17、一定”
突破訓練3 北斗導航系統(tǒng)又被稱為“雙星定位系統(tǒng)”，具有
導航、定位等功能．“北斗” 系統(tǒng)中兩顆工作衛(wèi)星1和2
均繞地心O做勻速圓周運動，軌道半徑均為r，某時刻兩顆
工作衛(wèi)星分別位于軌道上的A、B兩位置，如圖3所示．
若衛(wèi)星均順時針運行，地球表面處的重力加速度為g， 圖3
地球半徑為R，不計衛(wèi)星間的相互作用力．以下判斷正確的是 ( )
A．兩顆衛(wèi)星的向心加速度大小相等，均為
B．兩顆衛(wèi)星所受的向心力大小一定相等
C．衛(wèi)星1由位置A運動到位置B所需的時間可能為
D．如果要使衛(wèi)星1追上衛(wèi)星2，一定要使衛(wèi)星1加速
答案 AC
考點三 衛(wèi)星
18、變軌問題的分析
當衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(開啟或關閉發(fā)動機或空氣阻力作用)，萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將變軌運行：
(1)當衛(wèi)星的速度突然增加時，Gm，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時由v＝ 可知其運行速度比原軌道時增大．
衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理．
例4 北京航天飛行控制中心對“嫦娥二號”衛(wèi)星實施多次變軌
19、
控制并獲得成功．首次變軌是在衛(wèi)星運行到遠地點時實施的，
緊隨其后進行的3次變軌均在近地點實施．“嫦娥二號”衛(wèi)
星的首次變軌之所以選擇在遠地點實施，是為了抬高衛(wèi)星近 圖4
地點的軌道高度．同樣的道理，要抬高遠地點的高度就需要在近地點實施變軌．圖4為“嫦娥二號”某次在近地點A由軌道1變軌為軌道2的示意圖，下列說法中正確的是
( )
A．“嫦娥二號”在軌道1的A點處應點火加速
B．“嫦娥二號”在軌道1的A點處的速度比在軌道2的A點處的速度大
C．“嫦娥二號”在軌道1的A點處的加速度比在軌道2的A點處的加速度大
D．“嫦娥二號”在軌道1的B點處的機械能比在軌道2的C點處的機械能
20、大
解析 衛(wèi)星要由軌道1變軌為軌道2需在A處做離心運動，應加速使其做圓周運動所需向心力m大于地球所能提供的萬有引力G，故A項正確，B項錯誤；由G＝ma可知，衛(wèi)星在不同軌道同一點處的加速度大小相等，C項錯誤；衛(wèi)星由軌道1變軌到軌道2，反沖發(fā)動機的推力對衛(wèi)星做正功，衛(wèi)星的機械能增加，所以衛(wèi)星在軌道1的B點處的機械能比在軌道2的C點處的機械能小，D項錯誤．
答案 A
處理衛(wèi)星變軌問題的思路和方法
1．要增大衛(wèi)星的軌道半徑，必須加速；
2．當軌道半徑增大時，衛(wèi)星的機械能隨之增大．
突破訓練4 2011年9月29日，中國首個空間實驗室“天宮一號”
在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射
21、升空，由長征運載火箭將飛船送入近
地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，B點距離地面高度為h，
地球的中心位于橢圓的一個焦點上．“天宮一號”飛行幾周后
進行變軌，進入預定圓軌道，如圖5所示．已知“天宮一號” 圖5
在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，萬有引力常量為G，地球半徑為R.則下列說法正確的是 ( )
A．“天宮一號”在橢圓軌道的B點的向心加速度大于在預定圓軌道的B點的向心加速度
B．“天宮一號”從A點開始沿橢圓軌道向B點運行的過程中，機械能守恒
C．“天宮一號”從A點開始沿橢圓軌道向B點運行的過程中，動能先減小后增大
D．由題中給出的信息
22、可以計算出地球的質量M＝
答案 BD
解析 在B點，由＝ma知，無論在哪個軌道上的B點，其向心加速度相同，A項錯；“天宮一號”在橢圓軌道上運行時，其機械能守恒，B項對；“天宮一號”從A點開始沿橢圓軌道向B運行中，動能一直減小，C項錯；對“天宮一號”在預定圓軌道上運行，有G＝m(R＋h)，而T＝，故M＝，D項對．
考點四 宇宙速度的理解與計算
1．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，既是發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是衛(wèi)星繞地球運行的最大環(huán)繞速度．
2．第一宇宙速度的求法：
(1)＝m，所以v1＝ .
(2)mg＝，所以v1＝.
3．第二、第三宇宙速度也都是指發(fā)射速度．
例5 20
23、12年6月16日，“神舟九號”宇宙飛船搭載3名航天員飛天，并于6月18日14∶00與“天宮一號”成功對接．在發(fā)射時，“神舟九號”宇宙飛船首先要發(fā)射到離地面很近的圓軌道，然后經過多次變軌后，最終與在距地面高度為h的圓形軌道上繞地球飛行的“天宮一號”完成對接，之后，整體保持在距地面高度仍為h的圓形軌道上繞地球繼續(xù)運行．已知地球半徑為R，地面附近的重力加速度為g.求：
(1)地球的第一宇宙速度；
(2)“神舟九號”宇宙飛船在近地圓軌道運行的速度與對接后整體的運行速度之比．
解析 (1)設地球的第一宇宙速度為v，根據萬有引力定律和牛頓第二定律得：G＝m
在地面附近G＝mg
聯(lián)立解得v＝.
24、(2)根據題意可知，設“神舟九號”宇宙飛船在近地圓軌道運行的速度為v1
v1＝v＝
對接后，整體的運行速度為v2，根據萬有引力定律和牛頓第二定律得G＝m，解得v2＝ ，所以v1∶v2＝ .
答案 (1) (2)
突破訓練5 宇航員在月球上做自由落體實驗，將某物體由距月球表面高h處釋放，經時間t落到月球表面(設月球半徑為R)．據上述信息推斷，飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動所必須具有的速率為 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 設在月球表面處的重力加速度為g
則h＝gt2，所以g＝
飛船在月球表面附近繞月球做勻速
25、圓周運動時有
mg＝m
所以v＝＝ ＝，選項B正確.
22．雙星系統(tǒng)模型問題的分析與計算
1．雙星系統(tǒng)模型的特點：
(1)兩星都繞它們連線上的一點做勻速圓周運動，故兩星的角速度、周期相等．
(2)兩星之間的萬有引力提供各自做勻速圓周運動的向心力，所以它們的向心力大小相等；
(3)兩星的軌道半徑之和等于兩星間的距離，即r1＋r2＝L.
2．雙星系統(tǒng)模型的三大規(guī)律：
(1)雙星系統(tǒng)的周期、角速度相同．
(2)軌道半徑之比與質量成反比．
(3)雙星系統(tǒng)的周期的平方與雙星間距離的三次方之比只與雙星的總質量有關，而與雙星個體的質量無關．
例6 如圖6所示，質量分別
26、為m和M的兩個星球A和B在
引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中
心之間的距離為L.已知A、B的中心和O三點始終共線，
A和B分別在O的兩側．引力常量為G.
(1)求兩星球做圓周運動的周期； 圖6
(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期記為T1.但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2.已知地球和月球的質量分別為5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2與T1兩者平方之比．(結果保留3位小數(shù))
解析 (1)設兩個星球A和B做勻速圓
27、周運動的軌道半徑分別為r和R，相互作用的萬有引力大小為F，運行周期為T.根據萬有引力定律有：F＝G ①
由勻速圓周運動的規(guī)律得
F＝m()2r ②
F＝M()2R ③
由題意有L＝R＋r ④
聯(lián)立①②③④式得T＝2π ⑤
(2)在地月系統(tǒng)中，由于地月系統(tǒng)旋轉所圍繞的中心O不在地心，由題意知，月球做圓周運動的周期可由⑤式得出
T1＝2π ⑥
式中，M′和m′分別是地球與月球的質量，L′是地心與月心之間的距離．若認為月球在地球的引力作用下繞地
28、心做勻速圓周運動，則
G＝m′()2L′ ⑦
式中，T2為月球繞地心運動的周期．由⑦式得
T2＝2π ⑧
由⑥⑧式得()2＝1＋
代入題給數(shù)據得()2＝1.012
答案 (1)2π (2)1.012
突破訓練6 (2012·重慶·18)冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，質量比約為7∶1，同時繞它們連線上某點O做勻速圓周運動．由此可知，冥王星繞O點運動的( )
A．軌道半徑約為卡戎的
B．角速度大小約為卡戎的
C．線速度大小約為卡戎的7倍
D．向心力大小約為卡戎的7倍
答案 A
解析 本題是雙星問題，設
29、冥王星的質量、軌道半徑、線速度分別為m1、r1、v1，卡戎的質量、軌道半徑、線速度分別為m2、r2、v2，由雙星問題的規(guī)律可得，兩星間的萬有引力分別給兩星提供做勻速圓周運動的向心力，且兩星的角速度相等，故B、D均錯；由G＝m1ω2r1＝m2ω2r2(L為兩星間的距離)，因此＝＝，＝＝＝，故A對，C錯.
高考題組
1．(2012·廣東理綜·21)如圖7所示，飛船從軌道1變軌至軌道2.若
飛船在兩軌道上都做勻速圓周運動，不考慮質量變化，相對于
在軌道1上，飛船在軌道2上的 ( )
A．動能大
B．向心加速度大 圖7
C．運行周期長
D．
30、角速度小
答案 CD
解析 飛船繞中心天體做勻速圓周運動，其萬有引力提供向心力，即F引＝F向，所以＝ma向＝＝＝mrω2，即a向＝，Ek＝mv2＝，T＝ ，ω＝ (或用公式T＝求解)．因為r1Ek2，a向1>a向2，T1ω2，選項C、D正確．
2．(2012·北京·18)關于環(huán)繞地球運動的衛(wèi)星，下列說法正確的是 ( )
A．分別沿圓軌道和橢圓軌道運行的兩顆衛(wèi)星，不可能具有相同的周期
B．沿橢圓軌道運行的一顆衛(wèi)星，在軌道不同位置可能具有相同的速率
C．在赤道上空運行的兩顆地球同步衛(wèi)星，它們的軌道半徑有可能不同
D．沿不同軌道經過北京上空的兩
31、顆衛(wèi)星，它們的軌道平面一定會重合
答案 B
解析 根據開普勒第三定律，＝恒量知，當圓軌道的半徑R與橢圓軌道的半長軸a相等時，兩衛(wèi)星的周期相等，故選項A錯誤；衛(wèi)星沿橢圓軌道運行且從近地點向遠地點運行時，萬有引力做負功，根據動能定理知，動能減小，速率減??；從遠地點向近地點移動時動能增加，速率增大，且兩者具有對稱性，故選項B正確；所有同步衛(wèi)星的運行周期相等，根據G＝m()2r知，同步衛(wèi)星軌道的半徑r一定，故選項C錯誤；根據衛(wèi)星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，可知衛(wèi)星運行的軌道平面過某一地點時，軌道平面必過地心，但軌道平面不一定重合，故北京上空的兩顆衛(wèi)星的軌道平面可以不重合，選項D錯誤．
3．
32、(2012·山東理綜·15)2011年11月3日，“神舟八號”飛船與“天宮一號”目標飛行器成功實施了首次交會對接．任務完成后“天宮一號”經變軌升到更高的軌道，等待與“神舟九號”交會對接．變軌前和變軌完成后“天宮一號”的運行軌道均可視為圓軌道，對應的軌道半徑分別為R1、R2，線速度大小分別為v1、v2.則等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 “天宮一號”運行時所需的向心力由萬有引力提供，根據G＝得線速度v＝ ，所以＝ ，故選項B正確，選項A、C、D錯誤．
4．(2011·北京理綜·15)由于通信和廣播等方面的需要，許多國
33、家發(fā)射了地球同步軌道衛(wèi)星，這些衛(wèi)星的 ( )
A．質量可以不同 B．軌道半徑可以不同
C．軌道平面可以不同 D．速率可以不同
答案 A
解析 同步衛(wèi)星運行時，萬有引力提供向心力，＝mr＝m，故有＝，v＝ ，由于同步衛(wèi)星運行周期與地球自轉周期相同，故同步衛(wèi)星的軌道半徑大小是確定的，速度v也是確定的，同步衛(wèi)星的質量可以不同．要想使衛(wèi)星與地球自轉同步，軌道平面一定是赤道平面．故只有選項A正確．
模擬題組
5．如圖8所示，某顆天文衛(wèi)星飛往距離地球約160萬千米的
第二拉格朗日點(圖中L2)，L2點處在太陽與地球連線的外
側，在太陽
34、和地球引力的共同作用下，衛(wèi)星在該點能與地
球同步繞太陽運動(視為圓周運動)，且時刻保持背對太陽
和地球的姿勢，不受太陽的干擾而進行天文觀測．不考慮 圖8
其他星球影響，下列關于工作在L2點的天文衛(wèi)星的說法中正確的是 ( )
A．將它從地球上發(fā)射到L2點的發(fā)射速度大于7.9 km/s
B．它繞太陽運行的周期比地球繞太陽運行的周期長
C．它繞太陽運行的線速度比地球繞太陽運行的線速度大
D．它繞太陽運行的向心加速度比地球繞太陽運行的向心加速度大
答案 ACD
解析 衛(wèi)星的發(fā)射速度一定大于7.9 km/s，選項A對．由于衛(wèi)星和地球同步，因此它們的周期相同，角速度ω相同，由v
35、＝rω知，v衛(wèi)>v地，選項C對，B錯．由a＝rω2知選項D對．
6．國防科技工業(yè)局在2012年7月30日宣布，“嫦娥三號”將于2013年下半年擇機發(fā)射．我國已成功發(fā)射了“嫦娥二號”探月衛(wèi)星，該衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用的時間為t；月球半徑為R0，月球表面處重力加速度為g0.
(1)請推導出“嫦娥二號”衛(wèi)星離月球表面高度的表達式；
(2)地球和月球的半徑之比為＝4，表面重力加速度之比為＝6，試求地球和月球的密度之比．
答案 (1) －R0 (2)
解析 (1)由題意知，“嫦娥二號”衛(wèi)星的周期為
T＝
設衛(wèi)星離月球表面的高度為h，由萬有引力提供向心力得：
G＝m(R0＋h)()2
36、
又：G＝m′g0
聯(lián)立解得：h＝ －R0
(2)設星球的密度為ρ，由G＝m′g得GM＝gR2
ρ＝＝
聯(lián)立解得：ρ＝
設地球、月球的密度分別為ρ0、ρ1，則：
＝
將＝4，＝6代入上式，解得：
＝
(限時：45分鐘)
?題組1 天體質量和密度的計算
1．(2012·福建理綜·13)“嫦娥二號”是我國月球探測第二期工程的先導星．若測得“嫦娥二號”在月球(可視為密度均勻的球體)表面附近圓形軌道運行的周期為T，已知引力常量為G，半徑為R的球體體積公式V＝πR3，則可估算月球的 ( )
A．密度 B．質量 C．半徑 D．自轉周期
答案 A
37、
解析 對“嫦娥二號”由萬有引力提供向心力可得：＝mR，故月球的質量M＝，因“嫦娥二號”為近月衛(wèi)星，故其軌道半徑為月球的半徑R，但由于月球半徑未知，故月球質量無法求出，月球質量未知，則月球的半徑R也無法求出，故B、C項均錯；月球的密度ρ＝＝＝，故A正確．
2．銀河系的恒星中大約四分之一是雙星．某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動. 由天文觀測得其周期為T，S1到C點的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知萬有引力常量為G.由此可求出S2的質量為 ( )
A. B.
C
38、. D.
答案 D
解析 設S1、S2兩星體的質量分別為m1、m2，根據萬有引力定律和牛頓第二定律得
對S1有G＝m1()2r1
解得m2＝
所以正確選項是D.
題組2 衛(wèi)星運行參量的分析與計算
3．(2012·江蘇·8)2011年8月“嫦娥二號”成功進入了環(huán)繞“日地拉格
朗日點”的軌道，我國成為世界上第三個造訪該點的國家．如圖1
所示，該拉格朗日點位于太陽和地球連線的延長線上，一飛行器處
于該點，在幾乎不消耗燃料的情況下與地球同步繞太陽做圓周運動，
則此飛行器的 ( ) 圖1
A．線速度大于地球的線速度
B．向心
39、加速度大于地球的向心加速度
C．向心力僅由太陽的引力提供
D．向心力僅由地球的引力提供
答案 AB
解析 飛行器與地球同步繞太陽做圓周運動，所以ω飛＝ω地，由圓周運動線速度和角速度的關系v＝rω得v飛>v地，選項A正確；由公式a＝rω2知，a飛>a地，選項B正確；飛行器受到太陽和地球的萬有引力，方向均指向圓心，其合力提供向心力，故C、D選項錯．
4．(2012·四川·15)今年4月30日，西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射的中圓軌道衛(wèi)星，其軌道半徑為2.8×107 m．它與另一顆同質量的同步軌道衛(wèi)星(軌道半徑為4.2×107 m)相比 ( )
A．向心力較小
B．動能較大
C．發(fā)射速度都是
40、第一宇宙速度
D．角速度較小
答案 B
解析 由題知，中圓軌道衛(wèi)星的軌道半徑r1小于同步衛(wèi)星的軌道半徑r2，衛(wèi)星運行時的向心力由萬有引力提供，根據F向＝G知，兩衛(wèi)星的向心力F1>F2，選項A錯誤；根據G＝＝mω2r，得環(huán)繞速度v1>v2，角速度ω1>ω2，兩衛(wèi)星質量相等，則動能Ek1>Ek2，故選項B正確，選項D錯誤；根據能量守恒，衛(wèi)星發(fā)射得越高，發(fā)射所需速度越大，第一宇宙速度是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，因此兩衛(wèi)星的發(fā)射速度都大于第一宇宙速度，且v01
41、不考慮衛(wèi)星質量的變化，則變軌前、后衛(wèi)星的( )
A．向心加速度大小之比為4∶1
B．角速度大小之比為2∶1
C．周期之比為1∶8
D．軌道半徑之比為1∶2
答案 C
解析 根據Ek＝mv2得v＝ ，所以衛(wèi)星變軌前、后的速度之比為＝.根據G＝m，得衛(wèi)星變軌前、后的軌道半徑之比為＝＝，選項D錯誤；根據G＝ma，得衛(wèi)星變軌前、后的向心加速度大小之比為＝＝，選項A錯誤；根據G＝mω2r，得衛(wèi)星變軌前、后的角速度大小之比為＝ ＝，選項B錯誤；根據T＝，得衛(wèi)星變軌前、后的周期之比為＝＝，選項C正確．
6．(2010·北京理綜·16)一物體靜置在平均密度為ρ的球形天體表面的赤道上．已知萬有引
42、力常量為G，若由于天體自轉使物體對天體表面的壓力恰好為零，則天體自轉周期為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 物體隨天體一起自轉，當萬有引力全部提供向心力時，物體對天體的壓力恰好為零，則G＝mR，又ρ＝，所以T＝，D正確．
題組3 宇宙速度和重力加速度的求解
7．假設地球同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，則 ( )
A．同步衛(wèi)星運行速度是第一宇宙速度的倍
B．同步衛(wèi)星的運行速度是第一宇宙速度的 倍
C．同步衛(wèi)星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍
D．同步衛(wèi)星的運行速度是地球赤道上物體隨地球自轉速度的n倍
43、答案 BD
解析 對衛(wèi)星都有：＝m，v＝ ，所以＝ ＝ ，B對，A錯；因為＝ma向，所以a向＝，而mg＝，g＝，故＝＝，C錯；由v＝rω知，＝＝n，故D對．
8．2011年9月29日，“天宮一號”順利升空，在離地面高度343 km的軌道上做勻速圓周運動.2012年2月25日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號丙運載火箭，成功將第十一顆北斗導航衛(wèi)星送入太空預定軌道．這是一顆地球靜止軌道衛(wèi)星，是我國當年發(fā)射的首顆北斗導航系統(tǒng)組網衛(wèi)星．下列關于這兩顆衛(wèi)星的說法正確的是 ( )
A．“天宮一號”的運行周期大于北斗導航衛(wèi)星的運行周期
B．“天宮一號”和北斗導航衛(wèi)星上攜帶的物體都處于完全失重狀
44、態(tài)
C．“天宮一號”的環(huán)繞速度大于第一宇宙速度
D．北斗導航衛(wèi)星的向心加速度比地球赤道表面的重力加速度小
答案 BD
解析 “天宮一號”的軌道半徑要小于同步衛(wèi)星的軌道半徑，因此T天
45、法正確的
是 ( )
A．衛(wèi)星在軌道2上經過Q點時的速度小于它在軌道2上經過 圖2
P點時的速度
B．衛(wèi)星在軌道1上經過Q點時的加速度等于它在軌道2上經過Q點時的加速度
C．衛(wèi)星在軌道1上的向心加速度小于它在軌道3上的向心加速度
D．衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度
答案 BD
解析 本題考查人造衛(wèi)星的知識．由開普勒第二定律可知，衛(wèi)星在橢圓軌道的近地點速度大，A錯；衛(wèi)星在同一點受到的萬有引力相同，加速度也相同，B對；由a＝G，r越小，a越大，C錯；由G＝mω2r，衛(wèi)星在軌道3上的半徑大，故角速度小，D對．
10．我國未來將建立月球基
46、地，并在繞月軌道上建造空間站．
如圖3所示，關閉發(fā)動機的航天飛機A在月球引力作用
下沿橢圓軌道向月球靠近，并將在橢圓的近月點B處與
空間站對接．已知空間站繞月軌道半徑為r，周期為T，
引力常量為G，月球的半徑為R.下列判斷正確的是( )
A．航天飛機到達B處由橢圓軌道進入空間站軌道時必須減速 圖3
B．圖中的航天飛機正在加速飛向B處
C．月球的質量M＝
D．月球的第一宇宙速度v＝
答案 ABC
解析 航天飛機到達B處時速度比較大，如果不減速此時萬有引力不足以提供向心力，這時航天飛機將做離心運動，故A正確；因為航天飛機越接近月球，受到的萬有引力越大，加速度越大，所
47、以正在加速飛向B處，故B正確；由萬有引力提供空間站做圓周運動的向心力，則G＝m，整理得M＝，故C正確；速度v＝是空間站在軌道r上的線速度，而不是圍繞月球表面運動的第一宇宙速度，故D錯誤．
題組5 萬有引力定律的綜合應用
11．(2011·浙江·19)為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r1的圓軌道上運動，周期為T1，總質量為m1.隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r2的圓軌道上運動，此時登陸艙的質量為m2，則 ( )
A．X星球的質量為M＝
B．X星球表面的重力加速度為gX＝
C．登陸艙在r1與r2軌道上運動時的速度大小之比為＝
D．登
48、陸艙在半徑為r2軌道上做圓周運動的周期為T2＝T1
答案 AD
解析 飛船繞X星球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律知G＝m，則X星球質量M＝，選項A正確．由G＝m＝ma1，知r1軌道處的向心加速度a1＝＝，而對繞X星球表面飛行的飛船有G＝mgX(R為X星球的半徑)，則gX＝G>a1＝＝，選項B錯誤．由G＝m知v＝ ，故＝ ，選項C錯誤．根據G＝m得T＝ ，故＝ ，即T2＝T1 ，選項D正確．
12．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，不考慮地球自轉的影響．
(1)求衛(wèi)星環(huán)繞地球運行的第一宇宙速度v1；
(2)若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動且運行
49、周期為T，求衛(wèi)星運行半徑r；
(3)由題目所給條件，請?zhí)岢鲆环N估算地球平均密度的方法，并推導出平均密度表達式．
答案 (1) (2) (3)ρ＝
解析 (1)設衛(wèi)星的質量為m，地球的質量為M
衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做勻速圓周運動滿足
G＝mg ①
第一宇宙速度是指衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，衛(wèi)星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引力
G＝m ②
①式代入②式，得v1＝
(2)衛(wèi)星受到的萬有引力為G＝m()2r ③
由①③式解得r＝
(3)設質量為m0的小物體在地球表面附近
50、所受重力為m0g，則G＝m0g
將地球看成是半徑為R的球體，其體積為V＝πR3
地球的平均密度為ρ＝＝
13．發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射到距地面高度為h1的近地圓
軌道上，在衛(wèi)星經過A點時點火實施變軌進入橢圓軌道，最后
在橢圓軌道的遠地點B點再次點火將衛(wèi)星送入同步軌道，如圖4
所示．已知同步衛(wèi)星的運行周期為T，地球的半徑為R，地球表
面重力加速度為g，忽略地球自轉的影響．求： 圖4
(1)衛(wèi)星在近地點A的加速度大?。?
(2)遠地點B距地面的高度．
答案 (1) (2) －R
解析 (1)設地球質量為M，衛(wèi)星質量為m，萬有引力常量為G，衛(wèi)星在A點的加速度為a，
根據牛頓第二定律有G＝ma
設質量為m′的物體在地球赤道表面上受到的萬有引力等于重力，有
G＝m′g
由以上兩式得a＝
(2)設遠地點B距地面的高度為h2，衛(wèi)星受到的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律有：
G＝m(R＋h2)
解得：h2＝ －R.
2014年高考物理復習 第4章 第4課時 萬有引力與航天訓練題（含解析） 新人教版
