次方程,,,方程的解,,,解的合理性,,,實(shí)際問題答案,,,,,,,抽象
2、,分析,列出,求出,驗(yàn)證,合理,3,一、相遇問題的基本題型,1、同時(shí)出發(fā)(兩段),二、相遇問題的等量關(guān)系,2、不同時(shí)出發(fā) (三段 ),4,一、追及問題的基本題型,1、不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā),二、追及問題的等量關(guān)系,2、同地點(diǎn)不同時(shí)出發(fā),,1、追及時(shí)快者行駛的路程慢者行駛的路程相距的 路程,2、追及時(shí)快者行駛的路程慢者行駛的路程或 慢者所用時(shí)間=快者所用時(shí)間+多用時(shí)間,5,二、展示目標(biāo)和任務(wù),6,環(huán)形跑道問題,分類,一、環(huán)形跑道上的追及問題,二、環(huán)形跑道上的相遇問題,同向而行,雙方的速度不同(假設(shè)甲快,乙慢),甲追上乙后,以相同的方式在跑道上多次追上乙。我們把這種問題稱為環(huán)形跑道上的追及問題,背向而行
3、,在跑道的某處相遇,以相同的方式在跑道上多次與乙相遇。我們把這種問題稱為環(huán)形跑道上的相遇問題,三、自主合作與交流,7,環(huán)形跑道問題相遇問題,理論依據(jù),,,,,,,,,,,甲,乙,甲乙在同一地點(diǎn)出發(fā),背向而行(甲快,乙慢),當(dāng)甲與乙第一次相遇時(shí),甲乙共同跑了一圈。由相遇問題,我們有,甲總路程+乙總路程=跑道周長,同樣,我們可以把他們相遇的地點(diǎn)作為起點(diǎn)來看,第二次相遇的時(shí)候,甲乙共同又跑了一圈,甲和乙總共跑了兩圈,有:,甲總路程+乙總路程=跑道周長*2,從而我們可以發(fā)現(xiàn),每相遇一次,甲乙就共同多跑了一圈,因此,相遇的次數(shù)就等于共同跑的圈數(shù)。,甲總路程+乙總路程=跑道周長*N,8,環(huán)形跑道問題追及問
4、題,理論依據(jù),甲乙在同一地點(diǎn)出發(fā),同向而行(甲快,乙慢),當(dāng)甲追上乙時(shí),肯定比乙多跑了一圈。(第一次甲追上乙),,,甲,乙,這時(shí),我們可以看做甲乙在同一地點(diǎn)出發(fā),同向而行,當(dāng)甲再次追上乙時(shí),肯定又比乙多跑了一圈。(第二次追上時(shí)),從而我們可以發(fā)現(xiàn),每追上一次,甲就比乙多跑一圈,因此,追上的次數(shù)就等于多跑的圈數(shù)。,甲總路程-乙總路程=跑道周長,甲總路程-乙總路程=跑道周長+ 1圈周長,甲總路程-乙總路程=跑道周長*N,9,例1、 運(yùn)動(dòng)場的跑道一圈長400m,甲練習(xí)騎自行車,平均每分騎350m,乙練習(xí)跑步,平均每分250m兩人從同一處同時(shí)反向出發(fā),經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇?,10,分析:圓形跑道中的規(guī)
5、律: (第1次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程1圈的長度,(第2次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程2圈的長度,(第3次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程3圈的長度 .,(第n次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程n圈的長度,解:設(shè)經(jīng)過x分鐘首次相遇,則依題意可得 350 x+250 x=400 解得:x= 答:經(jīng)過 分鐘甲、乙相遇。,11,變式1、 若兩人同時(shí)反向出發(fā),且兩人相距100米。問經(jīng)過多少時(shí)間兩人首次相遇?1.相遇問題同時(shí)反向不同地.gsp,變式2、 若兩人從同一處反向出發(fā),且乙先跑1分鐘。問經(jīng)過多少時(shí)間兩人首次相遇?2.相遇問題同地反向慢先跑.gsp,變式3、 若兩人從同一處反
6、向出發(fā),且甲先跑1分鐘。問經(jīng)過多少時(shí)間兩人首次相遇?3.相遇問題同地反向快先跑.gsp,12,例2、 運(yùn)動(dòng)場的跑道一圈長400m,甲練習(xí)騎自行車,平均每分騎350m,乙練習(xí)跑步,平均每分250m兩人從同一處同時(shí)同向出發(fā),經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇?追及問題同時(shí)同地同向.gsp,13,分析:圓形跑道中的規(guī)律: (第1次相遇:)快者跑的路程慢者跑的路程1圈的長度,(第2次相遇:)快者跑的路程慢者跑的路程2圈的長度,(第3次相遇:)快者跑的路程慢者跑的路程3圈的長度 .,(第n次相遇:)快者跑的路程慢者跑的路程n圈的長度,解:設(shè)經(jīng)過x分鐘首次相遇,則依題意可得 350 x-250 x=400 解
7、得:x=4 答:經(jīng)過4分鐘甲、乙相遇。,14,變式1、 甲在后,乙在前,且兩人相距100米。若兩人從同時(shí)同向出發(fā),經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇?1.追及問題同時(shí)同向不同地.gsp,變式2、 甲在前,乙在后,且兩人相距100米。若兩人從同時(shí)同向出發(fā),經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇?2追及問題同時(shí)同向不同地.gsp,變式3、 兩人從同一處同向出發(fā),若乙先跑1分鐘,經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇?3.追及問題同地反向慢先跑.gsp,變式4、 兩人從同一處同向出發(fā),若甲先跑1分鐘,經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇?4.追及問題同地反向快先跑.gsp,15,找等量關(guān)系的方法:,1.從題中的關(guān)鍵語句入手尋找等量關(guān)系。 2.利用某些基本公式尋找等
8、量關(guān)系。 3.從變化的關(guān)系中尋找不變的量,進(jìn)而找到等量關(guān)系。 4.還可以借助圖形、表格、線段圖等分析較復(fù)雜問題中的等量關(guān)系。,四、成果展示,教師點(diǎn)撥,16,【例1】小王、叔叔在400米長的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步,小王每秒跑5米,叔叔每秒跑7.5米。 (1)若兩人同時(shí)同地反向出發(fā),多長時(shí)間兩人首次相遇?,,,(1)反向,相等關(guān)系: 小王路程 + 叔叔路程 = 400,叔叔,小王,17,【例1】小王、叔叔在400米長的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步,小王每秒跑4米,叔叔每秒跑7.5米。 (2)若兩人同時(shí)同地同向出發(fā),多長時(shí)間兩人首次相遇?,,(2)同向,,相等關(guān)系: 小王路程 + 400 = 叔叔路程,叔叔,小王
9、,18,1.小明和爺爺在學(xué)校環(huán)形跑道上晨練,環(huán)形跑道的周長是400米,小明的速度是300米/分鐘,爺爺?shù)乃俣仁?00米/分鐘,有天,小明心里在想要和爺爺賽跑。,(1)他們從同一地點(diǎn)同時(shí)同向起跑,當(dāng)小明第三次追上爺爺?shù)臅r(shí)候,小明笑著對爺爺說:爺爺,我都追上了你三次了,爺爺笑著說:我知道我們跑了多長時(shí)間了!聰明的你,知道從起跑的時(shí)候算起,到小明第三次追上爺爺后,一共用了多長時(shí)間嗎?,五、知識驗(yàn)證提升,19,解:(1)設(shè)小明第三次追上爺爺時(shí),總共用的時(shí)間為X分鐘,300X-200X=4003,解得:X=12,答:小明第三次追上爺爺,總共用的時(shí)間為12分鐘,20,1.小明和爺爺在學(xué)校環(huán)形跑道上晨練,環(huán)
10、形跑道的周長是400米,小明的速度是300米/分鐘,爺爺?shù)乃俣仁?00米/分鐘,有天,小明心里在想要和爺爺賽跑。,(2)這次比賽后,小明疑惑的問爺爺:爺爺,要是我們向相反的方向跑,沒有表,你能知道我們跑了多長時(shí)間嗎?爺爺笑著說:我們就按照平時(shí)跑的速度,只要我知道我們相遇的次數(shù),我就知道我們能跑多少時(shí)間你能幫小明解決這個(gè)疑惑么?,21,(2)解:假設(shè)第三次相遇,設(shè)小明與爺爺?shù)谙嘤龅臅r(shí)間為X分鐘,300X+200X=4003,解得:X=2.4,答:小明和爺爺首次相遇,相遇時(shí)間為2.4分鐘,當(dāng)然,我們也可以利用多次相遇公式甲總路程+乙總路程=跑道周長*N來求相遇的時(shí)間。,22,2. 運(yùn)動(dòng)場一圈為40
11、0米,張森和丁爍一同參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的長跑比賽。已知丁爍然平均每分鐘跑230米,張森每分鐘跑150米。 (1)若兩人從同一處同時(shí)同向起跑,問經(jīng)過多長時(shí)間兩人可以首次相遇? (2)若兩人從同一處同向起跑,且張森先跑2分鐘。問經(jīng)過多長時(shí)間兩人可以首次相遇? (3)若兩人從同一處同時(shí)反向起跑,問經(jīng)過多長時(shí)間兩人可以首次相遇? (4)若兩人從同一處反向起跑,且張森先跑2分鐘。問經(jīng)過多長時(shí)間兩人可以首次相遇?,23,2.小結(jié): 行程問題包括相遇、追擊和飛行、航行的速度問題其基本關(guān)系是:路程=時(shí)間速度,相遇問題的等量關(guān)系:甲行距離+乙行距離=總路程,追擊問題的等量關(guān)系: 1)同時(shí)不同地 : 慢者行的距離+兩者之間的距離=快者行的距離 2)同地不同時(shí): 甲行距離=乙行距離 或 慢者所用時(shí)間=快者所用時(shí)間+多用時(shí)間,順?biāo)嫠膯栴}的等量關(guān)系: 1)順?biāo)穆烦?= 逆水的路程 2)順?biāo)?逆速 = 2水速;順?biāo)?+ 逆速 = 2船速,24,