2014屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時提升作業(yè)(三十一) 第五章 第三節(jié) 文

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1、課時提升作業(yè)(三十一) 一、選擇題 1.已知等比數(shù)列{an}的公比q=2,其前4項和S4=60,則a2等于　(　　) (A)8 (B)6 (C)-8 (D)-6 2.(2013·吉安模擬)已知a1,,,…,,…是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的第100項等于　(　　) (A)25050 (B)24950 (C)2100 (D)299 3.在正項等比數(shù)列{an}中,a1,a19分別是方程x2-10x+16=0的兩根,則a8·a10·a12等于　(　　) (A)16 (B)32 (C)64 (D)256 4.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比

2、q=2,前n項和為Sn,則的值為　(　　) (A) (B) (C) (D) 5.(2013·沈陽模擬)已知數(shù)列{an}滿足log3an+1=log3an+1(n∈N+)且a2+a4+a6=9,則lo(a5+a7+a9)的值是　(　　) (A)-5 (B)- (C)5 (D) 6.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2011=3S2010+2012,a2010=3S2009+2012,則公比q=　　 (　　) (A)4 (B)1或4 (C)2 (D)1或2 7.公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a4是a3與a7的等比中項,S8=

3、32,則S10等于　(　　) (A)18 (B)24 (C)60 (D)90 8.(2013·漢中模擬)在等比數(shù)列{an}中,a6與a7的等差中項等于48,a4a5a6a7a8a9a10=1286.如果設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,那么Sn=　(　　) (A)5n-4 (B)4n-3 (C)3n-2 (D)2n-1 二、填空題 9.(2012·廣東高考)若等比數(shù)列{an}滿足a2a4=,則a1a5=　　　. 10.已知等比數(shù)列{an}的首項為2,公比為2,則=　　　. 11.(能力挑戰(zhàn)題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1=2Sn+

4、n+1(n∈N+),則數(shù)列{an}的通項公式an=　　　. 三、解答題 12.(2013·寶雞模擬)已知數(shù)列{an}滿足:a1=2,an+1=2an+1. (1)證明:數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列. (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 13.(2013·西安模擬)已知數(shù)列{an}的首項為a1=1,其前n項和為Sn,且對任意正整數(shù)n有n,an,Sn成等差數(shù)列. (1)求證:數(shù)列{Sn+n+2}成等比數(shù)列. (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 14.(能力挑戰(zhàn)題)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=2(+), a3+a4+a5=64(++), (1)求{an}的通項公

5、式. (2)設(shè)bn=(an+)2,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 15.(能力挑戰(zhàn)題)設(shè)一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有兩根α和β,且滿足6α-2αβ+6β=3. (1)試用an表示an+1. (2)求證:數(shù)列{an-}是等比數(shù)列. (3)當(dāng)a1=時,求數(shù)列{an}的通項公式. 答案解析 1.【解析】選A.S4=60,q=2?=60?a1=4, ∴a2=a1q=4×2=8. 2.【解析】選B.假設(shè)a0=1,數(shù)列{}的通項公式是=2n-1. 所以a100=a1···…·=20+1+…+99=24950. 3.【解析】選C.根據(jù)根與系數(shù)

6、的關(guān)系得a1a19=16,由此得a10=4,a8a12=16,故a8·a10·a12=64. 4.【解析】選A.====. 5.【思路點撥】根據(jù)數(shù)列滿足log3an+1=log3an+1(n∈N+)且a2+a4+a6=9可以確定數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列,再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可通過a2+a4+a6=9求出a5+a7+a9的值. 【解析】選A.由log3an+1=log3an+1(n∈N+),得an+1=3an,又因為an>0,所以數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列,a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35, 所以lo(a5+a7+a9)=-log335=-5. 6.【解析

7、】選A.由a2011=3S2010+2012,a2010=3S2009+2012兩式相減得a2011-a2010=3a2010,即q=4. 7.【解析】選C.由=a3a7得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),又因為公差不為零,所以2a1+3d=0, 再由S8=8a1+d=32得2a1+7d=8, 則d=2,a1=-3, 所以S10=10a1+d=60.故選C. 8.【解析】選D.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 由a6與a7的等差中項等于48,得a6+a7=96, 即a1q5(1+q)=96,　① 由等比數(shù)列的性質(zhì),得a4a10=a5a9=a6a8=, 因為a4a5

8、a6a7a8a9a10=1286, 則=1286=(26)7, 即a1q6=26,?、? 由①②解得a1=1,q=2, ∴Sn==2n-1,故選D. 9.【思路點撥】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì):已知m,n,p∈N+,若m+n=2p,則am·an=. 【解析】∵a2a4=,∴=, ∴a1a5==. 答案： 10.【解析】由題意知an=2n, 所以== =22=4. 答案：4 11.【解析】∵Sn+1=2Sn+n+1,當(dāng)n≥2時Sn=2Sn-1+n, 兩式相減得:an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1), 即=2. 又S2=2S1+1+1,a1=S1=1

9、, ∴a2=3,∴=2, ∴{an+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列, ∴an+1=2n即an=2n-1(n∈N+). 答案：2n-1 【方法技巧】含Sn,an問題的求解策略 當(dāng)已知含有Sn+1,Sn之間的等式時,或者含有Sn,an的混合關(guān)系的等式時,可以采用降級角標(biāo)或者升級角標(biāo)的方法再得出一個等式,兩個等式相減就把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項之間的遞推關(guān)系式. 12.【解析】(1)==2, 所以{an+1}是以2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)知an+1=(a1+1)×2n-1, 所以an=3×2n-1-1. 13.【解析】(1)因為n,an,Sn成等差數(shù)列, 所以2an

10、=Sn+n, 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1, 所以2(Sn-Sn-1)=Sn+n, 即Sn=2Sn-1+n(n≥2), 所以Sn+n+2=2Sn-1+2n+2 =2[Sn-1+(n-1)+2], 又S1+2-1+2=4≠0, 所以=2, 所以數(shù)列{Sn+n+2}成等比數(shù)列. (2)由(1)知{Sn+n+2}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列, 所以Sn+n+2=4·2n-1=2n+1, 又2an=n+Sn,所以2an+2=2n+1, 所以an=2n-1. 14.【思路點撥】(1)設(shè)出公比q,根據(jù)條件列出關(guān)于a1與q的方程組求得a1與q,即可求得數(shù)列的通項公式. (

11、2)由(1)中求得數(shù)列的通項公式,可求出{bn}的通項公式,由其通項公式可知分開求和即可. 【解析】(1)設(shè)公比為q,則an=a1qn-1.由已知得 化簡得 又a1>0,故q=2,a1=1,所以an=2n-1. (2)由(1)得bn=(an+)2=+2+ =4n-1++2. 所以Tn=(1+4+…+4n-1)+(1++…+)+2n =++2n =(4n-41-n)+2n+1. 15.【解析】(1)∵一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有兩根α和β, 由根與系數(shù)的關(guān)系易得α+β=,αβ=, ∵6α-2αβ+6β=3,∴-=3, 即an+1=a

12、n+. (2)∵an+1=an+, ∴an+1-=(an-), 當(dāng)an-≠0時,=, 當(dāng)an-=0,即an=時, 此時一元二次方程為x2-x+1=0, 即2x2-2x+3=0, ∵Δ=4-24<0, ∴不合題意,即數(shù)列{an-}是等比數(shù)列. (3)由(2)知:數(shù)列{an-}是以a1-=-=為首項,公比為的等比數(shù)列, ∴an-=×()n-1=()n, 即an=()n+, ∴數(shù)列{an}的通項公式是an=()n+. 【變式備選】定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+

13、2x的圖像上,其中n為正整數(shù). (1)證明:數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列. (2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項公式及Tn關(guān)于n的表達式. 【解析】(1)由條件得:an+1=2+2an, ∴2an+1+1=4+4an+1=(2an+1)2, ∴{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”. ∵lg(2an+1+1)=2lg(2an+1), ∴=2, ∴{lg(2an+1)}為等比數(shù)列. (2)∵lg(2a1+1)=lg5, ∴l(xiāng)g(2an+1)=lg5·2n-1, ∴2an+1=,∴an=(-1). ∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1) ==(2n-1)lg5, ∴Tn=.