《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第2講 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用教案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第2講 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用教案（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2講數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2012大綱全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a55，S515，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為A. B. C. D.解析利用裂項(xiàng)相消法求和設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.a55，S515，ana1(n1)dn.，數(shù)列的前100項(xiàng)和為11.答案A2(2012浙江)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2n2n，nN，數(shù)列bn滿足an4log2bn3，nN.(1)求an，bn；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)由Sn2n2n，得當(dāng)n1時(shí)，a1S13；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14n1.所以an4n1，nN.由4n1an4log2bn
2、3，得bn2n1，nN.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN，所以Tn3721122(4n1)2n1，2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN.考題分析數(shù)列的求和是高考的必考內(nèi)容，可單獨(dú)命題，也可與函數(shù)、不等式等綜合命題，求解的過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，解答此類題目需重點(diǎn)掌握幾類重要的求和方法，并加以靈活應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和【例1】(2012門頭溝一模)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(nN)，求數(shù)列b
3、n的前n項(xiàng)和Tn.審題導(dǎo)引(1)運(yùn)用公式an求an，注意n1時(shí)通項(xiàng)公式an；(2)裂項(xiàng)法求和規(guī)范解答(1)由已知，當(dāng)n1時(shí)，a1S12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(2)由(1)知，bn當(dāng)n1時(shí)，T1b1，當(dāng)n2時(shí)，Tnb1b2bn，bn的前n項(xiàng)和Tn.【規(guī)律總結(jié)】常用的裂項(xiàng)技巧和方法用裂項(xiàng)相消法求和是最難把握的求和問題之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向突破這類問題的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握一些常見的裂項(xiàng)技巧，如：(1)；(2)()；(3)CCC；(4)nn！(n1)！n！等易錯(cuò)提示利用裂項(xiàng)相消法解決數(shù)列求和問題，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè)方面：(1)裂項(xiàng)過程中易
4、忽視常數(shù)，如容易誤裂為，漏掉前面的系數(shù)；(2)裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或添項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤【變式訓(xùn)練】1(2012大連模擬)已知函數(shù)f(x)，數(shù)列an滿足a11，an1f(an)(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)若數(shù)列bn滿足bnanan13n，Snb1b2bn，求Sn.解析(1)由已知，an1，1.3，并且，數(shù)列為以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，3n1，an.(2)bn，Snb1b2bn.考點(diǎn)二：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和【例2】(2012濱州模擬)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知an12Sn2(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)在an與an1之間插入n
5、個(gè)數(shù)，使這n2個(gè)數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.審題導(dǎo)引(1)利用遞推式消去Sn可求an；(2)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和規(guī)范解答(1)由an12Sn2(nN)，得an2Sn12(nN，n2)，兩式相減得an1an2an，即an13an(nN，n2)，又a22a12，an是等比數(shù)列，所以a23a1，則2a123a1，a12，an23n1.(2)由(1)知an123n，an23n1.an1an(n1)dn，dn，令Tn，則TnTn得Tn.【規(guī)律總結(jié)】錯(cuò)位相減法的應(yīng)用技巧(1)設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)
6、需注意：(2)給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應(yīng)不為零，否則需討論；在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后，求其和時(shí)需看準(zhǔn)項(xiàng)數(shù)，不一定為n.【變式訓(xùn)練】2已知等差數(shù)列an滿足：an1an(nN)，a11，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1、1、3后順次成為等比數(shù)列bn的前三項(xiàng)(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Tn(nN)，若Tnc(cZ)恒成立，求c的最小值解析(1)設(shè)d、q分別為數(shù)列an的公差、數(shù)列bn的公比由題意知，a11，a21d，a312d，分別加上1、1、3得2、2d、42d，(2d)22(42d)，d2.an1an，d0，d2，an2n1(nN)，由此可得b12，b24，q2，bn2n(nN)(2)
7、Tn，Tn.由得Tn.Tn133，Tn33.使Tnc(cZ)恒成立的c的最小值為3.考點(diǎn)三：數(shù)列與不等式的綜合問題【例3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sna(Snan1)(a為常數(shù)，且a0，a1)(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnaSnan，若數(shù)列bn為等比數(shù)列，求a的值；(3)在滿足條件(2)的情形下，設(shè)cn，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn2n.審題導(dǎo)引第(1)問先利用anSnSn1(n2)把Sn與an的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為an與an1之間的關(guān)系，判斷數(shù)列的性質(zhì)，求其通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)第(1)問，求出數(shù)列bn的前三項(xiàng)，利用bb1b3列出方程即可求得a的值；(3)先求出數(shù)列cn的通項(xiàng)公式
8、，根據(jù)所求證問題將其放縮，然后利用數(shù)列求和公式證明規(guī)范解答(1)當(dāng)n1時(shí)，S1a(S1a11)，得a1a.當(dāng)n2時(shí)，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，兩式相減得anaan1，得a.即an是等比數(shù)列所以anaan1an.(2)由(1)知bn(an)2an，bn，若bn為等比數(shù)列，則有bb1b3，而b12a2，b2a3(2a1)，b3a4(2a2a1)，故a3(2a1)22a2a4(2a2a1)，解得a，再將a代入bn，得bnn，結(jié)論成立，所以a.(3)證明由(2)，知ann，所以cn2.所以cn2.Tnc1c2cn2n2n.結(jié)論成立【規(guī)律總結(jié)】數(shù)列與不等式綜合問題的解題方法(1)
9、在解決與數(shù)列有關(guān)的不等式問題時(shí)，需注意應(yīng)用函數(shù)與方程的思想方法，如函數(shù)的單調(diào)性、最值等(2)在數(shù)列的恒成立問題中，有時(shí)需先求和，為了證明的需要，需合理變形，常用到放縮法，常見的放縮技巧有：；2()2()；利用(1x)n的展開式進(jìn)行放縮【變式訓(xùn)練】3已知數(shù)列bn滿足：bn1bn，且b1，Tn為bn的前n項(xiàng)和(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求bn的通項(xiàng)公式；(2)如果對(duì)任意nN，不等式2n7恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解析(1)證明對(duì)任意nN，都有bn1bn，所以bn1，則是等比數(shù)列，首項(xiàng)為b13，公比為，所以bn3n1，即bn3n1.(2)因?yàn)閎n3n1，所以Tn36.因?yàn)椴坏仁?n7，化簡(jiǎn)，得k，
10、對(duì)任意nN恒成立，設(shè)cn，則cn1cn，當(dāng)n5時(shí)，cn1cn，數(shù)列cn為單調(diào)遞減數(shù)列；當(dāng)1n5時(shí)，cn1cn，數(shù)列cn為單調(diào)遞增數(shù)列而c4c5，所以n5時(shí)，cn取得最大值.所以要使k對(duì)任意nN恒成立，k.名師押題高考【押題1】在數(shù)列an中，an，又bn，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn_.解析an(123n)，bn8數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn88.答案押題依據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的前n項(xiàng)和都是高考的熱點(diǎn)本題綜合考查了以上兩點(diǎn)及等差數(shù)列的求和公式，考查數(shù)列知識(shí)全面，綜合性較強(qiáng)，故押此題【押題2】已知數(shù)列an是首項(xiàng)a11的等比數(shù)列，且an0，bn是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，又a5b321，a3b513.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，bn的公差為d，則由已知條件得：，解之得：.an2n1，bn1(n1)22n1.(2)由(1)知.Sn.Sn.得：Sn1n1.Sn3.押題依據(jù)數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法因運(yùn)算量較大，結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜能夠較好地考查考生的運(yùn)算能力，有很好的區(qū)分度，而備受命題者青睞本題綜合考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減法求和，難度中等，故押此題
2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第2講 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用教案
