2014屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時提升作業(yè)(二十) 第三章 第五節(jié) 文

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1、課時提升作業(yè)(二十) 一、選擇題 1.(2013·鷹潭模擬)若角α的終邊落在直線x+y=0上,則+的值等于 ( ) (A)-2　　　(B)2　　　 (C)-2或2　　 　(D)0 2.(2013·九江模擬)已知cos(π+x)=,x∈(π,2π),則tanx等于( ) (A)-　　　(B)-　　　 (C)　　　 (D) 3.函數(shù)f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函數(shù),則θ為( ) (A)kπ(k∈Z) (B)kπ+(k∈Z) (C)kπ+(k∈Z) (D)-kπ-(k∈Z) 4.(2013·漢中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+)+

2、cos(2x+),則( ) (A)y=f(x)在(0,)上是增加的,其圖像關(guān)于直線x=對稱 (B)y=f(x)在(0,)上是增加的,其圖像關(guān)于直線x=對稱 (C)y=f(x)在(0,)上是減少的,其圖像關(guān)于直線x=對稱 (D)y=f(x)在(0,)上是減少的,其圖像關(guān)于直線x=對稱 5.(2013·延安模擬)若函數(shù)f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,則f(x)的最大值為 ( ) (A)1　　　(B)2　　　(C)+1　　　(D)+2 6.已知cos(α-)+sinα=,則sin(α+)的值是( ) (A)- (B) (C)- (D) 二

3、、填空題 7.(2013·阜陽模擬)已知cos(-100°)=m,則tan80°=　　　　. 8.已知函數(shù)f(x)=sinx-cosx,x∈R,則該函數(shù)圖像的對稱中心為　　　　. 9.已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sinβ=sin(2α+β),則tanβ的最大值是　　　　. 三、解答題 10.已知函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x-),x∈R. (1)求f(x)最小正周期和最小值. (2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,求證:[f(β)]2-2=0. 11.(能力挑戰(zhàn)題)已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x

4、)的導(dǎo)函數(shù). (1)若f(x)=2f′(x),求的值. (2)求函數(shù)F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的最大、最小值. 12.(1)①證明兩角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; ②由Cα+β推導(dǎo)兩角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (2)已知cosα=-,α∈(π,π),tanβ=-,β∈(,π),求cos(α+β). 答案解析 1.【解析】選D.原式=+,由題意知角α的終邊在第二、四象限,sinα與cosα的符號相反,所以原式=0 2.【解析】選D.∵cos(π+x)=-cos

5、x=, ∴cosx=-, 又π

6、n(x+),由0≤x<,得≤x+<,故當(dāng)x=時,有最大值2. 6.【解析】選C.cos(α-)+sinα=sinα+cosα =sin(α+)=, 所以sin(α+)=-sin(α+)=-. 7.【解析】cos(-100°)=cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°=m, ∴cos 80°=-m, ∴m<0, ∴sin80°==, ∴tan80°==-. 答案:- 8.【解析】f(x)=sinx-cosx=2sin(x-), 由x-=kπ(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z), 故所求對稱中心為(kπ+,0)(k∈Z). 答案:(kπ+,0)(k∈Z)

7、 9.【解析】由3sinβ=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化簡得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα, ∴tan(α+β)=2tanα, ∴tanβ=tan(α+β-α)= ==. 由題意知,tanα>0, ∴+2tanα≥2 (當(dāng)且僅當(dāng)=2tanα,即tanα=時等號成立), ∴tanβ的最大值為=. 答案: 【方法技巧】三角函數(shù)和差公式的靈活應(yīng)用 (1)三角函數(shù)和差公式在三角函數(shù)式的化簡和求值中經(jīng)常用到,因此公式的靈活應(yīng)用非常關(guān)鍵,公式可以正用、逆用、變形應(yīng)用. (2)逆用關(guān)鍵在于構(gòu)造公式的形式,方法是通過三角恒等變

8、換,出現(xiàn)和或差的形式,即出現(xiàn)能逆用公式的條件;有時通過兩式平方相加減,分子分母同除,切函數(shù)化成弦函數(shù)等技巧. 10.【思路點(diǎn)撥】(1)將f(x)利用輔助角公式化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式求解. (2)由條件求得β的值后再證明. 【解析】(1)f(x)=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin=sinx-cosx =2sin(x-),∴f(x)的最小正周期T=2π,最小值f(x)min=-2. (2)由已知得cosαcosβ+sinαsinβ=, cosαcosβ-sinαsinβ=-,兩式相加得2cosαcosβ=0, ∵0<α<β≤, ∴co

9、sβ=0,則β=, ∴[f(β)]2-2=4sin2-2=0. 【變式備選】函數(shù)f(x)=sin2x--. (1)若x∈[,],求函數(shù)f(x)的最值及對應(yīng)的x的值. (2)若不等式[f(x)-m]2<1在x∈[,]上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】(1)f(x)=sin 2x-- =sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1, ∵x∈[,],∴≤2x-≤, 當(dāng)2x-=,即x=時,f(x)max=0, 當(dāng)2x-=,即x=時,f(x)min=-. (2)方法一:∵[f(x)-m]2<1(x∈[,])f(x)-1f(x)

10、max-1且m0,故-1

11、(2x+)+1, 當(dāng)x=kπ+,k∈Z時,F(x)的最大值是+1. 當(dāng)x=kπ-,k∈Z時,F(x)的最小值是1-. 12.【思路點(diǎn)撥】(1)①建立坐標(biāo)系,利用兩點(diǎn)間的距離公式證明;②利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式證明. (2)直接利用公式求解. 【解析】(1)①如圖,在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O,并作出角α,β與-β,使角α的始邊為Ox軸非負(fù)半軸,交☉O于點(diǎn)P1,終邊交☉O于點(diǎn)P2;角β的始邊為OP2,終邊交☉O于點(diǎn)P3, 角-β的始邊為OP1,終邊交☉O于點(diǎn)P4. 則P1(1,0),P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β)

12、, sin(-β)). 由P1P3=P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2, 展開并整理,得 2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ). ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. ②由①易得,cos(-α)=sinα, sin(-α)=cosα. sin(α+β)=cos[-(α+β)] =cos[(-α)+(-β)] =cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β) =sinαcosβ+cosαsinβ. ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (2)∵α∈(π,π),cosα=-,∴sinα=-. ∵β∈(,π),tanβ=-, ∴cosβ=-,sinβ=. cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =(-)×(-)-(-)×=.