2013年全國(guó)高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 不等式選講 文

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1、選修4—5　不等式選講 真題試做 1．(2012·天津高考，文9)集合A＝中的最小整數(shù)為_(kāi)_________． 2．(2012·上海高考，文2)若集合A＝{x|2x－1＞0}，B＝{x||x|＜1}，則A∩B＝__________. 3．(2012·江西高考，理15)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集為_(kāi)_________． 4．(2012·課標(biāo)全國(guó)高考，理24)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)當(dāng)a＝－3時(shí)，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范圍． 5．(2012·遼寧高考，文2

2、4)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集為{x|－2≤x≤1}． (1)求a的值； (2)若≤k恒成立，求k的取值范圍． 考向分析 該部分主要有三個(gè)考點(diǎn)，一是帶有絕對(duì)值的不等式的求解；二是與絕對(duì)值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題；三是不等式的證明與運(yùn)用．對(duì)于帶有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的求解，主要考查形如|x|＜a或|x|＞a及|x－a|±|x－b|＜c或|x－a|±|x－b|＞c的不等式的解法，考查絕對(duì)值的幾何意義及零點(diǎn)分區(qū)間去絕對(duì)值符號(hào)后轉(zhuǎn)化為不等式組的方法．試題多以填空題或解答題的形式出現(xiàn)．對(duì)于與絕對(duì)值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題，此類問(wèn)題常與絕對(duì)值不等式的解法、函數(shù)的值

3、域等問(wèn)題結(jié)合，試題多以解答題為主．對(duì)于不等式的證明問(wèn)題，此類問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，方法靈活，主要考查比較法、綜合法等在證明不等式中的應(yīng)用，試題多以解答題的形式出現(xiàn)． 預(yù)測(cè)在今后高考中，對(duì)該部分的考查如果是帶有絕對(duì)值符號(hào)的不等式往往在解不等式的同時(shí)考查參數(shù)取值范圍、函數(shù)與方程思想等；如果是不等式的證明與運(yùn)用，往往運(yùn)用均值不等式．試題難度中等． 熱點(diǎn)例析 熱點(diǎn)一　絕對(duì)值不等式的解法 【例1】不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集為_(kāi)_________． 規(guī)律方法 1．絕對(duì)值不等式的解法 (1)|x|＜a?－a＜x＜a；|x|＞a?x＞a或x＜－a； (2)|ax＋b|≤c

4、?－c≤ax＋b≤c； |ax＋b|≥c?ax＋b≤－c或ax＋b≥c； (3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c的解法有三種：一是根據(jù)絕對(duì)值的意義結(jié)合數(shù)軸直觀求解；二是用零點(diǎn)分區(qū)間去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組求解；三是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象求解． 2．絕對(duì)值三角不等式 (1)|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|； (2)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|. 變式訓(xùn)練1 不等式|2x－1|＜3的解集為_(kāi)_________． 熱點(diǎn)二　與絕對(duì)值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題 【例2】不等式|2x＋1|＋|x＋a|＋|3x－3|＜5的解集非空，

5、則a的取值范圍為_(kāi)_________． 規(guī)律方法 解決含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題，往往有以下兩種方法： (1)對(duì)參數(shù)分類討論，將其轉(zhuǎn)化為分類函數(shù)來(lái)處理； (2)借助于絕對(duì)值的幾何意義，先求出f(x)的最值或值域，然后再根據(jù)題目要求，進(jìn)一步求解參數(shù)的范圍． 變式訓(xùn)練2 設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果關(guān)于x的不等式f(x)≤2有解，求a的取值范圍． 熱點(diǎn)三　不等式的證明問(wèn)題 【例3】(1)若|a|＜1，|b|＜1，比較|a＋b|＋|a－b|與2的大小，并說(shuō)明理由； (2)設(shè)m是|a|，|b|和1中最大的一個(gè)，當(dāng)|x|＞

6、m時(shí)，求證：＜2. 規(guī)律方法 證明不等式的基本方法： (1)證明不等式的基本方法有：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法． (2)不等式證明還有一些常用方法，如拆項(xiàng)法、添項(xiàng)法、換元法、逆代法、判別式法、函數(shù)的單調(diào)性法、數(shù)形結(jié)合法等． 其中換元法主要有三角代換、均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性． 變式訓(xùn)練3 設(shè)f(x)＝x2－x＋13，實(shí)數(shù)a滿足|x－a|＜1，求證：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)． 1．已知a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是(　　)． A．M＜N B．M＞N C．M＝N

7、 D．不能確定 2．若存在實(shí)數(shù)x滿足不等式|x－4|＋|x－3|＜a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)． A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－1,1) D．(3,4) 3．已知集合A＝{x||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝，則集合A∩B＝__________. 4．不等式|2x＋1|＋|3x－2|≥5的解集是__________． 5．(2012·河北唐山三模，24)設(shè)f(x)＝|x－3|＋|x－4|， (1)解不等式f(x)≤2； (2)若存在實(shí)數(shù)x滿足f(x)≤ax－1，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真

8、題試做 1．－3　解析：∵|x－2|≤5，∴－5≤x－2≤5， ∴－3≤x≤7，∴集合A中的最小整數(shù)為－3. 2．　解析：A＝，B＝{x|－1＜x＜1}，則A∩B＝. 3． 4．解：(1)當(dāng)a＝－3時(shí)，f(x)＝ 當(dāng)x≤2時(shí)，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1； 當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f(x)≥3無(wú)解； 當(dāng)x≥3時(shí)，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4； 所以f(x)≥3的解集為{x|x≤1，或x≥4}． (2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ?4－x－(2－x)≥|x＋a| ?

9、－2－a≤x≤2－a. 由條件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故滿足條件的a的取值范圍為[－3,0]． 5．解：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2. 又f(x)≤3的解集為{x|－2≤x≤1}， 所以當(dāng)a≤0時(shí)，不合題意． 當(dāng)a＞0時(shí)，－≤x≤，得a＝2. (2)記h(x)＝f(x)－2f， 則h(x)＝ 所以|h(x)|≤1，因此k≥1. 精要例析·聚焦熱點(diǎn) 熱點(diǎn)例析 【例1】{x|x≥1}　解析：原不等式可化為： 或或 ∴x∈或1≤x＜2或x≥2.∴不等式的解集為{x|x≥1}． 【變式訓(xùn)練1】{x|－1＜x＜2}　解析：由|2x－1|＜3

10、得－3＜2x－1＜3，∴－1＜x＜2. 【例2】－3＜a＜1　解析：不等式|2x＋1|＋|x＋a|＋|3x－3|＜5的解集非空，即|2x＋1|＋|3x－3|＜5－|x＋a|有解．令f(x)＝|2x＋1|＋|3x－3|，g(x)＝5－|x＋a|，畫出函數(shù)f(x)的圖象知：當(dāng)x＝1時(shí)f(x)min＝3，∴g(x)＝g(1)＝5－|1＋a|＞3即可，解得－3＜a＜1. 【變式訓(xùn)練2】解：(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. 故f(x)＝ 當(dāng)x＜－1時(shí)，由－2x≥3，得x≤－. 當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝2，無(wú)解． 當(dāng)x＞1時(shí)，由2x≥3，得x≥. 綜上可得，f(x)

11、≥3的解集為∪. (2)f(x)＝|x－1|＋|x－a|表示數(shù)x到1的距離與到a的距離和．由f(x)≤2有解可得－1≤a≤3. 故a的取值范圍為[－1,3]． 【例3】(1)解：|a＋b|＋|a－b|＜2. 理由：(|a＋b|＋|a－b|)2－4＝2|a|2＋2|b|2＋2|a2－b2|－4 ＝2(|a|2＋|b|2＋|a2－b2|－2)． 設(shè)|a|2＋|b|2＋|a2－b2|＝2t，其中t＝max{|a|2，|b|2}， ∵|a|＜1，|b|＜1，∴2t＜2，∴2(|a|2＋|b|2＋|a2－b2|－2)＜0. 所以|a＋b|＋|a－b|＜2. (2)證明：因?yàn)閨x|＞m≥

12、|b|且|x|＞m≥1，所以|x|2＞|b|. 又因?yàn)閨x|＞m≥|a|，所以≤＋＝＋＜＋＝2.故原不等式成立． 【變式訓(xùn)練3】證明：∵f(x)＝x2－x＋13， ∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a| ＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|. 又∵|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1| ≤|x－a|＋|2a－1| ＜1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)， ∴|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)． 創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練 1．B　2．B 3．{x|－2≤x≤5}　解析：∵A＝{x||x＋3|＋|x－4|≤9} ＝{x|－4≤x≤5}， B＝ ＝＝{x

13、|x≥－2}， ∴A∩B＝{x|－4≤x≤5}∩{x|x≥－2}＝{x|－2≤x≤5}． 4．∪　解析：當(dāng)x≤－時(shí)，不等式為－(2x＋1)－(3x－2)≥5，解得x≤－； 當(dāng)－＜x≤時(shí)，不等式為(2x＋1)－(3x－2)≥5，解得x≤－2，此時(shí)無(wú)解； 當(dāng)x＞時(shí)，不等式為(2x＋1)＋(3x－2)≥5，解得x≥. 故原不等式的解集為∪. 5．解：(1)f(x)＝|x－3|＋|x－4|＝ 作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，它與直線y＝2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和.由圖象知f(x)≤2的解集為. (2)函數(shù)y＝ax－1的圖象是過(guò)點(diǎn)(0，－1)的直線． 當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝ax－1有公共點(diǎn)時(shí)，存在題設(shè)中的x.由圖象易知，a的取值范圍為(－∞，－2)∪.