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1、數(shù)學(xué)能力訓(xùn)練（20）
1．拋物線上到其準(zhǔn)線和頂點距離相等的點的坐標(biāo)為 ______________．
2．已知圓，與拋物線的準(zhǔn)線相切，則 ___________．
3．如果過兩點和的直線與拋物線沒有交點，那么實數(shù)a的取值范圍是 ．
4．對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件；
（1）焦點在y軸上； （2）焦點在x軸上；
（3）拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6；（4）拋物線的通徑的長為5；
（5）由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）．
其中適合拋物線y2=10x的條件是(要求填寫合適條件的
2、序號） ______．
5．已知點A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）
（1）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標(biāo)；
（2）求線段BC中點M的坐標(biāo)；
（3）求BC所在直線的方程.
6．已知拋物線y=ax2－1上恒有關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點，求a的取值范圍.
7．拋物線x2=4y的焦點為F，過點(0，－1)作直線L交拋物線A、B兩點，再以AF、BF為鄰邊作平行四邊形FARB，試求動點R的軌跡方程.
3、
8．已知拋物線C：，過C上一點M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點M的法線．
（1）若C在點M的法線的斜率為，求點M的坐標(biāo)（x0，y0）；
（2）設(shè)P（－2，a）為C對稱軸上的一點，在C上是否存在點，使得C在該點的法線通過點P？若有，求出這些點，以及C在這些點的法線方程；若沒有，請說明理由.
答案
1. ; 2. 2; 3. ; 4. （2），（5）;
5．[解析]：（1）由點A（2，8）在拋物線上，有，
解得p=16. 所以拋物線方程為，焦點F的坐標(biāo)為（8，0
4、）.
（2）如圖，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中點，所以F是線段AM的
定比分點，且，設(shè)點M的坐標(biāo)為，則
，解得，
所以點M的坐標(biāo)為（11，－4）．
（3）由于線段BC的中點M不在x軸上，所以BC所在
的直線不垂直于x軸.設(shè)BC所在直線的方程為：
由消x得，
所以，由（2）的結(jié)論得，解得
因此BC所在直線的方程為：
6．[解析]：設(shè)在拋物線y=ax2－1上關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點為P(x,y),Q(－y,－x)，則
，由①－②得x+y=a(x+y)(x－y),∵P、Q為相異兩點，∴x+y≠0，又a≠0，
∴，代入②得a2x2－ax－a+1=0，
5、其判別式△=a2－4a2(1－a)＞0，解得．
7．[解析]：設(shè)R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四邊形FARB的中心為，L:y=kx－1,代入拋物線方程得x2－4kx+4=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k2－16＞0，即|k|＞1 ①，
，∵C為AB的中點.
∴
，消去k得x2=4(y+3),由① 得，，故動點R的軌跡方程為x2=4(y+3)( )．
8． [解析]：（1）由題意設(shè)過點M的切線方程為：，代入C得，
則，，即M（－1，）．
（2）當(dāng)a＞0時，假設(shè)在C上存在點滿足條件．設(shè)過Q的切線方程為：，代入
，則，
且．若時，由于，
∴ 或 ；若k=0時，顯然也滿足要求．
∴有三個點（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），
且過這三點的法線過點P（－2，a），其方程分別為：
x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2.
當(dāng)a≤0時，在C上有一個點（－2，－），在這點的法線過點P（－2，a），其方程為：x＝－2.
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