2013年全國(guó)高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題升級(jí)訓(xùn)練14 橢圓、雙曲線、拋物線 文

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1、專題升級(jí)訓(xùn)練14　橢圓、雙曲線、拋物線 (時(shí)間：60分鐘　滿分：100分) 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分) 1．(2012·安徽安慶二模，2)在同一坐標(biāo)系下，下列曲線中，右焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合的是(　　)． A．＋＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．－＝1 2．已知圓的方程為x2＋y2＝4，若拋物線過(guò)定點(diǎn)A(0,1)，B(0，－1)，且以該圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程是(　　)． A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0) C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(x≠0) 3．若點(diǎn)P為共焦點(diǎn)

2、的橢圓C1和雙曲線C2的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是它們的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2.若·＝0，則＋＝(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 4．若直線mx＋ny＝4與圓x2＋y2＝4沒(méi)有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)． A．至少1個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè) 5．已知點(diǎn)A，B是雙曲線x2－＝1上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足·＝0，則點(diǎn)O到直線AB的距離等于(　　)． A． B． C．2 D．2 6．(2012·

3、山東濰坊3月模擬，10)直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝4，則弦AB的中點(diǎn)到直線x＋＝0的距離等于(　　)． A． B．2 C． D．4 二、填空題(本大題共3小題，每小題6分，共18分) 7．(2012·江蘇蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研，8)已知點(diǎn)M與雙曲線－＝1的左，右焦點(diǎn)的距離之比為2∶3，則點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_________． 8．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)M(1，m)，到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線x2－＝1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實(shí)數(shù)a＝__________. 9．連接

4、拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)F與點(diǎn)M(1,0)所得的線段與拋物線交于點(diǎn)A，設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAM的面積為_(kāi)_________． 三、解答題(本大題共3小題，共46分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 10．(本小題滿分15分)(2012·河北邯鄲一模，20)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)等于焦距，橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最短距離為－1. (1)求橢圓C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)E(2,0)且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，P是點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，證明：N，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線． 11．(本小題滿分15分)如圖，橢圓C：＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，左、右頂點(diǎn)分別為

5、A1，A，上頂點(diǎn)為B．拋物線C1，C2分別以A，B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，C1與C2相交于直線y＝x上一點(diǎn)P. (1)求橢圓C及拋物線C1，C2的方程； (2)若動(dòng)直線l與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M，N，已知點(diǎn)Q(－，0)，求·的最小值． 12．(本小題滿分16分)(2012·安徽安慶二模，20)已知直線l：x＋y＋8＝0，圓O：x2＋y2＝36(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為e＝，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等． (1)求橢圓C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)(3,0)作直線l，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)＝＋(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，是否存在這樣

6、的直線l，使四邊形OASB的對(duì)角線長(zhǎng)相等？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由． 參考答案 一、選擇題 1．D 2．C　解析：過(guò)點(diǎn)A，B，O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為A1，B1，O1，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)F(x，y)，則|FA|＝|AA1|，|FB|＝|BB1|， ∴|FA|＋|FB|＝|AA1|＋|BB1|. ∵O為AB的中點(diǎn)， ∴|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4. ∴|FA|＋|FB|＝4，故點(diǎn)F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為＋＝1.又F點(diǎn)不能在y軸上，故所求軌跡方程為＋＝1(x≠0)．故選C. 3．B　解析：設(shè)橢圓方程為＋＝1

7、(a＞b＞0)， 雙曲線方程為－＝1(m＞0，n＞0)， 其中兩焦點(diǎn)距離為2c. 不妨令P在第一象限，由題意知 ∴|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m， 又·＝0，∴PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴2(a2＋m2)＝4c2， ∴＋＝＝2，故選B. 4．B　解析：∵直線mx＋ny＝4與圓x2＋y2＝4沒(méi)有交點(diǎn)， ∴圓心到直線的距離d＝＞2， 解得m2＋n2＜4， 即點(diǎn)P(m，n)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓的內(nèi)部，而此圓在橢圓＋＝1的內(nèi)部，故點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的任意直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．故選B. 5．A　解析：由·＝0?OA⊥

8、OB，由于雙曲線為中心對(duì)稱圖形，因此可考查特殊情況，令點(diǎn)A為直線y＝x與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，因此點(diǎn)B為直線y＝－x與雙曲線在第四象限的一個(gè)交點(diǎn)，因此直線AB與x軸垂直，點(diǎn)O到直線AB的距離就為點(diǎn)A或點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的值． 由?x＝.故選A. 6．C　解析：據(jù)拋物線定義知，|AB|＝x1＋＋x2＋＝4， ∴x1＋x2＝. 故弦AB的中點(diǎn)到x＝－的距離為－＝＋＝. 二、填空題 7．x2＋y2＋26x＋25＝0　解析：由題意得a2＝16，b2＝9，c2＝16＋9＝25. ∴F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)． 設(shè)M(x，y)，有＝，即＝.整理即可． 8．　解析：根據(jù)拋物線的性質(zhì)得1＋

9、＝5，∴p＝8. 不妨取M(1,4)，則AM的斜率為2，由已知得－×2＝－1. 故a＝. 9．－　解析：線段FM所在直線方程x＋y＝1與拋物線交于A(x0，y0)，則?y0＝3－2或y0＝3＋2(舍去)． ∴S△OAM＝×1×(3－2)＝－. 三、解答題 10．解：(1)由題可知解得a＝，c＝1，∴b＝1. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)直線l為y＝k(x－2)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x1，－y1)，F(xiàn)(1,0)， 由得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 而＝(x2－1，y2)＝(x2－1，kx2－2k

10、)， ＝(x1－1，－y1)＝(x1－1，－kx1＋2k)． ∵(x1－1)(kx2－2k)－(x2－1)(－kx1＋2k)＝k[2x1x2－3(x1＋x2)＋4]＝k＝0， ∴∥. ∴N，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線． 11．解：(1)由題意，A(a,0)，B(0，)，故拋物線C1的方程可設(shè)為y2＝4ax，C2的方程為x2＝4y. 由 所以橢圓C：＋＝1，拋物線C1：y2＝16x，拋物線C2：x2＝4y. (2)由(1)知，直線OP的斜率為，所以直線l的斜率為－，設(shè)直線l的方程為y＝－x＋b. 由 消去y，整理得5x2－8bx＋(8b2－16)＝0， 因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)

11、， 所以Δ＝128b2－20(8b2－16)＞0， 解得－＜b＜. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝＝x1x2－(x1＋x2)＋b2＝. 因?yàn)椋?x1＋，y1)，＝(x2＋，y2)， 所以·＝(x1＋，y1)·(x2＋，y2)＝x1x2＋(x1＋x2)＋y1y2＋2＝. 因?yàn)椋糱＜， 所以當(dāng)b＝－時(shí)，·取得最小值． 其最小值等于×2＋×－＝－. 12．解：(1)∵圓心O到直線l：x＋y＋8＝0的距離為d＝＝4， 直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)2a＝2＝4，∴a＝2. 又＝，a2－b2＝c2，解得b＝1，c＝. ∴橢圓C的方程

12、為＋y2＝1. (2)∵＝＋，∴四邊形OASB是平行四邊形． 假設(shè)存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對(duì)角線長(zhǎng)相等． 則四邊形OASB為矩形，因此有⊥， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＋y1y2＝0. 直線l的斜率顯然存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)(3,0)的直線l方程為y＝k(x－3)， 由得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0， 由Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)＞0， 可得－5k2＋1＞0，即k2＜. x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－3)(x2－3)＝(1＋k2)x1x2－3k2(x1＋x2)＋9k2＝(1＋k2)－3k2＋9k2， 由x1x2＋y1y2＝0得，k2＝，∴k＝±，滿足Δ＞0. 故存在這樣的直線l，其方程為y＝±(x－3)．