高中數(shù)學(xué) 3-2第3課時(shí) 空間向量與空間角 活頁規(guī)范訓(xùn)練 新人教A版選修2-1

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1、第3課時(shí) 空間向量與空間角 雙基達(dá)標(biāo) (限時(shí)20分鐘) 1.若平面α的法向量為μ,直線l的方向向量為v,直線l與平面α的夾角為θ,則下列關(guān)系式成立的是 (  ). A.cos θ= B.cos θ= C.sin θ= D.sin θ= 解析 若直線與平面所成的角為θ,直線與該平面的法向量所成的角為β,則θ=90°- β. 答案 D 2.設(shè)直線l與平面α相交,且l的方向向量為a,α的法向量為n

2、,若〈a,n〉=,則l與α所成的角為 (  ). A. B. C. D. 解析 線面角的范圍是[0,]. 答案 C 3.三棱錐A-BCD中,平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1,n2,若〈n1,n2〉=,則二面角A - BD - C的大小為 (  ). A. B. C.或

3、 D.或 解析 只需搞清二面角的范圍是[0,π]. 答案 C 4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是C1C的中點(diǎn),O是底面ABCD的中點(diǎn),P是A1B1上的任意點(diǎn),則直線BM與OP所成的角為________. 解析 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為2, 則 O(1,1,0),P(2,x,2),B(2,2,0),M(0,2,1), =(1,x-1,2),=(-2,0,1). 所以·=0,所以直線BM與OP所成角為. 答案  5.已知點(diǎn)A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為_______

4、_. 解析 =(-1,2,0),=(-1,0,3).設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z).由 n·=0,n·=0知令x=2,則y=1,z=. ∴平面ABC的一個(gè)法向量為n=(2,1,).平面xOy的一個(gè)法向量為=(0,0,3).由 此易求出所求二面角的余弦值. 答案  6.如圖所示,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大?。? 解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則O(0,0,0),O1(0,1,), A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,

5、0), ∴=(-,1,-), =(,-1,-). ∴cos〈,〉 = ==-. ∴異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為. 綜合提高(限時(shí)25分鐘) 7.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,則PC與平面ABCD所成角是 (  ). A.30° B.45° C.60° D.90° 解析 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),C(1, ,0),=(1

6、,,-1),平面ABCD的一個(gè)法向量為n =(0,0,1), 所以cos〈,n〉==-, 所以〈·n〉=120°, 所以斜線PC與平面ABCD的法向量所在直線所成角為60°, 所以斜線PC與平面ABCD所成角為30°. 答案 A 8.如圖所示,已知點(diǎn)P為菱形ABCD外一點(diǎn),且PA⊥面ABCD,PA=AD=AC,點(diǎn)F為PC中點(diǎn),則二面角C-BF-D的正切值為 (  ). A. B. C. D. 解析 如圖所示,連接AC,AC∩BD=O,連接OF.以O(shè) 為原點(diǎn),OB、OC、OF所在直線分別

7、為x,y,z軸建立空 間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=.所 以B(,0,0),F(xiàn)(0,0,),C(0,,0),D(-,0, 0). 結(jié)合圖形可知,=(0,,0)且為面BOF的一個(gè)法向 量,由=(-,,0),=(,0,-), 可求得面BCF的一個(gè)法向量n=(1,,). 所以cos〈n,〉=,sin〈n,〉=, 所以tan〈n,〉=. 答案 D 9.在正方體ABCD—A1B1C1D1中,直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值是______. 解析 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)棱長為1,則B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),

8、D(0, 0,0),=(-1,0,1),=(-1,0,-1),=(-1, -1,0), 設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(1,x,y),設(shè)平面A1BD 與BC1所成的角為θ,n⊥,n⊥, 所以n·=0,n·=0, 所以解得 所以n=(1,-1,-1),則cos〈,n〉==-,所以sin θ=, 所以cos θ==. 答案  10.正△ABC與正△BCD所在平面垂直,則二面角A-BD-C的正弦值為________. 解析 取BC中點(diǎn)O,連接AO,DO,建立如圖所示的坐標(biāo) 系. 設(shè)BC=1,則A(0,0,),B(0,-,0),D(,0,0). 所以=(0,0,), =

9、(0,,),=(,,0). 由于=(0,0,)為平面BCD的法向量. 設(shè)平面ABD的法向量n=(x,y,z),則 所以 取x=1,則y=-,z=1, 所以n=(1,-,1), 所以cos〈n,〉=, sin〈n,〉=. 答案  11.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).求BD與平面ADMN所成的角θ. 解 如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=1, 則A(0,0,0),B(2,0,0), D(0,2,0),P(0,0,2) 則N(1,0,1), ∴=

10、(-2,2,0), =(0,2,0),=(1,0,1), 設(shè)平面ADMN的一個(gè)法向量為n=(x,y,z), 則由得取x=1,則z=-1, ∴n=(1,0,-1), ∵cos〈,n〉===-, ∴sin θ=|cos〈,n〉|=. 又0°≤θ≤90°,∴θ=30°. 12.(創(chuàng)新拓展)如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2. (1)求證:AE∥平面DCF; (2)當(dāng)AB的長為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為60°? 解 建系如圖, 設(shè)AB=a,BE=b,CF=c, 則C(0,0,0),D(0,0,a)

11、, F(0,c,0),A(,0,a), E(,b,0),B(,0,0), (1)證明?。?,b,0)-(,0,a)=(0,b,-a), =(0,0,a),=(0,c,0), 設(shè)=λ+μ,則(0,b,-a)=(0,μc,λa), ∴μ=,λ=-1,∴=-+, 又AE?平面DCF,∴AE∥面DCF. (2)∵=(-,c-b,0),=(,b,0) 且·=0,||=2. 所以 解得b=3,c=4, 所以E(,3,0),F(xiàn)(0,4,0).設(shè)n=(1,y,z)與平面AEF垂直, 則n·=0,n·=0, 解得n=(1,,). 又因?yàn)锽A⊥平面BEFC,=(0,0,a), 所以cos〈n,〉===, 得到a=,所以當(dāng)AB為時(shí),二面角A - EF - C的大小為60°.

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