2012高考數(shù)學(xué) 專題練習(xí) 六 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 文

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1、 高考專題訓(xùn)練六　點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 班級(jí)_______　姓名_______　時(shí)間：45分鐘　分值：75分　總得分________ 一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)填在答題卡上． 1．(重慶卷)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)(　　) A．只有1個(gè)　　　　　　 B．恰有3個(gè) C．恰有4個(gè) D．有無窮多個(gè) 解析：本小題主要考查考生的空間想象能力以及利用特殊幾何模型解決問題的能力． 在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知直線AD與D1C1是異面且垂直的兩條直線，過

2、直線AD與D1C1平行的平面是平面ABCD，因此考慮在平面ABCD內(nèi)到直線AD與D1C1的距離相等的動(dòng)點(diǎn)M(x，y,0)的坐標(biāo)所滿足的條件，作MM1⊥AD于點(diǎn)M1，MN⊥CD于點(diǎn)N，NP⊥D1C1于點(diǎn)P，連接MP，易知MN⊥平面CDD1C1，MP⊥D1C1，若MM1＝MP，則有y2＝x2＋a2(其中a是異面直線AD與D1C1間的距離)，即有y2－x2＝a2，從而可知在平面ABCD內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一部分，故滿足題意的點(diǎn)有無窮多個(gè)，選D. 答案：D 2．(2011·濰坊市)已知m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α⊥γ，α⊥β，則γ∥

3、β B．若m∥n，m?α，n?β，則α∥β C．若m∥n，m∥α，則n∥α D．若n⊥α，n⊥β，則α∥β 解析：對(duì)于選項(xiàng)A，垂直于同一平面的兩個(gè)平面也可以相交，如正方體相鄰的兩個(gè)平面，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)平面α與平面β相交于直線l，則在這兩個(gè)平面內(nèi)都存在與交線平行的直線，此時(shí)這兩直線也平行，故B也錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C，應(yīng)有n∥α或n?α兩種情形，故C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，由線面垂直性質(zhì)知，垂直于同一直線的兩平面平行，故D正確． 答案：D 3．(2011·日照市)若l、m、n為直線，α、β、γ為平面，則下列命題中為真命題的是(　　) A．若m∥α，m∥β，則α∥β B．若m⊥α，n⊥α，

4、則m∥n C．若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β D．若α⊥β，l?α，則l⊥β 解析：由垂直于同一平面的兩直線互相平行可知，選項(xiàng)B正確；而對(duì)于選項(xiàng)A，平行于同一直線的兩平面也可能相交，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，垂直于同一平面的兩平面也可能平行，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，位于互相垂直的兩平面中的一個(gè)平面內(nèi)的一直線，其與另一個(gè)平面可以平行、斜交或垂直，故選項(xiàng)D不正確． 答案：B 4．(2011·煙臺(tái)市)已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；④若m⊥

5、α，n∥β，α∥β，則m⊥n. 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：對(duì)于命題①，由分別垂直于互相垂直的直線的兩平面垂直知，①正確；對(duì)于命題②，分別平行于互相垂直的直線的兩平面的位置關(guān)系可能相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于命題③，兩平面也可能相交，故③錯(cuò)誤；對(duì)于命題④，由于m⊥α，α∥β?m⊥β，則直線m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線，又n∥β，則n平行于β內(nèi)的無數(shù)條直線，所以直線m⊥n，故④正確．所以正確的命題有兩個(gè)． 答案：B 5．(山東)正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、AB的中點(diǎn)，則EF與對(duì)角面BDD1B1所成角的度數(shù)是(　　)

6、 A．30° B．45° C．60° D．150° 解析：如下圖，∵EF∥A1B，∴EF、A1B與對(duì)面角BDD1B1所成的角相等，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A1B＝.連接A1C1，交D1B1于點(diǎn)M，連接BM，則有A1M⊥面BDD1B1，∠A1BM為A1B與面BDD1B1所成的角．Rt△A1BM中，A1B＝，A1M＝，故∠A1BM＝30°. ∴EF與對(duì)角面BDD1B1所成角的度數(shù)是30°.故選A. 答案：A 6．(山東)已知直線m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點(diǎn)的集合可能是：①一條直線；②一個(gè)平面；③一個(gè)點(diǎn)；④空集．其中正確的是(　　)

7、A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②④ 解析：如圖1，當(dāng)直線m或直線n在平面α內(nèi)時(shí)有可能沒有符合題意的點(diǎn)；如圖2，直線m、n到已知平面α的距離相等且所在平面與已知平面α垂直，則已知平面α為符合題意的點(diǎn)；如圖3，直線m、n所在平面與已知平面α平行，則符合題意的點(diǎn)為一條直線，從而選C. 答案：C 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上． 7．(2011·福建)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________． 解析：∵EF∥面AB1C，∴EF

8、∥AC. 又E是AD的中點(diǎn)，∴F是DC的中點(diǎn)． ∴EF＝AC＝. 答案： 8．(2011·瓊海市高三一模)下面給出四個(gè)命題： ①若平面α∥平面β，AB，CD是夾在α，β間的線段，若AB∥CD，則AB＝CD； ②a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c一定是異面直線 ③過空間任一點(diǎn)，可以做兩條直線和已知平面α垂直； ④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，則PQ?α； 其中正確的命題是________(只填命題號(hào)) 解析：∵AB∥CD可確定一個(gè)平面γ，如圖 又∵α∥β，∴BD∥AC， ∴四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AB＝CD，①正確． ②不正確，a與c可能異面

9、，也可能共面． ③過一點(diǎn)作已知平面α的垂線有且只有一條，故③不正確． ④正確． 答案：①④ 9.(2011·九江市六校高三聯(lián)考)如圖，已知三棱錐S－ABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，SA⊥底面ABC，SA＝3，那么直線SB與平面SAC所成角的正弦值為________． 解析：如圖在△ABC中，BD⊥AC， ∵SA⊥面ABC， ∴SA⊥BD， 又∵SA∩AC＝A， ∴BD⊥平面SAC， ∴SD為SB在平面SAC內(nèi)的射影，∠BSD為直線SB與平面SAC所成的角， 在Rt△SBA中，SB＝， 在Rt△ABD中，BD＝， ∴在Rt△SBD中，sin∠BSD

10、＝＝＝， ∴直線SB與平面SAC所成角的正弦值為. 答案： 10．(2011·棗莊市高三模擬)已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命題，如果把α，β，γ中的任意兩個(gè)換成直線，另一個(gè)保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有________個(gè)． 解析：若α，β?lián)Q為直線a，b，則命題化為“a∥b，且α⊥γ?b⊥γ”，此命題為真命題；若α，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，此命題為假命題；若β，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥α，且b⊥α?a⊥b”，此命題為真命題． 答案：2 三、解答題：本大題共2小題，共25分．解答應(yīng)寫出文字說明

11、、證明過程或演算步驟． 11．(12分)(2011·北京)如圖，在四面體P－ABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)． (1)求證：DE∥平面BCP； (2)求證：四邊形DEFG為矩形； (3)是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由． 解：(1)證明：因?yàn)镈，E分別為AP、AC的中點(diǎn)， 所以DE∥PC. 又因?yàn)镈E?平面BCP， 所以DE∥平面BCP. (2)證明：因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF， 所以四邊形DEFG為平行四邊形．

12、 又因?yàn)镻C⊥AB， 所以DE⊥DG. 所以四邊形DEFG為矩形． (3)存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下： 連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)． 由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG， 分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN. 與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QM＝QN＝EG. 所以Q為滿足條件的點(diǎn)． 12．(13分)(2011·天津)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M為PD的中點(diǎn)． (1)證

13、明：PB∥平面ACM； (2)證明：AD⊥平面PAC； (3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值． 解：(1)證明：連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又M為PD的中點(diǎn)，所以PB∥MO.因?yàn)镻B?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM. (2)證明：因?yàn)椤螦DC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC，又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC. (3)取DO中點(diǎn)N，連接MN，AN.因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝，從而AN＝DO＝.在Rt△ANM中， tan∠MAN＝＝＝，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為. - 8 - 用心 愛心 專心