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1、高考大題增分專項(xiàng)五高考中的解析幾何,從近五年的高考試題來看,圓錐曲線問題在高考中屬于必考內(nèi)容,并且常常在同一份試卷上多題型考查.對(duì)圓錐曲線的考查在解答題部分主要體現(xiàn)以下考法:第一問一般是先求圓錐曲線的方程或離心率等較基礎(chǔ)的知識(shí);第二問往往涉及定點(diǎn)、定值、最值、取值范圍等探究性問題,解決此類問題的關(guān)鍵是通過聯(lián)立方程來解決.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,1.判定直線與圓位置關(guān)系的兩種方法 (1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況):0相交,r相離,d=r相切.判定圓與圓位置關(guān)系與判定直線與圓位置關(guān)系類似(主要掌握幾何方法). 2.討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)
2、,要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運(yùn)算量.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,例1已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求M的軌跡方程; (2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及POM的面積. 解:(1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.,因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C的內(nèi)部, 所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心, 為半徑的圓
3、. 由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上,又P在圓N上,從而ONPM.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓. (1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; (2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程.,(1)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,(2)解:由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圓心M的坐標(biāo)為(m2+2,m),,故(x1-4)(x2-4)
4、+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可知y1y2=-4,x1x2=4.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,D:x2+y2=r2(1
5、一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,(1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與E相交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外時(shí),求直線l斜率的取值范圍.,解:(1)由題意知ABP是等腰直角三角形,a=2,B(2,0).,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,(2)由題意可知,直線l的斜率存在,設(shè)方程為y=kx-2,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,解得k2<4,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,處理有關(guān)圓錐曲線與圓相結(jié)合的問題,要特別
6、注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用,如直徑對(duì)的圓心角為直角,構(gòu)成了垂直關(guān)系;弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形.利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題,往往使問題簡(jiǎn)化.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,例3(2018全國(guó),文20)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8. (1)求l的方程. (2)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. 解:(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k0). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).,因此l的方程為y=x-1.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,(2)
7、由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.,因此所求圓的方程為 (x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,點(diǎn),AB是圓O的任意一條直徑,A1AB面積的最大值為2. (1)求橢圓C及圓O的方程; (2)若l為圓O的任意一條切線,且l與橢圓E交于兩點(diǎn)P,Q,求|PQ|的取值范圍.,解:(1)設(shè)B點(diǎn)到x軸的距離為h,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,(2)設(shè)直線l方程為y=kx+m,直線為圓的切線,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六
8、,1.求解定點(diǎn)和定值問題的基本思想是一致的,定值是證明求解的一個(gè)量與參數(shù)無關(guān),定點(diǎn)問題是求解的一個(gè)點(diǎn)(或幾個(gè)點(diǎn))的坐標(biāo),使得方程的成立與參數(shù)值無關(guān).解這類試題時(shí)要會(huì)合理選擇參數(shù)(參數(shù)可能是直線的斜率、截距,也可能是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等),使用參數(shù)表達(dá)其中變化的量,再使用這些變化的量表達(dá)需要求解的解題目標(biāo).當(dāng)使用直線的斜率和截距表達(dá)直線方程時(shí),在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系,把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題解決. 2.證明直線過定點(diǎn)的基本思想是使用一個(gè)參數(shù)表示直線方程,根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無關(guān)得出x,y的方程組,以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn).,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,
9、題型六,例4如圖,等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8 ,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p0)上. (1)求拋物線E的方程; (2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y=-1相交于點(diǎn)Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,(1)求橢圓C的方程及離心率; (2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證:四邊形ABNM的面積為定值.,(1)解:由題意,得a=2,b=1,,題型一,題型二,題型三,題型
10、四,題型五,題型六,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,范圍、最值問題的基本解題思想是建立求解目標(biāo)與其他變量的關(guān)系(不等關(guān)系、函數(shù)關(guān)系等),通過其他變量表達(dá)求解目標(biāo),然后通過解不等式、求函數(shù)值域(最值)等方法確定求解目標(biāo)的取值范圍和最值.在解題時(shí)要注意其他約束條件對(duì)求解目標(biāo)的影響,如直線與曲線交于不同兩點(diǎn)時(shí)對(duì)直線方程中參數(shù)的約束、圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍等.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,(1)求直線AP斜率的取值范圍; (2)求|PA||PQ|的最大值.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,所以|PA||
11、PQ|=-(k-1)(k+1)3. 令f(k)=-(k-1)(k+1)3, 因?yàn)閒(k)=-(4k-2)(k+1)2,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5 已知?jiǎng)訄AQ過定點(diǎn)F(0,-1),且與直線l:y=1相切,橢圓N的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),F是其一個(gè)焦點(diǎn),又點(diǎn)A(0,2)在橢圓N上. (1)求動(dòng)圓圓心Q的軌跡M的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若過F的動(dòng)直線m交橢圓N于B,C點(diǎn),交軌跡M于D,E兩點(diǎn),設(shè)S1為ABC的面積,S2為ODE的面積,令Z=S1S2,試求Z的最小值.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,題型一,題型二,題型三,題型四
12、,題型五,題型六,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問題,往往是先假設(shè)所求的元素存在,然后再推理論證,檢驗(yàn)說明假設(shè)是否正確.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,例6已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn). (1)求橢圓C的方程; (2)是否存在平行于OA的直線l,使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于4?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由. 思考如何求解圓錐曲線中的探索問題?,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,題
13、型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,離心率,(1)求橢圓的方程; (2)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,F1AB的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令y10,y2<0,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型六,1.直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有: (1)從方程的觀點(diǎn)出發(fā),利用根與系數(shù)的關(guān)系來進(jìn)行討論,這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基
14、礎(chǔ).要重視通過設(shè)而不求與弦長(zhǎng)公式簡(jiǎn)化計(jì)算,并同時(shí)注意在適當(dāng)時(shí)利用圖形的平面幾何性質(zhì). (2)以向量為工具,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決與中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、角度相關(guān)的問題. 2.定點(diǎn)問題是解析幾何中的一種常見問題,基本的求解思想是:先用變量表示所需證明的不變量,然后通過推導(dǎo)和已知條件,消去變量,得到定值,即解決定值問題首先是求解非定值問題,即變量問題,最后才是定值問題.,3.求取值范圍的問題時(shí),首先要找到產(chǎn)生范圍的幾個(gè)因素:(1)直線與曲線相交(判別式),(2)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍,(3)題目中給出的限制條件;其次要建立結(jié)論中的量與這些范圍中的因素的關(guān)系;最后利用函數(shù)或不等式求變量的取值范圍. 4.解析幾何中最值問題的基本解法有幾何法和代數(shù)法.幾何法是根據(jù)已知的幾何量之間的相互關(guān)系,通過平面幾何和解析幾何知識(shí)加以解決(如拋物線上的點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離之和、光線反射問題等);代數(shù)法是建立求解目標(biāo)關(guān)于某個(gè)或某兩個(gè)變量的函數(shù),通過求解函數(shù)的最值(普通方法、基本不等式方法、導(dǎo)數(shù)方法等)解決.,
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