2012高中數(shù)學(xué) 第2章章未綜合檢測(cè) 湘教版選修1-1

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1、 知能優(yōu)化訓(xùn)練 (時(shí)間：120分鐘；滿分：150分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知橢圓＋＝1上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)的距離為(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．3 C．5 D．7 解析：選D.點(diǎn)P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a＝10,10－3＝7.選D. 2．已知拋物線的方程為y＝2ax2，且過點(diǎn)(1,4)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(0，) B．(，0) C．(1,0) D．(0,1) 解析：選A.∵拋物線過點(diǎn)(1,4)，∴4＝2a，∴a

2、＝2，∴拋物線方程為x2＝y(tǒng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)． 3．(2011年高考安徽卷)雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：選C.∵2x2－y2＝8，∴－＝1，∴a＝2，∴2a＝4. 4．設(shè)雙曲線－＝1(a>0)的漸近線方程為3x±4y＝0，則a的值為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：選A.漸近線方程可化為y＝±x.∵雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴＝2，解得a＝±4.由題意知a>0，∴a＝4. 5．已知F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為(　　)

3、 A. B．1 C. D. 解析：選C.根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：(|AF|＋|BF|)－1＝－1＝. 6．設(shè)F1和F2為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩焦點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2，P(0,2b)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為(　　) A. B．2 C. D．3 解析：選B.由題知tan ＝＝，即3c2＝4b2＝4(c2－a2)，解得e＝＝2.故選B. 7．直線y＝kx－2與拋物線y2＝6x交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則k的值是(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．以上都不是 解析：

4、選A.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y＝6x1，y＝6x2， ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)， 由已知y1＋y2＝6， ∴＝＝1.故選A. 8．設(shè)k>1，則關(guān)于x、y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1表示的曲線是(　　) A．長軸在y軸上的橢圓 B．長軸在x軸上的橢圓 C．實(shí)軸在y軸上的雙曲線 D．實(shí)軸在x軸上的雙曲線 解析：選C.原方程可化為－＝1，∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>2，則為實(shí)軸在y軸上的雙曲線，故選C. 9．(2011年高考福建卷)設(shè)圓錐曲線Г的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線Г上存在點(diǎn)P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|

5、PF2|＝4∶3∶2，則曲線Г的離心率等于(　　) A.或 B.或2 C.或2 D.或 解析：選A.由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，可設(shè)|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k，若圓錐曲線為橢圓，則2a＝6k,2c＝3k，e＝＝.若圓錐曲線為雙曲線，則2a＝4k－2k＝2k,2c＝3k，e＝＝. 10．已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選B.如圖， 設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n. 則 ∴∴m

6、n＝4.∴|PF1|·|PF2|＝4. 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．請(qǐng)把答案填在題中橫線上) 11．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(4，－2)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p>0)，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入求出p的值． 答案：y2＝x或x2＝－8y 12．拋物線y2＝2x上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離之和是5，則線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是________． 答案：2 13．(2011年高考北京卷)已知雙曲線x2－＝1(b>0)的一條漸近線的方程為y＝2x，則b＝________. 解析：∵雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴＝2，∴

7、＝4. ∵a2＝1，∴b2＝4.又∵b>0，∴b＝2. 答案：2 14．(2011年高考山東卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________． 解析：橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，離心率為e＝.由于雙曲線－＝1與橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，因此a2＋b2＝7. 又雙曲線的離心率e＝＝，所以＝， 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故雙曲線的方程為－＝1. 答案：－＝1 15．(2011年高考課標(biāo)全國卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為

8、.過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為__________． 解析： 設(shè)橢圓方程為＋＝1，由e＝知＝，故＝. 由于△ABF2的周長為|AB|＋|BF2|＋|AF2| ＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4. ∴b2＝8. ∴橢圓C的方程為＋＝1. 答案：＋＝1 三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分13分)已知?jiǎng)訄AM和定圓C1：x2＋(y－3)2＝64內(nèi)切，而和定圓C2：x2＋(y＋3)2＝4外切．求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程． 解：設(shè)動(dòng)圓M

9、的半徑為r，圓心M(x，y)，兩定圓圓心C1(0,3)，C2(0，－3)，半徑r1＝8，r2＝2. 則|MC1|＝8－r，|MC2|＝r＋2. ∴|MC1|＋|MC2|＝(8－r)＋(r＋2)＝10. 又|C1C2|＝6，∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是橢圓，且焦點(diǎn)為C1(0,3)，C2(0，－3)，且2a＝10， ∴a＝5，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. ∴動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是＋＝1. 17．(本小題滿分13分)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長、短軸長之比為，一個(gè)焦點(diǎn)是(0，－2)． (1)求橢圓的離心率； (2)求橢圓的方程． 解：(1)設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)

10、， c2＝a2－b2(c>0)． 由已知得＝，故e2＝1－＝，e＝. (2)∵c＝2，則a＝＝，得b2＝a2－c2＝. 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 18．(本小題滿分13分)求以橢圓＋＝1短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)A(4，－5)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：由＋＝1得a＝4，b＝3， 所以短軸兩頂點(diǎn)為(0，±3)， 又雙曲線過A點(diǎn)，由雙曲線定義得 2a＝－ ＝2， 得a＝，又c＝3， 從而b2＝c2－a2＝4，又焦點(diǎn)在y軸上， 所以雙曲線方程為－＝1. 19. (本小題滿分12分)(2011年高考福建卷)如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點(diǎn)A.

11、 (1)求實(shí)數(shù)b的值； (2)求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 解：(1)由得x2－4x－4b＝0.(*) 因?yàn)橹本€l與拋物線C相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1. (2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即為x2－4x＋4＝0， 解得x＝2.將其代入x2＝4y，得y＝1. 故點(diǎn)A(2,1)． 因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切， 所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y＝－1的距離， 即r＝|1－(－1)|＝2， 所以圓A的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 20．(本小題滿分12分)(2011年高考天津卷)設(shè)橢圓＋＝1(

12、a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)P(a，b)滿足|PF2|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率e. (2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．若直線PF2與圓(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|＝|AB|，求橢圓的方程． 解：(1)設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，(c>0)， 因?yàn)閨PF2|＝|F1F2|，所以＝2c. 整理得22＋－1＝0， 得＝－1(舍)，或＝.所以e＝. (2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2的方程為y＝(x－c)． A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 消去y并整理，得5x2－

13、8cx＝0. 解得x1＝0，x2＝c. 得方程組的解 不妨設(shè)A，B(0，－c)， 所以|AB|＝ ＝c. 于是|MN|＝|AB|＝2c. 圓心(－1，)到直線PF2的距離d ＝＝. 因?yàn)閐2＋2＝42， 所以(2＋c)2＋c2＝16. 整理得7c2＋12c－52＝0. 得c＝－(舍)，或c＝2. 所以橢圓方程為＋＝1. 21．(本小題滿分12分)(2010年高考福建卷)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解：(1)依題意， 可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 且可知其左焦點(diǎn)為F′(－2,0)． 從而有解得 又a2＝b2＋c2，所以b2＝12， 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為y＝x＋t. 由得3x2＋3tx＋t2－12＝0. 因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)， 所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0， 解得－4≤t≤4. 另一方面，由直線OA與l的距離d＝4， 得＝4，解得t＝±2. 由于±2?[－4，4]， 所以符合題意的直線l不存在． - 6 -