2018年高中數學 第三章 導數應用 3.2.2 最大值、最小值問題課件1 北師大版選修2-2.ppt

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1、3.2.2最大值、最小值問題, 求極值的步驟：,1. 求導數 ；,2. 解方程 ；,3. 對于方程 的每一個解 ，分析 在 左右兩側的符號，確定極值點： 在 兩側若 的符號,（1） “左正右負”，則 為極大值點；,（2） “左負右正”，則 為極小值點；,（3）相同，則 不是極值點；,復習回顧,極值是函數的局部性質，而不是在整個定義域內 的性質，即：如果 是 的極大(小)值點，那 么在 附近找不到比 更大(小)的值。 但是，解決實際問題或研究函數性質時，我們往 往更關心在某個區(qū)間上，函數的哪個值最大，哪個值 最小。,若 是 在 上的最大(小)值點，

2、則 不小 (大)于 在此區(qū)間上的所有函數值。,由圖知，最大(小)值在極大(小)值點或區(qū)間的端 點處取得。,概括,思考：如何求函數的最大(小)值？,問題：對于函數的最值概念的學習，你認為 有哪些方面是值得注意的？,例1 求函數 在區(qū)間 上的 最值。,,,最值是在極值點或者區(qū)間的端點取得的，所以 要想求最值，應首先求出函數的極值點，然后將所有的極大(小)值與端點的函數值進行比較，其中最大(小)的值即為函數的最大(小)值。,分析：,解：,求導得,令 ，得,通過比較可知：,列表可知， 是函數的極大值點， 是 極小值點，計算極值和端點的函數值得,總結,若 是

3、在 上的最大(小)值點，則 不小 (大)于 在此區(qū)間上的所有函數值。, 函數的最大(小)值：, 求最值的步驟：,（1）求 f (x)在 (a，b) 內的極值；,（2）將 f (x) 的各極值與 f (a)，f (b) 進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。,1. 求函數 在區(qū)間-1，2上的最值。,2. 已知函數 ， （1）求f (x) 單調減區(qū)間； （2）若f (x) 在-2，2上的最大值是20，求它在該 區(qū)間上的最小值。,動手做一做,例2 邊長為 48 cm 的正方形鐵皮，四角各截去一個大小相同的正方形，然后折起

4、，可做成無蓋的長方體容器，其容積 V 是關于截去的小正方形的邊長 x 的函數。 （1）隨 x 的變化，容積 V 如何變化？ （2）截去的小正方形邊長為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？,分析：,解決實際應用問題，首先要分析并列出函數關 系，要注意根據實際意義寫出定義域。求函數值的 變化情況即單調性，求導判斷導數符號即可，求最 值就是求導、解方程求出極值點，最后通過比較函 數值寫出最值。,解：,求導得,，,令 ，得,分析可知，x = 8 是極大值點，極大值為,V= f (x)在 上遞增，在 上遞減。,由表知：,（2）由函數的單調性和圖像可知，x = 8時最大值點，,此時,V

5、= f (8) =,即當截去小正方形邊長為 8 cm時，得到最大容 積為 。,日常生活中，人們常常會遇到這樣的一些問題， 在一定條件下，怎樣使得“用料最省”“利潤最大”“成本最低”“選址最優(yōu)”等等。這類問題一般都可以利用導數的知識得到解決。,概括總結,練習,3. 設一容積 V 一定的有鋁合金蓋的圓柱形鐵桶， 已知單位面積鋁合金的價格是鐵的 3 倍，問如何設 計使得總造價最??？,提示：設圓柱高 h ，底半徑 r ，單位面積鐵的造價 為 m ，桶總造價為 y ，則,動手做一做,（1）函數的最值是一個整體性概念，最大值必須 是整個區(qū)間上所有函數值中的最大者，最小值必須 是整個區(qū)間上所有函數值中的最小者。,（2）函數的最大值和最小值是比較整個定義區(qū)間 的所有函數值得到的；極大值和極小值是比較極值 點附近的函數值得出的。 極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只 能在區(qū)間內取得，最值可以在端點取得。,注意：,概括總結,返回,小結,若 是 在 上的最大(小)值點，則 不小 (大)于 在此區(qū)間上的所有函數值。, 函數的最大(小)值：, 求最值的步驟：,（1）求 f (x)在 (a，b) 內的極值；,（2）將 f (x) 的各極值與 f (a)，f (b) 進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。,謝謝大家！,