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1、課時提升作業(yè)(四十九) 第八章 第三節(jié) 圓的方程
一、選擇題
1.(2013·吉安模擬)若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則a的值為
( )
(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3
2.若原點在圓(x-m)2+(y+m)2=8的內(nèi)部,則實數(shù)m的取值范圍是 ( )
(A)-2
2、)
(C)(1,-1) (D)(0,-1)
4.(2013·榆林模擬)直線l將圓x2+y2-2x+4y-4=0平分,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線l的方程是 ( )
(A)x-y+1=0,2x-y=0
(B)x-y-1=0,x-2y=0
(C)x+y+1=0,2x+y=0
(D)x-y+1=0,x+2y=0
5.(2013·合肥模擬)已知點M是直線3x+4y-2=0上的動點,點N為圓(x+1)2+(y+1)2=1上的動點,則|MN|的最小值是 ( )
(A) (B)1 (C) (D)
6.在同一坐標(biāo)系下,直線ax+by=ab和圓(x-a
3、)2+(y-b)2=r2(ab≠0,r>0)的圖象可能是 ( )
7.(2013·西安模擬)點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點連線的中點的軌跡方程是
( )
(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4
(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1
8.(2013·贛州模擬)若直線2ax-by+2=0(a,b>0)始終平分圓x2+y2+2x-4y+1=0的周長,則+的最小值為 ( )
(A) (B)4 (C)2 (D)
二、填空題
9.已知圓C過點(-1,1),并與
4、已知圓x2+y2-4x+6y-3=0同心,則圓C方程為 .
10.若圓x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0關(guān)于直線x-y+1=0對稱,則實數(shù)a的值為 .
11.(2013·蚌埠模擬)設(shè)二次函數(shù)y=x2-x+1與x軸正半軸的交點分別為A,B,與y軸正半軸的交點是C,則過A,B,C三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
12.設(shè)圓C同時滿足三個條件:①過原點;②圓心在直線y=x上;③截y軸所得的弦長為4,則圓C的方程是 .
三、解答題
13.(2013·漢中模擬)圓C通過不同的三點P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圓C在點P處的切線斜率為1,試求圓C的方程.
5、
14.已知動點M到點A(2,0)的距離是它到點B(8,0)的距離的一半.
求:(1)動點M的軌跡方程.
(2)若N為線段AM的中點,試求點N的軌跡.
15.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成,兩相接點M,N均在直線x=5上.圓弧C1的圓心是坐標(biāo)原點O,半徑為13;圓弧C2過點A(29,0).
(1)求圓弧C2的方程.
(2)曲線C上是否存在點P,滿足|PA|=|PO|?若存在,指出有幾個這樣的點;若不存在,請說明理由.
答案解析
1.【解析】選B.由x2+y2+2x-4y=0得(x+1)2+(y-2)
6、2=5,所以該圓圓心為(-1,2).
又直線3x+y+a=0過(-1,2)點,
∴3×(-1)+2+a=0,解得a=1.
2.【解析】選C.由已知得m2+m2<8,即m2<4,解得-2
7、2x,即2x+y=0;
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0時,設(shè)方程為+=1(a≠0),將(1,-2)代入得:a=-1,得l的方程為x+y+1=0.
綜上l的方程為2x+y=0或x+y+1=0.
5.【解析】選C.圓心(-1,-1)與點M的距離的最小值為點(-1,-1)到直線的距離d==,故點N與點M的距離|MN|的最小值=d-1=.
6.【解析】選D.逐一根據(jù)a,b的幾何意義驗證,知選項D中,直線ax+by=ab,即+=1在x,y軸上的截距分別為b<0和a>0時,D中圓的圓心亦為b<0和a>0,故選D.
7.【解析】選A.設(shè)圓上任一點為Q(x0,y0),PQ的中點為M(x,y),則解
8、得又因為點Q在圓x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.
8.【解析】選B.由題意知直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)過圓x2+y2+2x-4y+1=0的圓心(-1,2),∴2a×(-1)-2b+2=0,即a+b=1,
∴+=+=2++≥2+2·=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號),
∴(+)min=4.
9.【解析】因為圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心為(2,-3),
又圓C過點(-1,1),
故圓C的半徑r==5,
所以圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=25,
即x2+y2-4x+6y-12=0.
9、
答案:x2+y2-4x+6y-12=0
10.【解析】依題意知直線x-y+1=0經(jīng)過圓x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0的圓心(-,-a),
所以-+a+1=0,解得a=3或a=-1,
當(dāng)a=-1時,方程x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0不能表示圓,所以只能取a=3.
答案:3
11.【思路點撥】先由已知求出A,B,C三點坐標(biāo),再根據(jù)坐標(biāo)特點得出方程.
【解析】由已知三個交點分別為A(1,0),B(3,0),C(0,1),易知圓心橫坐標(biāo)為2,則令圓心為E(2,b),由|EA|=|EC|得b=2,半徑為,故圓的方程為(x-2)2+(y-2)2 =5.
答案:(x-
10、2)2+(y-2)2=5
12.【解析】由題意可設(shè)圓心A(a,a),則22+a2=2a2,解得a=±2,r2=2a2=8.所以圓C的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.
答案:(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8
13.【解析】設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則k,2為x2+Dx+F=0的兩根,
∴k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k.
又圓過R(0,1),故1+E+F=0.
∴E=-2k-1.
故所求圓的方程為x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,
圓心坐標(biāo)為C(,
11、).
∵圓C在點P處的切線斜率為1,
∴kCP=-1=,∴k=-3,∴D=1,
E=5,F=-6.
∴所求圓C的方程為x2+y2+x+5y-6=0.
14.【解析】(1)設(shè)動點M(x,y)為軌跡上任意一點,則點M的軌跡就是集合P={M||MA|=|MB|}.
由兩點間的距離公式,點M適合的條件可表示為=,
平方后再整理,得x2+y2=16.可以驗證,這就是動點M的軌跡方程.
(2)設(shè)動點N的坐標(biāo)為(x,y),M的坐標(biāo)是(x1,y1).
由于A(2,0),且N為線段AM的中點,所以x=,y=.所以有x1=2x-2,y1=2y?、?
由(1)題知,M是圓x2+y2=16上的點,
12、
所以M坐標(biāo)(x1,y1)滿足:+=16 ②
將①代入②整理,得(x-1)2+y2=4.
所以N的軌跡是以(1,0)為圓心,以2為半徑的圓.
15.【解析】(1)圓弧C1所在圓的方程為x2+y2=169,令x=5,解得M(5,12),N(5,-12).
則線段AM中垂線的方程為y-6=2(x-17),令y=0,得圓弧C2所在圓的圓心為(14,0),
又圓弧C2所在圓的半徑為r2=29-14=15,所以圓弧C2的方程為(x-14)2+y2=225
(5≤x≤29).
(2)假設(shè)存在這樣的點P(x,y),則由|PA|=|PO|,得x2+y2+2x-29=0,
由解得x=-70(舍去
13、).
由解得x=0(舍去),
綜上知,這樣的點P不存在.
【誤區(qū)警示】求圓弧C2的方程時經(jīng)常遺漏x的取值范圍,其錯誤原因是將圓弧習(xí)慣認為或誤認為圓.
【變式備選】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直,且AC和BD分別在x軸和y軸上.
(1)求證:F<0.
(2)若四邊形ABCD的面積為8,對角線AC的長為2,且·=0,求D2+E2-4F的值.
(3)設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點為G,OH⊥AB且垂足為H.試用平面解析幾何的研究方法判斷點O,G,H是否共線,并說明理由.
【解析】(1)方法一:由題
14、意,原點O必定在圓M內(nèi),即點(0,0)代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左邊所得的值小于0,于是有F<0,即證.
方法二:由題意,不難發(fā)現(xiàn)A,C兩點分別在x軸正、負半軸上.設(shè)兩點坐標(biāo)分別為A(a,0),C(c,0),則有ac<0.對于圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,當(dāng)y=0時,可得x2+Dx+F=0,其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標(biāo),于是有xAxC=ac=F.
因為ac<0,故F<0.
(2)不難發(fā)現(xiàn),對角線互相垂直的四邊形ABCD的面積S=,因為S=8,
|AC|=2,可得|BD|=8.
又因為·=0,所以∠BAD為直角,又因為四邊形是圓M的內(nèi)接四邊形,故|BD
15、|=2r=8?r=4.
對于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圓,
可知+-F=r2,所以D2+E2-4F=4r2=64.
(3)設(shè)四邊形四個頂點的坐標(biāo)分別為A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
則可得點G的坐標(biāo)為(,),即=(,).
又=(-a,b),且AB⊥OH,故要使G,O,H三點共線,只需證·=0即可.
而·=,且對于圓M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
當(dāng)y=0時可得x2+Dx+F=0,其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標(biāo),
于是有xAxC=ac=F.
同理,當(dāng)x=0時,可得y2+Ey+F=0,其中方程的兩根分別為點B和點D的縱坐標(biāo),于是有yByD=bd=F.
所以·==0,即AB⊥OG.
故O,G,H三點必定共線.
2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時提升作業(yè)(四十九) 第八章 第三節(jié) 圓的方程 文
