2013年全國(guó)高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 選修4—4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理

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1、選修4—4　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 真題試做 1．(2012·上海高考，理10)如圖，在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線l與極軸的夾角α＝.若將l的極坐標(biāo)方程寫成 ρ＝f(θ)的形式，則f(θ)＝__________. 2．(2012·北京高考，理9)直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________． 3．(2012·江西高考，理15)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為_(kāi)_________． 4．(2012·課標(biāo)全國(guó)高考，理23)已知曲線C1的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，

2、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝2.正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為. (1)求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)； (2)設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范圍． 5．(2012·遼寧高考，文23)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：x2＋y2＝4，圓C2：(x－2)2＋y2＝4. (1)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓C1，C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)； (2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程． 考向分析 從近幾年的高考

3、情況看，該部分主要有三個(gè)考點(diǎn)：一是平面坐標(biāo)系的伸縮變換；二是極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化；三是極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用．對(duì)于平面坐標(biāo)系的伸縮變換，主要是以平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系為平臺(tái)，考查伸縮變換公式的應(yīng)用，試題設(shè)計(jì)大都是運(yùn)用坐標(biāo)法研究點(diǎn)的位置或研究幾何圖形的形狀．對(duì)于極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，涉及直線與圓的極坐標(biāo)方程，從點(diǎn)與直線、直線與圓的位置關(guān)系等不同角度考查，研究求距離、最值、軌跡等常規(guī)問(wèn)題．極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用，主要是以直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程為背景，轉(zhuǎn)化為普通方程，從而進(jìn)一步判斷位置關(guān)系或進(jìn)行有關(guān)距離、最值的運(yùn)算． 預(yù)計(jì)2013年高

4、考中，本部分內(nèi)容主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化，考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，試題多以填空題、解答題的形式呈現(xiàn)，屬于中檔題． 熱點(diǎn)例析 熱點(diǎn)一　平面坐標(biāo)系的伸縮變換 【例１】在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4，求滿足圖象變換的伸縮變換． 規(guī)律方法　1．平面坐標(biāo)系的伸縮變換對(duì)圖形的變化起到了一個(gè)壓縮或拉伸的作用，如三角函數(shù)圖象周期的變化． 2．設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換． 變式訓(xùn)

5、練1　在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€2x′2＋8y′2＝1，則曲線C的方程為(　　)． A．50x2＋72y2＝1 B．9x2＋100y2＝1 C．25x2＋36y2＝1 D．x2＋y2＝1 熱點(diǎn)二　極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化 【例２】在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ＝2cos θ與直線3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求實(shí)數(shù)a的值． 規(guī)律方法　1．直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩個(gè)坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則 x＝ρcos θ，y＝

6、ρsin θ且ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)． 這就是直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式． 2．曲線的極坐標(biāo)方程的概念：在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)至少有一個(gè)滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標(biāo)適合f(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0就叫做曲線C的極坐標(biāo)方程． 變式訓(xùn)練2　圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過(guò)圓O1，圓O2兩個(gè)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程． 熱點(diǎn)三　參數(shù)方程與普通方程的互化 【例３】把下列參數(shù)方程化為普通方程． (1) (2)

7、 規(guī)律方法　1．參數(shù)方程部分，重點(diǎn)還是參數(shù)方程與普通方程的互化，主要是將參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程． 2．參數(shù)方程與普通方程的互化：參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消參過(guò)程，常見(jiàn)方法有三種： ①代入法：首先利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù)； ②三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)； ③整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去參數(shù)． 化參數(shù)方程為普通方程F(x，y)＝0：在消參過(guò)程中注意變量x，y取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和g(t)的值域即x，y的取值范圍． 變式訓(xùn)練3　把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它們各表示什么曲線． (1)(

8、t為參數(shù))； (2)(θ為參數(shù))． 熱點(diǎn)四　極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 【例４】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2.點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值． 規(guī)律方法　如果直接由曲線的極坐標(biāo)方程看不出曲線是什么圖形，往往先將曲線的極坐標(biāo)方程化為相應(yīng)的直角坐標(biāo)方程，然后再通過(guò)直角坐標(biāo)方程判斷出曲線是什么圖形． 變式訓(xùn)練4　在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的

9、長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系； (2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值． 1．(2012·安徽安慶二模，4)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則曲線(φ為參數(shù)，φ∈R)上的點(diǎn)到曲線ρcos θ＋ρsin θ＝4(ρ，θ∈R) 的最短距離是(　　)． A．0　　　　B．2－　　　　C．1　　　　D．2 2．設(shè)直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則其斜截式方程為_(kāi)_________． 3．(2012·廣東梅州中學(xué)三模，15)在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn)A(3,0)且與極軸垂直的直

10、線交曲線ρ＝4cos θ于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝__________. 4．(2012·北京豐臺(tái)區(qū)三月模擬，11)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸的極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ2－4ρcos θ＋3＝0.則圓心到直線的距離是__________． 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，判斷曲線C：(θ為參數(shù))與直線l：(t為參數(shù))是否有公共點(diǎn)，并證明你的結(jié)論． 6．(2012·江蘇鎮(zhèn)江5月模擬，21)已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t∈R)．求點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l的距離之和．

11、7．(2012·吉林長(zhǎng)春實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬，23)已知圓C的方程為x2＋y2－2x＝0，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))． (1)設(shè)y＝sin θ，求圓C的參數(shù)方程； (2)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)． 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1．　2．2　3．ρ＝2cos θ 4．解：(1)由已知可得A， B， C， D， 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)． (2)設(shè)P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2， 則S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因?yàn)?

12、≤sin2φ≤1， 所以S的取值范圍是[32,52]． 5．解：(1)圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2， 圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ. 解得ρ＝2，θ＝±， 故圓C1與圓C2交點(diǎn)的坐標(biāo)為，. 注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一． (2)解法一：由得圓C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1，)，(1，－)． 故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為－≤t≤. (或參數(shù)方程寫成－≤y≤) 解法二：將x＝1代入得ρcos θ＝1，從而ρ＝. 于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為－≤θ≤. 精要例析·聚焦熱點(diǎn) 熱點(diǎn)例析 【例1】解：設(shè)變換為代入第二個(gè)方程，得2λx－μy＝4與x－2y＝

13、2比較，將其變成2x－4y＝4，比較系數(shù)得λ＝1，μ＝4. 則伸縮變換公式為 即直線x－2y＝2圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍可得到直線2x′－y′＝4. 【變式訓(xùn)練1】A 【例2】解：將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得圓的方程x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1， 直線的方程為3x＋4y＋a＝0. 由題設(shè)知，圓心(1,0)到直線的距離為1， 即有＝1， 解得a＝－8，或a＝2.故a的值為－8或2. 【變式訓(xùn)練2】解：(1)因?yàn)閳AO1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為 ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ， 又因?yàn)棣?＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin

14、θ＝y(tǒng)， 所以由ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ得， ρ2＝4ρcos θ，ρ2＝－ρsin θ. 即x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0. 所以圓O1和圓O2的直角坐標(biāo)方程分別為 x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0. (2)由(1)易得，經(jīng)過(guò)圓O1和圓O2兩個(gè)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為4x＋y＝0. 【例3】解：(1)由已知可得 由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1， 可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，這就是它的普通方程． (2)由已知，得t＝2x－2，代入y＝5＋t中，得y＝5＋(2x－2)， 即x－y＋5－＝0就是它的普通方程． 【變式訓(xùn)練3】解：

15、(1)由x＝1＋t，得t＝2x－2. ∴y＝2＋(2x－2)． ∴x－y＋2－＝0，此方程表示直線． (2)由得兩式平方并相加，得＋＝1，此方程表示橢圓． 【例4】解：ρcos＝2化簡(jiǎn)為ρcos θ＋ρsin θ＝4，則直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝4. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos α，sin α)，得P到直線l的距離d＝， 即d＝，其中cos φ＝，sin φ＝. 當(dāng)sin(α＋φ)＝－1時(shí)，dmax＝2＋. 【變式訓(xùn)練4】解：(1)把極坐標(biāo)系中的點(diǎn)P化為直角坐標(biāo)，得P(0,4)． 因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點(diǎn)P在直線l上． (2)因?yàn)?/p>

16、點(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(cos α，sin α)， 從而點(diǎn)Q到直線l的距離是 d＝ ＝ ＝cos＋2， 由此得，當(dāng)cos＝－1時(shí)，d取得最小值，且最小值為. 創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練 1．B　2．y＝x＋3－2　3．2　4． 5．解：無(wú)公共點(diǎn)．理由如下： 直線l的普通方程為x＋2y－3＝0. 把曲線C的參數(shù)方程代入l的方程x＋2y－3＝0， 得2cos θ＋2sin θ－3＝0， 即sin＝. 因?yàn)閟in∈[－，]，而?[－，]． 所以方程sin＝無(wú)解． 即曲線C與直線l沒(méi)有公共點(diǎn)． 6．解：直線l的普通方程為y＝x－2； 曲線C的普通方程為＋＝1. ∵F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)， ∴點(diǎn)F1到直線l的距離 d1＝＝， 點(diǎn)F2到直線l的距離 d2＝＝， ∴d1＋d2＝2. 7．解：(1)將y＝sin θ代入(x－1)2＋y2＝1中，得x＝cos θ＋1.因此圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)將直線化為代入x2＋y2－2x＝0中，得t′2－7t′＋12＝0，解得t1′＝3，t2′＝4.|AB|＝|t1′－t2′|＝1.