專題講座8 分式與分式方程(含答案)

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1、專題八　分式與分式方程 考綱點金 內(nèi)容通覽 1．理解分式的概念，能對分式本身的性質(zhì)、意義進行討論； 2．掌握分式的基本性質(zhì)，明白分式進行變形的原理； 3．知道通分、約分的原理與要求，能進行分式綜合運算； 4．掌握分式方程的意義及解法，以及檢驗的相關(guān)事項； 5．能解、列可化為整式方程的分式方程的應(yīng)用題． 能力舉要 1、會對分式本身的存在性進行討論，能對代數(shù)式進行分類； 2、能化整、變形分式、能通分、約分化分式為最簡分式； 3、熟練地對分式進行簡單的混合運算，方法靈活、　算理合理、結(jié)果準(zhǔn)確。 搶分必會 1、分式是分母中含有　字母 的代數(shù)式； ①

2、分式有意義ó分母　≠　0， ②分式無意義ó分母　=　0， ③分式的值等于0ó分子 = 0且分母 ≠　0； 2、最簡分式就是分子、分母中不含有　公因式　的分式； 3、約分是把分子、分母中的　公因式　約去的過程； 通分是根據(jù)分式的　基本性質(zhì)　不改變　分式的值　，把幾個分母不同的分式化為　分母相同　的分式的過程； 4、分式基本性質(zhì)：= 、= （其中 M≠0 ）； 5、符號法則：== —( )=—； 6、運算法則： (1)== (2) ()n =(n為正整數(shù)) (3) == （4）a-p= =()p（a； 7．科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)為

3、a×10 n 方式，其中 1　　　 |a| < 10 （n是整數(shù)）； 8．分母中含有　未知數(shù)　的方程叫分式方程，解分式分式程的基本思想是化分式方程為　整式方程　；故可能產(chǎn)生　增根　，因此必須　檢驗?。? 教師備課資源 [整合串講] [教學(xué)建議] 1．首先要是搞清楚分式與分?jǐn)?shù)的區(qū)別以及分式何時有意義的問題．對于分式的基本性質(zhì)，則主要是在分式變形和運算中能夠正確靈活地運用． 　　2． 解分式方程的關(guān)鍵有兩點：一是把分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程；二是驗根，

4、把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，主要是分式四則運算的運用；驗根則應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)，搞清原因，在學(xué)習(xí)時，可結(jié)合分式方程的解法中由分式方程到整式方程的轉(zhuǎn)化，以及轉(zhuǎn)化條件的討論和驗根等，提高學(xué)生對這種基本數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識和掌握． 3．至于列分式方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵在于用分式表示一些基本數(shù)量關(guān)系的能力，這一點解決好了，剩下的就是和用整式方程解應(yīng)用題類似的問題了．雖然如此，在復(fù)習(xí)教學(xué)時，還是應(yīng)當(dāng)結(jié)合典型問題的研究，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力． [好例盤點] ［例1］（2007·黃岡）下列運算中，錯誤的是（ ） A、 B、 C、 D、． 解析：A是用分式的基本性質(zhì)分子與分母同

5、時乘以的 c,B是約分可以得到，C是分子與分母同時乘以10． 答案：D 點評：考查分式的基本性質(zhì)與運算知識點就可以直接得． ［例2］（2007·茂名）若實數(shù)滿足，則． 解析：本題直接可以看到a、b異號，從而去絕對值符號進行化簡． 答案：-1． 點評：要注意題中的已知條件，挖掘題中的隱含條件． ［例3］（2007·聊城）先化簡，再求值： ，其中． 解析： ．． 答案： 當(dāng)時，原式． 點評：正確進行分子、分母分解因式以及熟練運用分式的乘除運算法則是解題的關(guān)鍵。分式的乘除運算實質(zhì)就是約分． ［例4］（2007·貴陽）方程的解為 ． 解析：

6、用比例的性質(zhì)可以直接得到，x=2x-4，再移項合并得到x=4， 最后檢驗就可以得解． 答案： 4 點評：分式方程的解法的運用，主要就防止漏檢驗． ［例5］（2007·廣東）某文具廠加工一種學(xué)生畫圖工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技術(shù)，使每天的工作效率是原來的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，求該文具廠原來每天加工多少套這種學(xué)生畫圖工具？ 解析：設(shè)該文具廠原來每天加工x套，依據(jù)題意得， 解得x = 100 ． 經(jīng)檢驗x = 100是原方程的解， 答案：該文具廠原來每天加工100套． 點評：要建立分式

7、方程的關(guān)系式，通過本題已知與未知的關(guān)系可以很容易得解．在解分式方程應(yīng)用題時要注意正確理解題意去建立方程；還要注意檢驗的含義：一方面要檢驗解適合方程另一方面還要檢驗是否符合題意，方能準(zhǔn)確得解． 考點精析 [重要考點1] 分式的概念 理解分式的基本知識，對于其相關(guān)的應(yīng)用有很多幫助，要求學(xué)生弄清楚它的含義． [例1]（2006，重慶）使分式有意義的的取值范圍是（ ） （A） ． （B） ． （C） ． （D）． 思路點撥：考查分式有意義的條件是分母不為0. 解答:B 易混點辨析:混淆分式有意義與無意義的條件或者把分母不為0錯解為分母中的字母不

8、為0. [重要考點2] 分式的基本性質(zhì) 主要要弄清基本性質(zhì)是進行分式化簡運算的基礎(chǔ)，要掌握其基本實質(zhì)，才能靈活運用． [例2]（2005，南充）化簡　的結(jié)果是（ ） （A）． (B)—． (C)— ． (D) ． 思路點撥：考查利用分式的基本性質(zhì)約分 解答:C 易混點辨析:①忽視所乘或所除以的整式不為0的約束,②錯用分子、分母中部分項同乘或同除以整式, ③對分式的約分和通分的步驟不熟悉. [重要考點3] 分式的運算 一要弄清分式運算的基本理論依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，二要弄清其運算的基本要求． [例3]（2006，

9、樂山）計算的結(jié)果是（ ） （A）． (B) ． (C)1． (D) ． 思路點撥：考查利用分式的加法運算 解答:D [例4]（2007，南充）化簡： 思路點撥：利用分解因式，再進行約分 解答：解：原式 　　　　 　　　　 [例5]．（2006，宜賓）化簡求值：，其中. 思路點撥：考查利用分式的混合運算以及求代數(shù)式的值. 分式的混合運算應(yīng)遵循：先乘方、再乘除、最后加減，有括號先算括號里的運算順序,在每一步計算時應(yīng)弄清計算順序以及計算法則, 解:原式 當(dāng)時， 原式 ． 易混點辨析:.①對分式運算法則掌握得不夠熟練,計算時不講

10、算理,②沒有分清計算順序盲目計算. ③計算結(jié)果應(yīng)化為最簡分式或整式. [重要考點4]解簡單分式方程與它的相關(guān)的應(yīng)用．是屬于靈活運用型題目． [例6]（2007，成都）解方程：. 思路點撥：去分母即成或則用比例關(guān)系也可以化簡為整式方程． 答案：x=-5． [例7]（2007年·瀘州）先將式子化簡，然后請你自選一個理想的x值求出原式的值． 思路點撥：分式運算與分解因式的綜合運用，即可得解. 答案：原式= 取值要在x≠1情況下就可以了. [例8]（2006年·眉山）解方程：． 思路點撥： 1+3(x-2)=x-1 X=2 經(jīng)檢驗：x=

11、2 是原方程的增根。 答案：原方程沒有解 ［易混點辨析］解分式方程在去分母是漏乘一些整式項，也有在解分式方程時漏掉檢驗這個步驟，對增根要學(xué)會舍棄. [重要考點5] 列分式方程解簡單應(yīng)用題. 在學(xué)習(xí)過程中要能靈活掌握基本模型，要做到運用自如的建立自己的模型． [例9]（2006年·南充）A、B兩城鐵路長240千米，為使行駛時間減少20分，需要提速10千米／時，但在現(xiàn)有條件下安全行駛限速100千米／時，問能否實現(xiàn)提速目標(biāo)． 思路點撥：設(shè)提速后行駛的速度為x千米每小時，由題意得： 整理：x2-10x-7200=0 解之 x1=90 x2=-80 經(jīng)檢驗：x1=90 x2=-

12、80都是原方程的解， 但x2=-80不符合題意，應(yīng)舍去， x=90＜100。驗證符合. 答案：能完成提速目標(biāo). [例10]某公司投資某個工程項目，現(xiàn)在甲、乙兩個工程隊有能力承包這個項目．公司調(diào)查發(fā)現(xiàn)：乙隊單獨完成工程的時間是甲隊的倍；甲、乙兩隊合作完成工程需要天；甲隊每天的工作費用為元、乙隊每天的工作費用為元．根據(jù)以上信息，從節(jié)約資金的角度考慮，公司應(yīng)選擇哪個工程隊、應(yīng)付工程隊費用多少元？ 解：設(shè)甲隊單獨完成需天，則乙隊單獨完成需要天．根據(jù)題意得 　　　　， 　　　　解得　　． 　　　　經(jīng)檢驗是原方程的解，且，都符合題意． 　　　應(yīng)付甲隊（元）． 　　　　應(yīng)付乙隊（元）．

13、 　公司應(yīng)選擇甲工程隊，應(yīng)付工程總費用元． ［易混點辨析］要注意解分式方程的應(yīng)用題，一方面要檢驗解與所列方程是否相符，還要檢驗它與實際問題是否相符，不要漏掉這兩個檢驗步驟，否則不能正確作出答案． [例10]（2006年·巴中）已知方程的解是k，求關(guān)于x的方程的解． 思路點撥：先求出k再求x . 答案：k=2， x1=0，x2=－2． ［易混點辨析］此類題目一方面要注意找出合理的相等關(guān)系式，建立方程，解方程防止過失錯誤；另一方面要注意答案數(shù)據(jù)與實際應(yīng)用題目的合理性；當(dāng)然還要注意漏根的現(xiàn)象發(fā)生. 全真檢測 (測試時間30分鐘,共題,答對___題,正確率___%)

14、 1．(2007，自貢) 下列計算正確的是（　D?。? （A） （B） （C） （D）． 2．（2006，綿陽）使分式　的值為零的x的值是（　B ） （A）2 ． (B)-2 ． (C)2或-2． (D)0． 3．（2007，南充）如果分式的值為0，那么x為（　D?。? （A）－2 ．（B）0 ． （C）1 ． （D）2 ． 4．（2005，雅安）計算+＝ 0 ． 5．（2007，樂山）當(dāng)時，求的值． 解：原式 當(dāng)時，原式 6．（2007，綿陽）化簡：，并指出x的取值范圍． 解：原式=， x的取值范圍是x≠－2且x

15、≠1的實數(shù)． 7． （2007，懷化）解方程． 解： 去分母得： 解得： 經(jīng)檢驗可知，是原方程的增根 原方程無解 8．（2005年·資陽）已知某項工程由甲、乙兩隊合做12天可以完成，共需工程費用13800元，乙隊單獨完成這項工程所需時間是甲隊單獨完成這項工程所需時間的2倍少10天，且甲隊每天的工程費用比乙隊多150元； （1）甲、乙兩隊單獨完成這項工程分別需要多少天？ （2）若工程管理部門決定從這兩個隊中選　一個隊單獨完成這項工程，以節(jié)約資金的角度考慮，應(yīng)選擇哪個工程隊？（請說明理由）． 解：（1）設(shè)甲隊單獨完成需x天，則乙隊單獨完成需要（2x－10）天， 根據(jù)

16、題意：＋＝ 解得：x1=3?。ㄉ崛ィ? x2=20 所以：乙隊單獨完成需要2x－10＝30（天） 答：甲、乙兩隊單獨完成這項工程分別需要20、30天 （2）設(shè)甲隊每天的費用為y元，則12y＋12（y－150）＝138000，解得y＝650 所以：甲隊需工程費用：650×20 = 13000 （元） 而 乙對需工程費用：650×30 = 15000（元） 因為：13000<15000 所以：以節(jié)約資金的角度考慮，應(yīng)該選擇甲工程隊． 9．（2007，眉山）某種長途電話的收費方式如下：接通電話的第一分鐘收費a元，之后的每一分鐘收費b元．如果某人打該長途電話被收費8元錢，則此人打長途電

17、話的時間是( C )． A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘． 10．（2006，樂山）計算的結(jié)果是（ D ） A、 B、 C、1 D、－1． 11．（2007，眉山）計算：十a(chǎn)十b． 解：原式= 12．（2007，資陽）方程的解是____x=3____． 13．（2007，資陽）化簡求值：，其中x=－． 解：原式= = =-x2-x+2 . 當(dāng)x=時， 原式= = . 命題規(guī)律及復(fù)習(xí)策略 [命題規(guī)律1] 主要考查學(xué)生對分式基本性質(zhì)的運用的靈活度，要求弄清它

18、的實質(zhì)，并能靈活應(yīng)用；如[全真檢測]題1，就是對分式基本性質(zhì)的應(yīng)用，也要注意與相關(guān)的知識點的混合考查． [復(fù)習(xí)策略1]要在平時的基本功學(xué)習(xí)中要徹底地明白分式的基本性質(zhì)的含義與靈活使用方法步驟，要能舉一反三． [命題規(guī)律2]對分式本身的性質(zhì)應(yīng)用考查也是中考中必不可少的主要內(nèi)容，特別是對分式的值與分式存在的意義的綜合考查就靈活多樣了，如[全真檢測]題2，在得到使分式的值為0的x的值的時候，要特別注意考察分母為0否，否則就會失分． [復(fù)習(xí)策略2] 當(dāng)然要掌握分式的定義及分式本身性質(zhì)的討論的基礎(chǔ)知識，加強平時數(shù)學(xué)思維模式的訓(xùn)練，強調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性． [命題規(guī)律3]分式的綜合運算主要是加減、乘除、

19、乘方開方的混合運算，一要注意各式里的符號，二要注意運算順序，當(dāng)然基本知識得徹底掌握；如[全真檢測]題4、題5、題6、題7，要小心運算。才能萬無一失得滿分． [復(fù)習(xí)策略3]加強平時基本技能的訓(xùn)練，弄懂基本計算順序與法則，同時要在符號的變化、基本公式的運用、約分通分等方面培養(yǎng)學(xué)生的能力． [命題規(guī)律4]分式方程的解法及根（增根）的應(yīng)用，在中考中要引起重視，它既是全面考查解方程的基本技能，又要考查去分母是產(chǎn)生增根的原因；所以這一技能必須認(rèn)真掌握，如[全真檢測]題8，它要防止增根也要防止漏根． [復(fù)習(xí)策略4]要學(xué)生弄清分式方程的解法步驟和熟練的解題技能，同時要弄明白增根是分式方程的特有的狀況，必

20、須驗根，養(yǎng)成思考問題的全面性． [命題規(guī)律5]列分式方程解應(yīng)用題，也是必考內(nèi)容，它的要求跟列一次方程、二次方程解原因題一樣，徹底掌握；如[全真檢測]題9，只要弄清反比關(guān)系，就能很清楚的找到答案． [復(fù)習(xí)策略5]分式方程的應(yīng)用題，關(guān)鍵是要讀懂題意，建立方程；要培養(yǎng)學(xué)生善于思考，善于挖掘已知、未知兩者的聯(lián)系，用數(shù)學(xué)思維完成數(shù)學(xué)實際問題的解答；同時要注意：“生活、設(shè)計、決策、銷售、開放探索”等方面為背景的應(yīng)用題，是數(shù)學(xué)問題的熱點． 2008考勢預(yù)測精練 [復(fù)習(xí)策略]（針對性訓(xùn)練1～4題） 1、分式的值為零，則x＝ -2 ； 當(dāng) a < 0 時，分式的

21、值為負(fù)？ 2、函數(shù)的定義域是 x ≠ 3 3、若a=則　的值等于?。? ． 4、若+=2則的值等于 ． [復(fù)習(xí)策略]（針對性訓(xùn)練5～8題） 5、下列運算中，其中正確的是（ D 　） （A）+=． （B） =a3．　　 （C）= a+b． （D）=． 6．若分式無論x取何值都有意義，則m的取值范圍是（ C ）． (A) m1． (B) m1 ． (C)m>1． (D)m<1． 7．分式化簡正確是( A ) (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． 8．方程　=的解是（　D

22、?。? （A）1．?。˙）－1．?。–）1．?。―）0． 9．若分式中的x、y的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則此分式的值 （ A ） （A）不變 ． （B）是原來的3倍． （C）是原來的 ．（D）是原來的 ． [復(fù)習(xí)策略]（針對性訓(xùn)練10～12題） 10、先化簡代數(shù)式(—)÷，然后請你自取一組a ,b的值代入計算（注意所取的值要使原式有意義?。? 解:原=[-].] =．= a+b　 要使原式有意義 ∴當(dāng) a≠-b a≠b a≠0 b≠0 的任意數(shù)字即可 11．如果關(guān)于x的方程=1—無解，求m的值． 解：由已知得，方程增根為x＝3，把原方程整式化

23、為2＝x-3-m即x=5+m，雖然增根x＝3，不適合原分式方程，但是整式方程x=5+m的根， 所以把x=3代入x=5+mt 得到m=-2. 12．解方程=-3． 解：去分母得1=-(1-x)-3(x-2) 整理得2x=4 x=2 經(jīng)檢驗，x = 2是方程的增根 ∴原方程沒有解. [復(fù)習(xí)策略]（針對性訓(xùn)練13～14題） 13．我市政公司，為了改變部分街道面積水嚴(yán)重問題，決定將一總長為1200m的排水工程承包給甲、乙兩工程隊來施工，若甲、乙兩隊合做，需12天完成此項工程；甲隊先做8天后，剩下的由乙隊單獨做還需18天才能完工； （1）問甲、乙兩隊單獨完成此項工程各

24、需多少天？ （2）若已知甲隊施工一天需要費用2萬元，乙隊施工一天需要費用1萬元，要使完成該工程的所需要費用不超過35萬元，則乙工程隊至少要施工多少天？ 解：（1）設(shè)甲、乙兩隊單獨完成此項工程分別需要x天、y天，由題意得： 解之： 　經(jīng)檢驗知它們適合方程組和題意. （2）甲隊每天施工1200/20＝60米 m，乙隊每天施工1200/30＝40m 又設(shè)甲、乙兩隊實際完成此項工程分別需要a 天、b天，由題意得 解之得b15 答：乙工程隊至少要施工15天. 14. 解答一個問題后，將結(jié)論作為條件之一，提出與原問題有關(guān)的新問題，我們把它稱為原問題的一個“逆向”問題．例如，原問題是“若矩形的兩邊長分別為3和4，求矩形的周長”，求出周長等于14后，它的一個“逆向”問題可以是“若矩形的周長為14，且一邊長為3，求另一邊的長”；也可以是“若矩形的周長為14，求矩形面積的最大值”，等等． （1）設(shè)A＝－，B＝，求A與B的積； （2）提出（1）的一個“逆向”問題，并解答這個問題． 解: （1）A×B = (－)× = =2x+8 (2)略.