浙江省永嘉縣橋下鎮(zhèn)甌渠中學(xué)2014屆九年級數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《專題五 開放探索問題》基礎(chǔ)演練

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1、 1. 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),且滿足y隨x的增大而增大,則該一次函數(shù)的解析式可以為________. 解析 設(shè)一次函數(shù)的解析式為:y=kx+b(k≠0), ∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),∴b=1, ∵y隨x的增大而增大,∴k>0, 故答案為y=x+1(答案不唯一,可以是形如y=kx+1,k>0的一次函數(shù)). 答案 y=x+1(答案不唯一,可以是形如y=kx+1,k>0的一次函數(shù)) 2.寫出一個不可能事件________. 解析 不可能事件是指在一定條件下,一定不發(fā)生的事件.一個月最多有31天,故明天是三十二號不可能存在,為不可能事件. 答案 明天

2、是三十二號 3.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,添加一個條件:________,可使它成為矩形. 解析 本題是一道開放題,只要掌握矩形的判定方法即可.由有一個角是直角的平行四邊形是矩形.想到添加∠ABC=90°; 由對角線相等的平行四邊形是矩形.想到添加AC=BD. 答案 ∠ABC=90°(或AC=BD等) 4.一個y關(guān)于x的函數(shù)同時滿足兩個條件:①圖象過(2,1)點(diǎn);②當(dāng)x>0時.y隨x的增大而減小,這個函數(shù)解析式為________(寫出一個即可). 解析 本題的函數(shù)沒有指定是什么具體的函數(shù),可以從一次函數(shù),反比例函數(shù),二次函數(shù)三方面考慮,只要符合條件①②即可. 答案 y=

3、,y=-x+3,y=-x2+5(本題答案不唯一) 5.先化簡,再把x取一個你最喜歡的數(shù)代入求值:÷. 分析 將括號里通分,除法化為乘法,約分化簡,再代值計算,代值時,x的取值不能使原式的分母、除式為0. 解 原式=· =· =· = · = 當(dāng)x=6時,原式=1. 6.(2012·廣州)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=5,BC=10,F(xiàn)為AD的中點(diǎn),CE⊥AB于E,設(shè)∠ABC=α(60°≤α<90°). (1)當(dāng)α=60°時,求CE的長; (2)當(dāng)60°<α<90°時, ①是否存在正整數(shù)k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由. ②

4、連接CF,當(dāng)CE2-CF2取最大值時,求tan∠DCF的值. 分析 (1)利用60°角的正弦值列式計算即可得解; (2)①連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G,利用“角邊角”證明△AFG和△CFD全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=GF,AG=CD,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF,再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF,然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得∠AEF=∠G=∠AFG,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠EFC=2∠G,然后推出∠EFD=3∠AEF,從而得解; ②設(shè)BE=x,在Rt△BCE中,利用勾股定理表示出CE2,表示出EG的長度,在R

5、t△CEG中,利用勾股定理表示出CG2,從而得到CF2,然后相減并整理,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答. 解  (1)∵α=60°,BC=10,∴sin α=, 即sin 60°==,解得CE=5 ; (2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF. 理由如下:連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G,如圖所示,∵F為AD的中點(diǎn), ∴AF=FD, 在平行四邊形ABCD中,AB∥CD, ∴∠G=∠DCF,在△AFG和△DFC中, , ∴△AFG≌△DFC(AAS),∴CF=GF,AG=DC, ∵CE⊥AB, ∴EF=GF(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半),∴∠AEF=∠G,

6、 ∵AB=5,BC=10,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn), ∴AG=5,AF=AD=BC=5, ∴AG=AF,∴∠AFG=∠G, 在△EFG中,∠EFC=∠AEF+ ∠G=2∠AEF, 又∵∠CFD=∠AFG(對頂角相等), ∴∠CFD=∠AEF, ∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF, 因此,存在正整數(shù)k=3,使得∠EFD=3∠AEF; ②設(shè)BE=x,∵AG=CD=AB=5, ∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x, 在Rt△BCE中,CE2=BC2-BE2=100-x2, 在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10-x)2+100-x2=200-

7、20x, ∵CF=GF(①中已證), ∴CF2==CG2=(200-20x)=50-5x, ∴CE2-CF2=100-x2-50+5x =-x2+5x+50=-+50+, ∴當(dāng)x=,即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時, CE2-CF2取最大值, 此時,EG=10-x=10-=, CE= = =, 所以,tan∠DCF=tan∠G===. 7. 已知,如圖,△ABC是邊長為3 cm的等邊三角形,動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速移動,它們的速度都是1 cm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時,P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(s),解答下列問題: (1)當(dāng)t為何值時,△P

8、BQ是直角三角形? (2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm2),求y與t的關(guān)系式;是否存在某一時刻t,使四邊形APQC的面積是△ABC面積的?如果存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在,說明理由. 解 (1)當(dāng)∠BPQ=90°時, 在Rt△BPQ中,∠B=60°,BP=3-t,BQ=t. ∵cos B=,∴BP=BQ·cos B, 即3-t=t·.解之,得t=2. 當(dāng)∠BQP=90°時, 在Rt△BPQ中,∠B=60°,BP=3-t, BQ=t, ∵cos B=,∴BQ=BP·cos B,即t=(3-t)·.解之,得t=1. 綜上,t=1或t=2時,△PBQ是直角三角形. (2)∵

9、S四邊形APQC=S△ABC-S△PBQ, ∴y=×3×3·sin 60°-×(3-t)·t·sin 60° =t2-t+. 又∵S四邊形APQC=S△ABC, ∴t2-+=×, 整理得,t2-3t+3=0,Δ=(-3)2-4×1×3<0, ∴方程無實(shí)根.∴無論t取何值時,四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的. 8.已知點(diǎn)A(1,2)和B(-2,5),試求出兩個二次函數(shù),使它們的圖象都經(jīng)過A、B兩點(diǎn). 解 法一 設(shè)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(1,2),B(-2,5), 則①-②得3b-3a=-3,即a=b+1. 設(shè)a=2,則b=1,將a=2,b=1代入①,得c=-1, 故所求的二次函數(shù)為y=2x2+x-1. 又設(shè)a=1,則b=0,將a=1,b=0代入①,得c=1, 故所求的另一個二次函數(shù)為y=x2+1. 法二 因?yàn)椴辉谕粭l直線上的三點(diǎn)確定一條拋物線,因此要確定一條拋物線,可以另外再取一點(diǎn),不妨取C(0,0), 則∴解得 故所求的二次函數(shù)為y=x2+x, 用同樣的方法可以求出另一個二次函數(shù). - 5 -

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