2012高考數學 考前沖刺第二部分方法十一 等價轉化思想方法

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1、 方法十一、等價轉化思想方法 等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。 轉化有等價轉化與非等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉化后的結果仍為原問題的結果。非等價轉化其過程是充分或必要的，要對結論進行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應用時一定要注意轉

2、化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。 著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉化為已經解過的題”。數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程。 等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去進行。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換；它可以在宏觀上進行等價轉化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數學語言的翻譯；它可以在符號系統(tǒng)內部實施轉換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數

3、形結合法、求值求范圍問題等等，都體現了等價轉化思想，我們更是經常在函數、方程、不等式之間進行等價轉化?？梢哉f，等價轉化是將恒等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。 在數學操作中實施等價轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數式、從無理式到有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉化為比較直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程，比如數形結合法；或者從

4、非標準型向標準型進行轉化。按照這些原則進行數學操作，轉化過程省時省力，有如順水推舟，經常滲透等價轉化思想，可以提高解題的水平和能力。 例1. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(－1)( －1)( －1)的最小值。 【分析】由已知x＋y＋z＝1而聯想到，只有將所求式變形為含代數式x＋y＋z，或者運用均值不等式后含xyz的形式。所以，關鍵是將所求式進行合理的變形，即等價轉化。 【注】對所求式進行等價變換：先通分，再整理分子，最后拆分。將問題轉化為求＋＋的最小值，則不難由平均值不等式而進行解決。此題屬于代數恒等變形題型，即代數式在形變中保持值不變。 例2. 設x、y∈R且3x＋2

5、y＝6x，求x＋y的范圍。 【分析】 設k＝x＋y，再代入消去y，轉化為關于x的方程有實數解時求參數k范圍的問題。其中要注意隱含條件，即x的范圍。 【解】由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。 設k＝x＋y，則y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0 ， 即k＝－x＋3x，其對稱軸為x＝3。 由0≤x≤2得k∈[0,4]。 所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。 【另解】 數形結合法（轉化為解析幾何問題）： 由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如圖所示橢圓，其一個頂點在坐標原點。x＋y的范圍就是橢圓上的點到坐標原點的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點是以原

6、點為圓心的圓與橢圓相切的切點。設圓方程為x＋y＝k，代入橢圓中消y得x－6x＋2k＝0。由判別式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。 【注】本題運用多種方法進行解答，實現了多種角度的轉化，聯系了多個知識點，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進行解答。各種方法的運用，分別將代數問題轉化為了其它問題，屬于問題轉換題型。 例3. 求值：ctg10°－4cos10° 【分析】分析所求值的式子，估計兩條途徑：一是將函數名化為相同，二是將非特殊角化為特殊角。 【解一】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝ ＝＝ ＝＝＝＝ （基本過程：

7、切化弦→通分→化同名→拆項→差化積→化同名→差化積） 【解二】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝＝ （基本過程：切化弦→通分→化同名→特值代入→積化和→差化積） 【解三】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ （基本過程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式） 【注】無條件三角求值問題，是高考中常見題型，其變換過程是等價轉化思想的體現。此種題型屬于三角變換型。一般對，對于三角恒等變換，需要靈活運用的是同角三角函數的關系式、誘導公式、和差角公式、倍半角公式、和積互化公式以及萬能公式，常用的手段是：切割化

8、弦、拆角、將次與升次、和積互化、異名化同名、異角化同角、化特殊角等等。對此，我們要掌握變換的通法，活用2公式，攻克三角恒等變形的每一道難關。 例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0, )，若x、x∈(0, )且x≠x， 求證：[f(x)＋f(x)]>f() 【分析】從問題著手進行思考，運用分析法，一步步探求問題成立的充分條件。 【證明】[f(x)＋f(x)]>f() [tgx＋tgx]>tg (＋)> > 1＋cos(x＋x)>2cosxcosx 1＋cosxcosx＋sinxsinx>2cosxcosx cosxcosx＋sinxsinx<1 cos(x－

9、x)<1 由已知顯然cos(x－x)<1成立，所以[f(x)＋f(x)]>f() S A M 【注】 本題在用分析法證明數學問題的過程中，每一步實施的都是等價轉化。此種題型屬于分析證明型。 D N C B 例5. 如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是側棱SC上的一點，使截面MAB與底面所成角等于∠NSC。求證：SC垂直于截面MAB。 【分析】 由三垂線定理容易證明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面幾何知識證明SC⊥DM。 ∴ △DCM≌△SCM ∴ ∠DMC＝

10、∠SNC＝Rt∠ 即 SC⊥DM 所以SC⊥截面MAB。 【注】立體幾何中有些問題的證明，可以轉化為平面幾何證明來解決，即考慮在一個平面上的證明時運用平面幾何知識。 【專題訓練】 1. f(x)是R上的奇函數，f(x＋2)＝f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)等于_____。 A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 2.設f(x)＝3x－2，則f[f(x)]等于______。 A. B. 9x－8 C. x D. 3. 若m、n、p、q∈R且m＋n＝a，

11、p＋q＝b，ab≠0，則mp＋nq的最大值是______。 A. B. C. D. 4. 如果復數z滿足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值為______。 A. 1 B. C. 2 D. 5. 設橢圓＋＝1 （a>b>0）的半焦距為c，直線l過(0,a)和(b,0)，已知原點到l的距離等于c，則橢圓的離心率為_____。 A. B. C. D. 6. 已知三棱錐S-ABC的三條側棱兩兩垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D為AB的中點，E為AC的中點，則四棱錐S-BCED的體積為_____。 A. B. 10 C. D. 【簡解】1小題：由已知轉化為周期為2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，選B； 2小題：設f(x)＝y(tǒng)，由互為反函數的值域與定義域的關系，選C； 3小題：由mp＋nq≤＋容易求解，選A； 7 用心 愛心 專心