2012江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽《提優(yōu)教程》教案：第64講_極限和導(dǎo)數(shù)

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1、 極限和導(dǎo)數(shù) 相關(guān)知識(shí) 1.導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念。 (1)定義： 函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f/(x)，就是當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限，即。 (2)實(shí)際背景：瞬時(shí)速度，加速度，角速度，電流等。 (3)幾何意義： 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率。 2． 求導(dǎo)的方法： (1)常用的導(dǎo)數(shù)公式： C/=0（C為常數(shù)）； (xm)/=mxm-1(m∈Q); (sinx)/=cosx; (cosx)/= -sinx ; (ex)/=ex; (ax)/=axlna ; . (2)兩個(gè)函數(shù)的四則

2、運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)： (3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用： (1)判斷函數(shù)的單調(diào)性。 當(dāng)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)時(shí)，如果f/(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；如果f/(x)<0，則f(x)為減函數(shù)。 (2)極大值和極小值。 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0)）,我們就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值（或極小值）。 (3)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。 A類例題 例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (2)解 y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－by v

3、=x,y=sinγ γ=ωx y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′ =3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′) =3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx) (3)解法一 設(shè)y=f(μ),μ=,v=x2+1,則 y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v－·2x =f′()··2x = 解法二 y′=［f()］′=f′()·()′ =f′()·(x2+1)·(x2+1)′ =f′()·(x2+1) ·2x =f′() 說(shuō)明 本題3個(gè)小題分別涉及了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法，以及抽象函數(shù)求導(dǎo)的思想方法 這是導(dǎo)

4、數(shù)中比較典型的求導(dǎo)類型 解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)是要分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征，挖掘量的隱含條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 本題難點(diǎn)在求導(dǎo)過(guò)程中符號(hào)判斷不清，復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分解為基本函數(shù)出差錯(cuò) 例2．觀察，，，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。 解：若為偶函數(shù) 令 ∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 另證： ∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 例3已知曲線C y=x3－3x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(diǎn)(x0,y0)(x0≠0)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)

5、解 由l過(guò)原點(diǎn)，知k=(x0≠0),點(diǎn)(x0,y0)在曲線C上，y0=x03－3x02+2x0, ∴=x02－3x0+2 y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2 又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2 2x02－3x0=0,∴x0=0或x0= 由x≠0,知x0= ∴y0=()3－3()2+2·=－ ∴k==－ ∴l(xiāng)方程y=－x 切點(diǎn)(，－) 情景再現(xiàn) 1． 在處可導(dǎo)，則 2．已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求下列極限： （1）； （2） 3．設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)…(x

6、-100)，求f′(1)。 B類例題 例4 (1)試述函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)的定義； (2)若f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)= -f(x)，求f/(0)。 (1)解：如果函數(shù)y=f(x)在x=0處的改變量△y與自變量的改變量△x之比，當(dāng)時(shí)有極限，這極限就稱為y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)。記作。 (2)解法一：∵f(x)= f(-x)，則f(△x)= f(-△x) ∴ 當(dāng)時(shí)，有 ∴ ∴。 解法二：∵f(x)= f(-x)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 ∴ ∴。 鏈接說(shuō)明 本題涉及對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義。題（2）可對(duì)其幾何意義加以解釋：由于f

7、(x)=f(-x),所以函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此它在x=x0處的切線關(guān)于y軸對(duì)稱，斜率為互為相反數(shù)，點(diǎn)(0,f(0))位于y軸上，且f/(0)存在，故在該點(diǎn)的切線必須平行x軸（當(dāng)f(0)=0時(shí)，與x軸重合），于是有f/(0)=0。在題（2）的解二中可指出：可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)一步思考：可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)嗎？ 例5 利用導(dǎo)數(shù)求和 (1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1(x≠0,n∈N*) (2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*) 解 (1)當(dāng)x=1時(shí) Sn=1+2+3+…+n=n(n+1); 當(dāng)x≠1時(shí)

8、， ∵x+x2+x3+…+xn=, 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得 (x+x2+x3+…+xn)′=()′ 即Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1= (2)∵(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn, 兩邊都是關(guān)于x的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得 n(1+x)n－1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn－1, 令x=1得，n·2n－1=C+2C+3C+…+nC, 即Sn=C+2C+…+nC=n·2n－1 說(shuō)明要注意思維的靈活性以及在建立知識(shí)體系中知識(shí)點(diǎn)靈活融合的能力 通過(guò)對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用逆向思維 由求導(dǎo)公式(xn)′=nxn－1,可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)

9、 關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項(xiàng)的形式結(jié)構(gòu) 本題難點(diǎn)是學(xué)生易犯思維定勢(shì)的錯(cuò)誤，受此影響而不善于聯(lián)想 第(1)題要分x=1和x≠1討論，等式兩邊都求導(dǎo) 例6．（1）求證 （2） 求證 （1）證：令 ∴ 原不等式 令 ∴ ∴ ∴ ∴ 令 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）令 上式也成立 將各式相加 即 例7． 已知為正整數(shù). （Ⅰ）設(shè)； （Ⅱ）設(shè) 證明：（Ⅰ）因?yàn)椋? 所以 （Ⅱ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù): ∴ 即對(duì)任意 情景再現(xiàn)

10、4 設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，a為常數(shù)，則 等于( ) A.f/(x0) B.2af/(x0) C.af/(x0) D.0 5．求證下列不等式 （1） （2） （3） 6 已知，函數(shù)設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為。 （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，證明：①②若，則 C類例題 例8 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x=1時(shí)，f(x)取極小值-。 (1)求a、b、c、d的值； (2)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)的切

11、線互相垂直？試證明你的結(jié)論； (3)若x1,x2∈[-1,1]時(shí)，求證：|f(x1)-f(x2)|≤。 解(1) ∵函數(shù)f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(-x)=- f(x). ∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立. ∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx. ∴f′(x)=3ax2+c. ∵x=1時(shí),f(x)取極小值-. ∴f′(1)=0且f(1)=- , 即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1. (2)證明：當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立，假設(shè)圖象上存在 兩點(diǎn)

12、A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得過(guò)這兩點(diǎn)的切線互相垂直， 則由f′(x)=x2-1，知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k1=x12-1,k2=x22-1, 且(x12-1)(x22-1)=-1. (*) ∵x1、x2∈[-1,1], ∴x12-1≤0，x22-1≤0 ∴(x12-1)(x22-1)≥0，這與(*)相矛盾，故假設(shè)不成立. (3)證明：∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=±1. 當(dāng)x∈(-∞，-1)或（1，+∞）時(shí)，f′(x)＞0; 當(dāng) x∈(-1，1)時(shí)，f′(x)＜0. ∴f(x)在[-1,1]上是減函數(shù)，且fmax(x)=f(-1)=

13、 , fmin(x)=f(1)= -. ∴在[-1,1]上，|f(x)|≤. 于是x1,x2∈[-1,1]時(shí)，|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤+=. 故x1,x2∈[-1,1]時(shí),|f(x1)-f(x2)|≤. 說(shuō)明 ①若x0點(diǎn)是y=f(x)的極值點(diǎn)，則f′(x0)=0,反之不一定成立； ②在討論存在性問(wèn)題時(shí)常用反證法； ③利用導(dǎo)數(shù)得到y(tǒng)=f(x)在[-1,1]上遞減是解第(3)問(wèn)的關(guān)鍵. 例9 已知平面向量=(,-1).=(,). (1)證明⊥； (2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，⊥，試求 函數(shù)關(guān)系式k=

14、f(t)； (3)據(jù)(2)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)-k=0的解的情況. 分析 通過(guò)向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題 解(1)∵=×+(-1)×=0 ∴⊥. (2)∵⊥，∴=0 即[+(t2-3) ]·(-k+t)=0. 整理后得-k+[t-k(t2-3)] + (t2-3)·=0 ∵=0，=4，=1， ∴上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3) (3)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)= t(t2-3)與直線y=k 的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 于是f′(t)= (t2-1)= t(t+1)(t-1). 令f′(t)=0,解得t1=-1,

15、t2=1.當(dāng)t變化時(shí)，f′(t)、f(t)的變化情況如下表： t (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞) f′(t) + 0 - 0 + F(t) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 當(dāng)t=-1時(shí)，f(t)有極大值，f(t)極大值=. 當(dāng)t=-1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=-. 函數(shù)f(t)=t(t2-3)的圖象如圖13－2－1所示， 可觀察出： (1)當(dāng)k＞或k＜-時(shí),方程f(t)-k=0有且只有一解； (2)當(dāng)k=或k=-時(shí),方程f(t)-k=0有兩解； (3) 當(dāng)-＜k＜時(shí),方程f(t)-k=0有三解. 說(shuō)明 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)

16、用為函數(shù)的作圖提供了新途徑。 例10 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx. (1)求函數(shù)f(x)的最大值； (2)設(shè)0＜a＜b,證明：0＜g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2. 解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1，+∞)，f′(x)=-1. 令f′(x)=0，解得x=0. 當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′(x)＞0; 當(dāng)x＞0時(shí)， f′(x)＜0. 又f(0)=0，故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最大值,最大值為0. （2）證法一：g(a)+g(b)-2g() =alna+blnb-(a+b)ln =aln 由（1）結(jié)論知ln(1+x)-x<0

17、(x>-1，且x≠0) 由題設(shè)0a時(shí)，，因此F(x)在上為增函數(shù). 從而，當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)(x)有極小值F(a). 即. 設(shè)，則 當(dāng)x>0時(shí)，，因此上為減函數(shù)。 即，綜上，原不等式得證。 鏈接 1．證明：當(dāng)x>0時(shí)，有 2．已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任 意的n∈N*，都有4Sn=(an+1)2 (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若2n≥tSn對(duì)于任意的n∈N*成立，求實(shí)數(shù)t的最大值。 分析：

18、利用Sn-Sn-1=an(n≥2)易得an=2n-1，從而Sn=n2則問(wèn)（2）轉(zhuǎn)化為t≤恒成 立，故只需求出數(shù)列的最小項(xiàng)，有以下求法： 法一：研究數(shù)列{bn}的單調(diào)性。 法二：數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，欲求的最小項(xiàng)可先研究連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性，求導(dǎo)得，易得為函數(shù)的極小值也是最小值點(diǎn)，又，所以而，故 注意：導(dǎo)數(shù)的引進(jìn)為不等式的證明，甚至為研究數(shù)列的性質(zhì)提供了新途徑，充分地體現(xiàn)了數(shù)列作為一類特殊函數(shù)其本質(zhì)所在。 特別提示：上幾例充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)作為工具分析和解決一些如函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式、數(shù)列等問(wèn)題的方法，這類問(wèn)題用傳統(tǒng)教材無(wú)法解決；此外，例10還說(shuō)明了一點(diǎn)：欲用導(dǎo)數(shù)，得先構(gòu)造函數(shù)。

19、 例11 已知雙曲線與點(diǎn)M（1，1），如圖所示. （1）求證：過(guò)點(diǎn)M可作兩條直線，分別與雙曲線C兩支相切； （2）設(shè)（1）中的兩切點(diǎn)分別為A、B，其△MAB是正三角形， 求m的值及切點(diǎn)坐標(biāo)。 （1）證明：設(shè)，要證命題成立只需要證明關(guān)于t的方程有兩個(gè)符號(hào)相反的實(shí)根。 ，且t≠0，t≠1。 設(shè)方程的兩根分別為t1與t2，則由t1t2=m<0，知t1，t2是符號(hào)相反的實(shí)數(shù)，且t1，t2均不等于0與1，命題獲證。 （2）設(shè)，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，從而 ，即線段AB的中點(diǎn)在直線上。 又，AB與直線垂直。 故A與B關(guān)于對(duì)稱， 設(shè)，則 有t2-2m

20、t+m=0 ① 由及夾角公式知 ，即 ② 由①得 ③ 從而 由②知，代入③知 因此，。 鏈接 求切線方程的常見(jiàn)方法有：1、數(shù)刑結(jié)合。2、將直線方程代入曲線方程利用判別式。3、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 小結(jié)：深刻理解導(dǎo)數(shù)作為一類特殊函數(shù)，其幾何意義所在，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基本方法；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為研究函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象開辟了新的途徑，成為勾通函數(shù)與數(shù)列、圓錐曲線等問(wèn)題的一座橋梁；此外，導(dǎo)數(shù)還具有方法程序化，易掌握的顯著特點(diǎn)。 情

21、景再現(xiàn) 7．設(shè)，點(diǎn)P（，0）是函數(shù)的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線. （Ⅰ）用表示a，b，c； （Ⅱ）若函數(shù)在（－1，3）上單調(diào)遞減，求的取值范圍. 8． 已知函數(shù) （Ⅰ）求的單調(diào)減區(qū)間； （Ⅱ）若在區(qū)間[－2，2].上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值. 9．（2005山東）已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，其中， （I）求與的關(guān)系式； （II）求的單調(diào)區(qū)間； （III）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3，求的取值范圍. 情景再現(xiàn)答案 1．解 在處可導(dǎo)，必連續(xù) ∴ ∴ 2 解：（1）

22、 （2） 3．解： ∴ 令x=1得 4．答案C 5 證：（1） ∴ 為上 ∴ 恒成立 ∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立 （2）原式 令 ∴ ∴ ∴ （3）令 ∴ ∴ 6 解：（1）的導(dǎo)數(shù)，由此得切線的方程 ， （2）依題得，切線方程中令，得 ，其中， （?。┯桑?，有，及， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。

23、（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，因此，，且由（ⅰ），， 所以。 7． 解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)，的圖象都過(guò)點(diǎn)（，0），所以， 即.因?yàn)樗? 又因?yàn)椋邳c(diǎn)（，0）處有相同的切線，所以 而 將代入上式得 因此故，， （II）解法一. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減. 由，若；若 由題意，函數(shù)在（－1，3）上單調(diào)遞減，則 所以 又當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（－1，3）上單調(diào)遞減. 所以的取值范圍為 8． 解：（I） 令,解得或 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 （II）因?yàn)? 所以 因?yàn)樵谏?所以在單調(diào)遞增,又由于 在上單調(diào)遞減,因此和分別是在區(qū)間 上的最大值和最小值. 于是有,

24、解得 故 因此 即函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 9．解：(I) ∵是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn) ∴,即 ∴ （II）由（I）知，= 當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表： 1 0 0 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 故有上表知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （III）由已知得，即 ∵ ∴即① 設(shè)，其函數(shù)開口向上，由題意知①式恒成立， ∴解之得又所以 即的取值范圍為 本節(jié)習(xí)題 x2 x≥0 1.已知函數(shù)y=f(x)= 那么y/|x=0的值為（ ）

25、 x x<0 A.0 B.1 C.1或0 D.不存在 2.已知曲線C:y=3x-x3及點(diǎn)P(2,2)，則過(guò)點(diǎn)P可向C引切線的條數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.下列求導(dǎo)的式子中正確的是( ) A.[cos(1-x)]/=-sin(-x) B. C.(ax)/=xax-1 D. 4．函數(shù)在處有極值，則（

26、 ） A.a=2 B.a=1 C. D.a= -2 5.函數(shù)y=x3-3x，的最小值是a2-1，則實(shí)數(shù)a的值是( ) A.0 B. C. D.1 6.若f(x)=ax3+bx2+cx+d（a>0）為增函數(shù)，則( ) A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2-3ac<0 7． 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且．設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線方程，并設(shè)函數(shù)． （Ⅰ

27、）用、、表示m； （Ⅱ）證明：當(dāng)，； （Ⅲ）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系． 8． 已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（－1，f（－1））處的切線方程為. （Ⅰ）求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 9． 已知是定義在R上的函數(shù)，其圖象交x軸于A，B，C三點(diǎn)，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），且在和[4，5]上有相同的單調(diào)性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性． （1）求c的值； （2）在函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)M（x0，y0），使得在點(diǎn)M的切線斜率為3b？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理

28、由； （3）求的取值范圍． 10．已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0. （Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點(diǎn)P、Q，過(guò)線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1，C2于點(diǎn)M、N，證明C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行. 11．設(shè)函數(shù) （Ⅰ）證明其中為k為整數(shù) （Ⅱ）設(shè)為的一個(gè)極值點(diǎn)，證明 （Ⅲ）設(shè)在（0,+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為，證明： 習(xí)題參考答案 1.(D) 2.(D) 3.(D) 4.(A) 5.(

29、A) 6.(D) 7． （Ⅰ）解： （Ⅱ）證明：令 因?yàn)檫f減，所以遞增，因此，當(dāng)；當(dāng).所以是唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可的最小值為0，因此即 （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立. 對(duì)任意成立的充要條件是 另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過(guò)點(diǎn)（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為 于是的充要條件是 綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是 ① 顯然，存在

30、a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解、解不等式②得 ③ 因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系 （Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立. 對(duì)任意成立的充要條件是 令，于是對(duì)任意成立的充要條件是 由 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.因此成立的充要條件是，即 綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是 ① 顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解、解不等式②得 因此，③式即為b

31、的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系. 8． 解：(Ⅰ)由的圖象過(guò)點(diǎn)P（0，2）,d=2知,所以 ,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))處的切線方程是6x-y+7=0,知 -6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,∴即解得b=c=-3. 故所求的解析式為f(x)=x3-3x-3+2, (Ⅱ) (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+, 當(dāng)x<1-或x>1+時(shí), (x)>0;當(dāng)1-

32、內(nèi)是增函數(shù),在(1-,1+)內(nèi)是減函數(shù). 9． 解：⑴ ∵在和上有相反單調(diào)性， ∴ x=0是的一個(gè)極值點(diǎn)，故， 即有一個(gè)解為x=0，∴c=0 ⑵ ∵交x軸于點(diǎn)B（2，0） ∴ 令，則 ∵在和上有相反的單調(diào)性 ∴， ∴ 假設(shè)存在點(diǎn)M（x0，y0），使得在點(diǎn)M的切線斜率為3b，則 即 ∵ △= 又， ∴△＜0 ∴不存在點(diǎn)M（x0，y0），使得在點(diǎn)M的切線斜率為3b． ⑶ 依題意可令 ∵，∴當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 故 10．解：（I）， 則 因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以<0有解. 又

33、因?yàn)閤>0時(shí)，則ax2+2x－1>0有x>0的解. ①當(dāng)a>0時(shí)，y=ax2+2x－1為開口向上的拋物線，ax2+2x－1>0總有x>0的解； ②當(dāng)a<0時(shí)，y=ax2+2x－1為開口向下的拋物線，而ax2+2x－1>0總有x>0的解； 則△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此時(shí)，－1

34、C2在點(diǎn)N處的切線斜率為 假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則k1=k2. 即，則 = 所以 設(shè)則① 令則 因?yàn)闀r(shí)，，所以在）上單調(diào)遞增. 故 則. 這與①矛盾，假設(shè)不成立. 故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行. 證法二：同證法一得 因?yàn)?，所? 令，得 ② 令 因?yàn)?，所以時(shí)， 故在[1，+上單調(diào)遞增.從而，即 于是在[1，+上單調(diào)遞增. 故即這與②矛盾，假設(shè)不成立. 故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行. 11． 證明：（I）由于函數(shù)定義，對(duì)任意整數(shù)，有 （II）函數(shù)在R上可導(dǎo)， ① 令，得： 若，則，這與矛盾，所以。 當(dāng)時(shí)， ② 由于函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象知，有解。 當(dāng)時(shí)， （II）證明：由函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象知，對(duì)于任意整數(shù)，在開區(qū)間（，）內(nèi)方程只有一個(gè)根， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 而在區(qū)間（，）內(nèi)，要么恒正，要么恒負(fù) 因此時(shí)的符號(hào)與時(shí)的符號(hào)相反 綜合以上，得：的每一個(gè)根都是的極值點(diǎn) ③ 由得，當(dāng)時(shí)，，即對(duì)于時(shí)， ④ 綜合 ③、④ ：對(duì)于任意 ， 由：和，得： ⑤ 又：， 但時(shí)， ⑥ 綜合 ⑤、⑥ 得：