課時跟蹤檢測(十)垂直關系的性質

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1、第 7 頁 共 7 頁 課時跟蹤檢測（十） 垂直關系的性質 層級一　學業(yè)水平達標 1．在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關系是(　　) A．相交　　　　　　　　　　 B．平行 C．異面 D．相交或平行 解析：選B　由于這條垂線與圓柱的母線都垂直于底面，所以它們平行． 2．平面α⊥平面β，直線a∥α，則(　　 ) A．a⊥β B．a∥β C．a與β相交 D．以上都有可能 解析：選D　因為a∥α，平面α⊥平面β，所以直線a與β垂直、相交、平行都有可能．故選D. 3．已知三個平面α，β

2、，γ，若β⊥γ，且α與γ相交但不垂直，則(　　 ) A．存在aα，a⊥γ B．存在aα，a∥γ C．任意bβ，b⊥γ D．任意bβ，b∥γ 解析：選B　因為三個平面α，β，γ，若β⊥γ，且α與β相交但不垂直，則可知存在aα，a∥γ，選B. 4．已知平面α，β和直線m，l，則下列命題中正確的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥β B．若α∩β＝m，lα，l⊥m，則l⊥β C．若α⊥β，lα，則l⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，lα，l⊥m，則l⊥β 解析：選D　選項A缺少了條件：lα；選項B缺少了條件：α⊥β；選項C缺少了條件：α∩β＝m，

3、l⊥m；選項D具備了面面垂直的性質定理的條件． 5．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，則BD與CC1的位置關系為(　　) A．平行 B．共面 C．垂直 D．不垂直 解析：選C　如圖所示，在四邊形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故選C. 6.如圖，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O為A

4、B中點，則圖中直角三角形的個數為________． 解析：∵CA＝CB，O為AB的中點，∴CO⊥AB. 又平面ABC⊥平面ABD，交線為AB， ∴CO⊥平面ABD. ∵OD平面ABD，∴CO⊥OD， ∴△COD為直角三角形． 所以圖中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6個． 答案：6 7.如圖，直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD的長為________． 解析：如圖，連接BC， ∵二角面α-l-β為直二面角， ACα，且AC⊥l，∴AC⊥β. 又BC

5、β， ∴AC⊥BC， ∴BC2＝AB2－AC2＝3， 又BD⊥CD， ∴CD＝＝. 答案： 8．已知m，n是直線，α，β，γ是平面，給出下列說法： ①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α或n⊥β； ②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則m∥n； ③若m不垂直于α，則m不可能垂直于α內的無數條直線； ④若α∩β＝m，n∥m且n?α，n?β，則n∥α且n∥β. 其中正確的說法序號是________(注：把你認為正確的說法的序號都填上)． 解析：①錯，垂直于交線，不一定垂直平面；②對；③錯，凡是平面內垂直于m的射影的直線，m都與它們垂直；④對． 答案：②④ 9.如圖：三

6、棱錐P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC. 證明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC. 又BC平面ABC，∴PA⊥BC. 又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB平面PAB，PA平面PAB， ∴BC⊥平面PAB.又BC平面PBC， ∴平面PAB⊥平面PBC. 10．如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. (1)求證：AF∥平面

7、BDE； (2)求證：CF⊥平面BDE. 證明：(1)設AC與BD交于點G. 因為EF∥AC，且EF＝1，AG＝AC＝1. 所以四邊形AGEF為平行四邊形． 所以AF∥EG. 因為EG平面BDE，AF?平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)連接FG. 因為EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1， 所以四邊形CEFG為菱形， 所以CF⊥EG. 因為四邊形ABCD為正方形， 所以BD⊥AC. 又因為平面ACEF⊥平面ABCD，CE⊥AC， 且平面ACEF∩平面ABCD＝AC， 所以CE⊥平面ABCD， 所以CE⊥BD. 又AC∩CE＝C，所以BD⊥平面A

8、CEF， 所以CF⊥BD. 又BD∩EG＝G， 所以CF⊥平面BDE. 層級二　應試能力達標 1．(安徽高考)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α，β不平行，則在α內不存在與β平行的直線 D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 解析：選D　A項，α，β可能相交，故錯誤；B項，直線m，n的位置關系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；C項，若mα，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯誤；D項，假設m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以

9、原命題正確，故D項正確． 2．設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出如下命題： ①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β； ②若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α； ③若α⊥β，m∥α，則m⊥β. 其中正確命題的個數為(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：選B?、僦?，α，β可能平行，也可能相交，不正確；②中，α⊥β，m⊥β，m?α時，只可能有m∥α，正確；③中，m與β的位置關系可能是m∥β或mβ或m與β相交，不正確．綜上，可知正確命題的個數為1，故選B. 3．如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，

10、點P，A，B是定點，則動點C運動形成的圖形是(　　 ) A．一條線段 B．一條直線 C．一個圓 D．一個圓，但要去掉兩個點 解析：選D　∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC. 又∵BC平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴動點C運動形成的圖形是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點，故選D. 4．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是邊長為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：選B

11、　 如圖，連接CM，則由題意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝ ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當CM⊥AB時CM有最小值，此時有CM＝4×＝2，所以PM的最小值為2. 5.如圖，若邊長為4和3與邊長為4和2的兩個矩形所在的平面互相垂直，則cos α∶cos β＝________. 解析：由題意，兩個矩形的對角線長分別為5,2，所以cos α＝＝，cos β＝，所以cos α∶cos β＝∶2. 答案：∶2 6．如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的

12、平面的對數為________． 解析：因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD.在折起前，因為AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因為平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3對． 答案：3 7．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一點． (1)若CD∥平面PBO，試指出點O的位置； (2)求證：平面PAB⊥平面PCD. 解析：(1)∵CD

13、∥平面PBO，CD平面ABCD， 且平面ABCD∩平面PBO＝BO， ∴BO∥CD. 又BC∥AD，∴四邊形BCDO為平行四邊形． 則BC＝DO，而AD＝3BC， ∴AD＝3OD，即點O是靠近點D的線段AD的一個三等分點． (2)證明：∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD＝AD，AB底面ABCD，且AB⊥AD， ∴AB⊥平面PAD. 又PD平面PAD，∴AB⊥PD. 又PA⊥PD，且PA 平面PAB，AB平面PAB，AB∩PA＝A， ∴PD⊥平面PAB. 又PD平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD. 8.如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1-

14、ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中點，側面BB1C1C⊥底面ABC. (1)求證：AD⊥CC1； (2)過側面BB1C1C的對角線BC1的平面交側棱于點M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側面BB1C1C； (3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，則AM＝MA1嗎？請敘述你的判斷理由． 解：(1)證明：∵AB＝AC，D是BC的中點， ∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC， ∴AD⊥平面BB1C1C. 又CC1平面BB1C1C， ∴AD⊥CC1. (2)證明：延長B1A1與BM交于點N，連接C1N. ∵AM＝MA1， ∴NA1＝A1B1. ∵A1C1＝A1N＝A1B1， ∴C1N⊥B1C1， ∴C1N⊥側面BB1C1C. ∴截面MBC1⊥側面BB1C1C. (3)結論正確．證明如下：過M作ME⊥BC1于點E，連接DE. ∵截面MBC1⊥側面BB1C1C， ∴ME⊥側面BB1C1C. 又AD⊥側面BB1C1C， ∴ME∥AD，∴M，E，D，A四點共面． ∵MA∥側面BB1C1C， ∴AM∥DE. ∴四邊形AMED是平行四邊形， 又AM∥CC1，∴DE∥CC1. ∵BD＝CD，∴DE＝CC1， ∴AM＝CC1＝AA1. ∴AM＝MA1.