2013年高中數學 暑期特獻 重要知識點 導數的應用

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1、 導數的應用 微分學中值定理 ?? 在給出微分學中值定理的數學定義之前，我們先從幾何的角度看一個問題，如下： ?? 設有連續(xù)函數，a與b是它定義區(qū)間內的兩點(a＜b)，假定此函數在(a,b)處處可導，也就是在(a,b)內的函數圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到， ??????????????????????????? ?? 差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動，那么至少有一次機會達到離割線最遠的一點P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為，由于切線與割線是平行的，因此 ?????????????????????????? 成立。

2、?? 注：這個結果就稱為微分學中值定理，也稱為拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 ?? 如果函數在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，那末在(a,b)內至少有一點c，使 ????????????????????????? 成立。 ?? 這個定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下： ?? 若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且，那末在(a,b)內至少有一點c，使成立。 ?? 注：這個定理是羅爾在17世紀初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。 ?? 注：在此我們對這兩個定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關書籍 ?? 下面我們在學習

3、一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理——柯西中值定理 柯西中值定理 ?? 如果函數，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，且≠0，那末在(a，b)內至少有一點c，使成立。 ?? 例題：證明方程在0與1之間至少有一個實根 ??? 證明：不難發(fā)現方程左端是函數的導數： ???????? 函數在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內可導，且，由羅爾定理 ???????? 可知，在0與1之間至少有一點c，使，即 ???????? 也就是：方程在0與1之間至少有一個實根 未定式問題 　 ?? 問題：什么樣的式子稱作未定式呢？ ?? 答案：對于函數,來說，當x→a(或x→

4、∞)時，函數,都趨于零或無窮大 ????? 則極限可能存在，也可能不存在，我們就把式子稱為未定式。分別記為型 ?? 我們容易知道，對于未定式的極限求法，是不能應用"商的極限等于極限的商"這個法則來求解的，那么我們該如何求這類問題的極限呢？ ?? 下面我們來學習羅彼塔(L'Hospital)法則，它就是這個問題的答案 ?? 注：它是根據柯西中值定理推出來的。 羅彼塔(L'Hospital)法則 ?? 當x→a(或x→∞)時，函數,都趨于零或無窮大，在點a的某個去心鄰域內(或當│x│＞N)時，與都存在，≠0，且存在 ???? 則：= ?? 這種通過分子分母求導再來求極限來確定未定式

5、的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則 ?? 注：它是以前求極限的法則的補充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。 ?? 例題：求 ?? 解答：容易看出此題利用以前所學的法則是不易求解的，因為它是未定式中的型求解問題，因此我們就可以利用上面所學的法則了。 ????????? ?? 例題：求 ?? 解答：此題為未定式中的型求解問題，利用羅彼塔法則來求解 ????????? ? 另外，若遇到 、、 、 、 等型，通常是轉化為型后，在利用法則求解。 ?? 例題：求 ?? 解答：此題利用以前所學的法則是不好求解的，它為型，故可先將其轉化為型后在求解， ?

6、????????? ?? 注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時，也不存在，此時只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。 函數單調性的判定法 　 ? 函數的單調性也就是函數的增減性，怎樣才能判斷函數的增減性呢？ ? 我們知道若函數在某區(qū)間上單調增(或減)，則在此區(qū)間內函數圖形上切線的斜率均為正(或負),也就是函數的導數在此區(qū)間上均取正值(或負值).因此我們可通過判定函數導數的正負來判定函數的增減性. 判定方法： ? 設函數在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內可導. ?? a)：如果在(a,b)內＞0，那末函數在[a,b]上單調增加；

7、 ?? b)：如果在(a,b)內＜0，那末函數在[a,b]上單調減少. ?? 例題：確定函數的增減區(qū)間. ?? 解答：容易確定此函數的定義域為(－∞,＋∞) ???????? 其導數為：，因此可以判出： ???????? 當x＞0時，＞0，故它的單調增區(qū)間為(0,＋∞)； ???????? 當x＜0時，＜0，故它的單調減區(qū)間為(-∞,0)； 注：此判定方法若反過來講，則是不正確的。 函數的極值及其求法 ?? ? 在學習函數的極值之前，我們先來看一例子： ? 設有函數，容易知道點x=1及x=2是此函數單調區(qū)間的分界點，又可知在點x=1左側附近，函數值是單調增加的，在點x=1

8、右側附近，函數值是單調減小的.因此存在著點x=1的一個鄰域,對于這個鄰域內,任何點x(x=1除外)，＜均成立，點x=2也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點有這些性質呢？ ? 事實上，這就是我們將要學習的內容——函數的極值， 函數極值的定義 ? 設函數在區(qū)間(a,b)內有定義，x0是(a,b)內一點. ? 若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內任何點x(x0點除外)，＜均成立， ??? 則說是函數的一個極大值； ? 若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內任何點x(x0點除外)，＞均成立， ??? 則說是函數的一個極小值. ? 函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，使函數

9、取得極值的點稱為極值點。 ? 我們知道了函數極值的定義了，怎樣求函數的極值呢？ ? 學習這個問題之前，我們再來學習一個概念——駐點 ? 凡是使的x點，稱為函數的駐點。 ? 判斷極值點存在的方法有兩種：如下 方法一： ? 設函數在x0點的鄰域可導，且. ? 情況一：若當x取x0左側鄰近值時，＞0，當x取x0右側鄰近值時，＜0， ?????????? 則函數在x0點取極大值。 ? 情況一：若當x取x0左側鄰近值時，＜0，當x取x0右側鄰近值時，＞0， ?????????? 則函數在x0點取極小值。 ? 注：此判定方法也適用于導數在x0點不存在的情況。 ? 用方法一求極值的一

10、般步驟是： ???? a)：求； ???? b)：求的全部的解——駐點； ???? c)：判斷在駐點兩側的變化規(guī)律，即可判斷出函數的極值。 ? 例題：求極值點 ?? 解答：先求導數 ?????? 再求出駐點：當時，x=-2、1、-4/5 ?????? 判定函數的極值，如下圖所示 ???????????????? 方法二： ? 設函數在x0點具有二階導數，且時. ?? 則：a)：當＜0，函數在x0點取極大值； ?????? b)：當＞0，函數在x0點取極小值； ?????? c)：當=0，其情形不一定，可由方法一來判定. ?? 例題：我們仍以例1為例，以比較這兩種方

11、法的區(qū)別。 ??? 解答：上面我們已求出了此函數的駐點，下面我們再來求它的二階導數。 ?????? ?????? ，故此時的情形不確定，我們可由方法一來判定； ?????? ＜0，故此點為極大值點； ?????? ＞0，故此點為極小值點。 函數的最大值、最小值及其應用 ?? 在工農業(yè)生產、工程技術及科學實驗中，常會遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使"產品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。 ?? 這類問題在數學上可歸結為求某一函數的最大值、最小值的問題。 ?? 怎樣求函數的最大值、最小值呢？前面我們已經知道了，函數的極值是局部的。要求在[a,b]上的最大值、最小值時，

12、可求出開區(qū)間(a,b)內全部的極值點，加上端點的值，從中取得最大值、最小值即為所求。 ?? 例題：求函數，在區(qū)間[-3，3/2]的最大值、最小值。 ?? 解答：在此區(qū)間處處可導， ??????? 先來求函數的極值，故x=±1， ??????? 再來比較端點與極值點的函數值，取出最大值與最小值即為所求。 ??????? 因為，，， ??????? 故函數的最大值為，函數的最小值為。 ?? 例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應怎樣配，使同樣容積下材料最??？ ?? 解答：由題意可知：為一常數， ??????? 面積 ??????? 故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。 ???

13、???? ??????? ??????? 故：時，用料最省。 曲線的凹向與拐點 　 ? 通過前面的學習，我們知道由一階導數的正負，可以判定出函數的單調區(qū)間與極值，但是還不能進一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。 定義： ? 對區(qū)間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I下凹，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。 曲線凹向的判定定理 ? 定理一：設函數在區(qū)間(a,b)上可導，它對應曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是： ?????????? 導數在區(qū)間(a,b)上是單調增(或單調減)。 ? 定理二：設函數在區(qū)間(a,b)上可導

14、，并且具有一階導數和二階導數；那末： ?????????? 若在(a,b)內，＞0，則在[a,b]對應的曲線是下凹的； ?????????? 若在(a,b)內，＜0，則在[a,b]對應的曲線是上凹的； ? 例題：判斷函數的凹向 ?? 解答：我們根據定理二來判定。 ?????? 因為，所以在函數的定義域(0,+∞)內，＜0， ?????? 故函數所對應的曲線時下凹的。 拐點的定義 ? 連續(xù)函數上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點。 拐定的判定方法 ? 如果在區(qū)間(a,b)內具有二階導數，我們可按下列步驟來判定的拐點。 ????? (1)：求； ????? (2)：令=0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內實根； ????? (3)：對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查在x0左、右兩側鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點。 ? 例題：求曲線的拐點。 ?? 解答：由， ??????? 令=0，得x=0，2/3 ??????? 判斷在0，2/3左、右兩側鄰近的符號，可知此兩點皆是曲線的拐點。 - 9 -