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1、反函數(shù)
⑴、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時(shí)，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對(duì)應(yīng)，即，那末變量x是變量y的函數(shù).這個(gè)函數(shù)用來(lái)表示，稱為函數(shù)的反函數(shù).
注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。
⑵、反函數(shù)的存在定理：若在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域?yàn)?R，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴(yán)格增(減).
注：嚴(yán)格增(減)即是單調(diào)增(減)
例題：y=x2，其定義域?yàn)?-∞,+∞)，值域?yàn)閇0,+∞).對(duì)于y取定的非負(fù)值,可求得x=±.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(-∞,+∞)上，函數(shù)不是嚴(yán)格增(減)，故其沒(méi)有反函數(shù)。如果
2、我們加上條件，要求x≥0，則對(duì)y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減).
⑶、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。
例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。如右圖所示：
復(fù)合函數(shù)
復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過(guò)u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。
注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。
例
3、題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。
因?yàn)閷?duì)于的定義域(-∞,+∞)中的任何x值所對(duì)應(yīng)的u值（都大于或等于2），使都沒(méi)有定義。
初等函數(shù)
⑴、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來(lái)把它們總結(jié)一下：
函數(shù)名稱
函數(shù)的記號(hào)
函數(shù)的圖形
函數(shù)的性質(zhì)
指數(shù)函數(shù)
?a):不論x為何值,y總為正數(shù);
?b):當(dāng)x=0時(shí),y=1.
對(duì)數(shù)函數(shù)
?a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(guò)(1,0)點(diǎn)
?b):當(dāng)a＞1時(shí),在區(qū)間(0,
4、1)的值為負(fù)；在區(qū)間(-,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.
冪函數(shù)
a為任意實(shí)數(shù)
這里只畫(huà)出部分函數(shù)圖形的一部分。
?令a=m/n
?a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí),y是偶函數(shù);
?b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù);
?c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(-∞,0)無(wú)意義.
三角函數(shù)
(正弦函數(shù))
?這里只寫(xiě)出了正弦函數(shù)
?a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)
?b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且
反三角函數(shù)
(反正弦函數(shù))
這里只寫(xiě)出了反正弦函數(shù)
?a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[-π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.
⑵、初等函數(shù)
5、：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).
例題：是初等函數(shù)。
雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)
⑴、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來(lái)描述)
函數(shù)的名稱
函數(shù)的表達(dá)式
函數(shù)的圖形
函數(shù)的性質(zhì)
雙曲正弦
a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；
b)：是奇函數(shù)；
c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增
雙曲余弦
a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；
b)：是偶函數(shù)；
c)：其圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)；
雙曲正切
a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；
b)：是奇函數(shù)；
c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；
我們?cè)賮?lái)看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：
雙曲函數(shù)的性質(zhì)
三角函數(shù)的性質(zhì)
shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)
sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)
它們都不是周期函數(shù)
都是周期函數(shù)
雙曲函數(shù)也有和差公式：
⑵、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).
a)：反雙曲正弦函數(shù)?? 其定義域?yàn)椋?-∞,+∞)；
b)：反雙曲余弦函數(shù)?? 其定義域?yàn)椋篬1,+∞)；
c)：反雙曲正切函數(shù)?? ? 其定義域?yàn)椋?-1,+1)；
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