《（廣東專版）2019年中考數(shù)學一輪復習 專題4 圖形的認識 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（廣東專版）2019年中考數(shù)學一輪復習 專題4 圖形的認識 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）課件.ppt（141頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第四章 圖形的認識 4.3 等腰三角形與直角三角形,中考數(shù)學 (廣東專用),考點一等腰三角形,A組 2014-2018年廣東中考題組,五年中考,1.(2017深圳,8,3分)如圖,已知線段AB,分別以A,B為圓心,大于AB為半徑作弧,連接弧的交點得 到直線l,在直線l上取一點C,使得CAB=25,延長AC至M,則BCM的度數(shù)為() A.40B.50C.60D.70,答案B由作法知直線l是線段AB的垂直平分線,C在l上,AC=BC,B=CAB=25, BCM=50,故選B.,2.(2015廣州,10,3分)已知2是關于x的方程x2-2mx+3m=0的一個根,并且這個方程的兩個根恰好是等腰三角形A
2、BC的兩條邊長,則三角形ABC的周長為() A.10B.14 C.10或14D.8或10,答案B 把x=2代入方程得m=4,解方程x2-8x+12=0得x1=2,x2=6.當6是腰長,2是底邊長時,周長是6+6+2=14;當2是腰長,6是底邊長時,2+2<6,不能構(gòu)成三角形, ABC的周長是14,故選B.,思路分析先利用方程的根x=2求m的值,再解方程求另一根,最后分類討論求三角形的周長.,易錯警示不考慮三角形的三邊關系,錯選C.,3.(2014廣東,9,3分)一個等腰三角形的兩邊長分別為3和7,則它的周長為() A.17B.15C.13D.13或17,答案A三角形為等腰三角形,且三角形任意兩
3、邊之和大于第三邊,三角形的三邊長分別為3,7,7,周長為17.故選A.,4.(2014廣州,8,3分)將四根長度相等的細木條首尾相接,用釘子釘成四邊形ABCD,轉(zhuǎn)動這個四邊形,使它形狀改變,當B=90時,如圖1,測得AC=2,當B=60時,如圖2,AC=() A.B.2C.D.2,答案A如圖1,AB=BC=CD=DA,B=90,四邊形ABCD是正方形, 連接AC,則AB2+BC2=AC2, AB=BC===. 如圖2,B=60,連接AC, ABC為等邊三角形, AC=AB=BC=.故選A.,5.(2018廣東,19,6分)如圖,BD是菱形ABCD的對角線,CBD=75. (1)請用尺規(guī)作圖法,
4、作AB的垂直平分線EF,垂足為E,交AD于F;(不要求寫作法,保留作圖痕跡) (2)在(1)的條件下,連接BF,求DBF的度數(shù).,解析(1)如圖所示,直線EF即為所求. (2)BD是菱形ABCD的對角線, ABD=CBD=75,A=30, 由(1)知EF是線段AB的垂直平分線, FBA=A=30, DBF=DBA-FBA=75-30=45.,解題反思本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖,菱形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用.,6.(2018廣州,23,12分)如圖,在四邊形ABCD中,B=C=90,ABCD,AD=AB+CD. (1)利用尺規(guī)作ADC的平分線DE,交BC于點E
5、,連接AE(保留作圖痕跡,不寫作法); (2)在(1)的條件下, 證明:AEDE; 若CD=2,AB=4,點M,N分別是AE,AB上的動點,求BM+MN的最小值.,解析(1)如圖所示. (2)證明:如圖,延長DE、AB相交于點F. ABC=C=90,ABC+C=180.ABCD.CDE=F.DE平分ADC, ADE=CDE.ADE=F.AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,AB+BF=AB+CD. BF=CD.,在CED和BEF中, CEDBEF.DE=EF.又AD=AF,AEDE. 如圖,作DHAB于H,作點N關于AE的對稱點N,連接MN,BM,則MN=MN. BM+MN=BM+MN.
6、由可得AD=AF,DE=EF, AE平分DAB. 點N在AD上.當點B,M,N共線且BNAD時,BM+MN有最小值,即BM+MN有最小值. 在RtADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,DH===4. DHA=BNA=90,DAH=BAN,DAHBAN. =. =.BN=,BM+MN的最小值為.,,思路分析(1)利用基本作圖“作已知角的平分線”,按照題目的作圖要求作圖; (2)延長DE、AB相交于點F,由“角平分線、平行線”可以得出“等腰三角形ADF”,再結(jié)合“AD=AB+CD”,利用全等證得DE=EF,然后由“等腰三角形三線合一”證得AEDE;利用軸對稱轉(zhuǎn)化BM
7、+MN,再利用垂線段最短分析得出BN的長即為所求,利用相似三角形求出BN的長.,方法總結(jié)合理作出輔助線是解決本題的關鍵,條件AD=AB+CD是解決問題的突破口,綜合運用三角形全等及等腰三角形的判定,再結(jié)合等腰三角形的三線合一就可證得AEDE.求最小值問題是又一難題,找到M、N兩點的位置使BM+MN的值最小,可以利用軸對稱及垂線段最短來解決這一問題.,7.(2017廣東,20,7分)如圖,在ABC中,AB. (1)作邊AB的垂直平分線DE,與AB、BC分別相交于點D、E(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法); (2)在(1)的條件下,連接AE,若B=50,求AEC的度數(shù).,解析(1)如圖所示
8、,直線ED即為所求. (2)直線ED是線段AB的垂直平分線, AE=BE,EAB=B. B=50,EAB=50. AEC=EAB+B, AEC=100.,考點二直角三角形,1.(2014深圳,14,3分)在RtABC中,C=90,AD平分CAB,AC=6,BC=8,CD=.,答案3,解析C=90,AC=6,BC=8, AB==10. 過D點作DEAB,則DE=CD,AC=AE,在RtDEB中,設DE=x,則BD=8-x,BE=AB-AE=4, 由勾股定理得(8-x)2=x2+42,解得x=3,即CD=3.,2.(2014珠海,10,3分)如圖,在等腰RtOAA1中,OAA1=90,OA=1,以
9、OA1為直角邊作等腰 RtOA1A2,以OA2為直角邊作等腰RtOA2A3,,則OA6的長度為.,答案8,解析等腰直角三角形的斜邊是直角邊的倍, OA1=OA=()1,OA2=OA1=()2, OA3=OA2=()3,,OA6=()6=8.,3.(2017廣州,20,10分)如圖,在RtABC中,B=90,A=30,AC=2. (1)利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線DE,垂足為E,交AB于點D;(保留作圖痕跡,不寫作法) (2)若ADE的周長為a,先化簡T=(a+1)2-a(a-1),再求T的值.,解析(1)如圖. (2)T=(a+1)2-a(a-1)=a2+2a+1-a2+a=3a+1, AE
10、=AC=2=, AD===2, DE=ADsin A=2=1, a=+1+2=3+, T=3(3+)+1=3+10.,4.(2016廣東,21,7分)如圖,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB交AB于D.以CD為較短的直角邊向CDB的同側(cè)作RtDEC,滿足E=30,DCE=90,再用同樣的方法作RtFGC, FCG=90,繼續(xù)用同樣的方法作RtHIC,HCI=90.若AC=a,求CI的長.,解析RtABC中,B=30,ACB=90, A=60.(1分) CDAB,ADC=90,ACD=30.(2分) AC=a, RtADC中,AD=AC=, CD=AD=a.(4分) 同理可得,RtD
11、FC中,DF=CD=a, CF=DF=a.(5分) RtFHC中,FH=CF=a, CH=FH=a,(6分) RtCHI中,CI=CH=a.(7分),評析本題考查直角三角形的基本性質(zhì)與運算.,5.(2014珠海,15,6分)如圖,在RtABC中,ACB=90. (1)用尺規(guī)在邊BC上求作一點P,使PA=PB(不寫作法,保留作圖痕跡); (2)連接AP,當B為度時,AP平分CAB.,解析(1) (2)30.,6.(2016梅州,15,3分)如圖,在平面直角坐標系中,將ABO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到AB1C1的位置,點B、O分別落在點B1、C1處,點B1在x軸上,再將AB1C1繞點B1順時針旋轉(zhuǎn)到A1B
12、1C2的位置,點C2在x軸上,將A1B1C2繞點C2順時針旋轉(zhuǎn)到A2B2C2的位置,點A2在x軸上,依次進行下去. 若點A,B(0,2),則點B2 016的坐標為.,答案(6 048,2),解析AO=,BO=2, AB==, OA+AB1+B1C2=6, B2的橫坐標為6,且B2C2=2, B4的橫坐標為26=12, 點B2 016的橫坐標為2 01626=6 048,點B2 016的縱坐標為2. 點B2 016的坐標為(6 048,2).,思路分析首先根據(jù)已知求出三角形三邊的長度,然后通過旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn),B、B2、B4、的縱坐標相等,即可得每個相鄰的偶數(shù)之間的橫坐標相差6個單位長度,根據(jù)這個規(guī)律可
13、以求得B2 016的坐標.,考點一等腰三角形,B組 2014-2018年全國中考題組,1.(2018河北,8,3分)已知:如圖,點P在線段AB外,且PA=PB.求證:點P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結(jié)論時,需添加輔助線,則作法不正確的是() A.作APB的平分線PC交AB于點C B.過點P作PCAB于點C且AC=BC C.取AB中點C,連接PC D.過點P作PCAB,垂足為C,答案B無論作APB的平分線PC交AB于點C,還是取AB中點C,連接PC或過點P作PCAB,垂足為C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論,選項A,C,D的作法正確.故選B.,2.(2017天津,11,3分)如圖,在
14、ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的兩條中線,P是AD上的一個動點,則下列線段的長等于BP+EP最小值的是() A.BCB.CEC.ADD.AC,答案B如圖,連接PC,AB=AC,BD=CD,ADBC, PB=PC, PB+PE=PC+PE,PE+PCCE, 當P、C、E三點共線時,PB+PE的值最小,最小值為CE,故選B.,思路分析先證PB=PC,從而可得當P、C、E三點共線時,PB+PE的值最小,最小值為CE.,3.(2015廣西南寧,7,3分)如圖,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,則C的度數(shù)為() A.35B.40C.45D.50,答案AAB=AD,ADB=B=70,AD=
15、DC,C=DAC.ADB是ADC的外角,C=ADB=35.故選A.,4.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一個底角為50,則它的頂角的度數(shù)為.,答案80,解析等腰三角形的兩底角相等,180-502=80,頂角為80.,5.(2015福建龍巖,16,3分)我們把平面內(nèi)與四邊形各邊端點構(gòu)成的三角形都是等腰三角形的點叫做這個四邊形的腰點(如矩形的對角線交點是矩形的一個腰點),則正方形的腰點共有個.,答案9,解析如圖,(1)連接兩條對角線,對角線的交點是正方形的一個腰點;(2)分別以四個頂點為圓心,以正方形的邊長為半徑畫圓,除頂點外,共有8個交點,這8個點也是腰點.綜上,正方形共有9個腰點.
16、,6.(2014內(nèi)蒙古呼和浩特,13,3分)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36,則該等腰三角形的底角的度數(shù)為.,答案63或27,解析在三角形ABC中,設AB=AC,BDAC于D. 若三角形是銳角三角形,則A=90-36=54, 此時,底角=(180-54)2=63; 若三角形是鈍角三角形,則BAC=36+90=126, 此時,底角=(180-126)2=27. 綜上,該等腰三角形底角的度數(shù)是63或27.,7.(2017北京,19,5分)如圖,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于點D. 求證:AD=BC.,證明AB=AC,A=36, ABC=C=72. BD平分ABC,
17、 ABD=36,ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72, BDC=C, BD=BC,AD=BC.,考點二直角三角形,1.(2018內(nèi)蒙古包頭,8,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,ADE的頂點D,E分別在BC,AC上,且 DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,則EDC的度數(shù)為() A.17.5B.12.5C.12D.10,答案DAB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE,AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故選D.,2.(2017陜西,6,3分)如圖,將兩個大小、形狀完全相同的ABC和ABC拼在一起
18、,其中點A與點A重合,點C落在邊AB上,連接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,則BC的長為() A.3B.6C.3D.,答案A由題意得ABC與ABC全等且均為等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3, AB=3,在ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC==3.,3.(2017內(nèi)蒙古包頭,12,3分)如圖,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足為D,AF平分CAB,交CD于點E,交CB于點F.若AC=3,AB=5,則CE的長為() A.B.C.D.,答案A過F作FGAB于點G, AF平分CAB,ACB=90,FC=FG. 易證ACFAGF,AC=AG. 5+6=9
19、0,B+6=90,5=B. 3=1+5,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF. AC=3,AB=5,BC=4. 在RtBFG中,設CF=x(x0), 則FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.,由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=,CE=CF=.選A.,4.(2015北京,6,3分)如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點M與點C被湖隔開,若測得AM的長為1.2 km,則M,C兩點間的距離為() A.0.5 kmB.0.6 kmC.0.9 kmD.1.2 km,答案DACBC,M是AB的中點,MC=AB=AM=1.2 km.故選D.,5.(201
20、7吉林長春,13,3分)如圖1,這個圖案是我國漢代的趙爽在注解周髀算經(jīng)時給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”.此圖案的示意圖如圖2,其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形,ABF、BCG、CDH、DAE是四個全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,則AB的長為.,答案10,解析依題意知,BG=AF=DE=8,EF=FG=2,BF=BG-FG=6, 在RtABF中,利用勾股定理得,AB==10.,6.(2017河南,15,3分)如圖,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,點M,N分別是邊BC,AB上 的動點,沿MN所在的直線折疊B,使點B的對應點B落在邊AC上.若MBC為直角三角 形
21、,則BM的長為.,答案或1,解析在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45. (1)當MBC=90時,BMC=C=45. 設BM=x,則BM=BC=x, 在RtMBC中,由勾股定理得MC=x, x+x=+1,解得x=1, BM=1. (2)如圖,當BMC=90時,點B與點A重合, 此時BM=BM=BC=. 綜上所述,BM的長為1或.,7.(2015貴州遵義,16,4分)我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖(1)),圖(2)由弦圖變化得到,它是由八個全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S
22、1、S2、S3.若正方形EFGH的邊長為2,則S1+S2+S3=.,答案12,解析設AH=a,AE=b,EH=c,則c=2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12.,8.(2016北京,23,5分)如圖,在四邊形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點,連接BM,MN,BN. (1)求證:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的長.,解析(1)證明:在ABC中,ABC=90,M為AC的中點, BM=AC. N為CD的中點,MN=AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=6
23、0,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90. AC=AD=2, BM=MN=1. 在RtBMN中,BN==.,考點一等腰三角形,C組 教師專用題組,1.(2015福建龍巖,8,4分)如圖,在邊長為的等邊三角形ABC中,過點C垂直于BC的直線交 ABC的平分線于點P,則點P到邊AB所在直線的距離為() A.B.C.D.1,答案D由題意可得,PBC=30,在RtPBC中,PC=BCtan 30=1,因為BP是ABC的平分線,所以點P到AB的距離等于點P到BC的距離,即為1,故選D.,
24、2.(2015江蘇蘇州,7,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,D為BC中點,BAD=35,則C的度數(shù)為 () A.35B.45C.55D.60,答案CAB=AC,D為BC中點,CAD=BAD=35,ADDC,在ADC中,C=90- DAC=55,故選C.,3.(2018天津,17,3分)如圖,在邊長為4的等邊ABC中,D,E分別為AB,BC的中點,EFAC于點F,G為EF的中點,連接DG,則DG的長為.,答案,解析連接DE,在等邊ABC中, D、E分別是AB、BC的中點, DEAC,DE=EC=AC=2. DEB=C=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF=. DEG=180-
25、60-30=90. G是EF的中點,EG=.,在RtDEG中,DG===.,思路分析連接DE,根據(jù)題意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度數(shù),判斷出DEG是直角三角形,再根據(jù)勾股定理即可求解DG的長.,疑難突破本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì),勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段DG的長,DG與圖中的線段無直接的關系,所以應根據(jù)條件連接DE,構(gòu)造直角三角形,運用勾股定理求出DG的長.,4.(2016黑龍江哈爾濱,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,點P為邊BC的三等分點,連接AP,則AP的長為.,答案或,解析當CP=1時,根據(jù)勾股定理得AP==;當CP=2時,根
26、據(jù)勾股定理得AP= ==,故AP的長為或.,5.(2014山西,16,3分)如圖,在ABC中,BAC=30,AB=AC,AD是BC邊上的中線,ACE= BAC,CE交AB于點E,交AD于點F,若BC=2,則EF的長為.,答案-1,解析在DF上取點G,使DG=DC,連接CG. AB=AC,AD為BC邊上的中線, ADBC,CAD=BAD=BAC=15, CDG為等腰直角三角形,DCG=45. ACE=BAC,ACE=CAD,AF=CF. ACE=BAC=15,DCG=45, ACB==75, FCG=75-15-45=15, BAD=FCG. 又AFE=CFG,AF=CF,,AFECFG(AS
27、A),EF=FG. AB=AC,AD為BC邊上的中線, CD=BC=1. DCF=75-15=60,DF=DC=. 又DG=DC=1,EF=FG=DF-DG=-1.,6.(2014江蘇蘇州,15,3分)如圖,在ABC中,AB=AC=5,BC=8.若BPC=BAC,則tanBPC= .,答案,解析過A作等腰ABC底邊BC上的高AD,垂足為D,則AD 平分BAC,且D為BC的中點,所以BD=4,根據(jù)勾股定理可求出AD=3,又因為BPC=BAC,所以BPC=BAD,所以tanBPC =tanBAD==.,7.(2014河南,11,3分)如圖,在ABC中,按以下步驟作圖:分別以點B、C為圓心,以大于B
28、C的 長為半徑作弧,兩弧相交于M、N兩點;作直線MN交AB于點D,連接CD.若CD=AC,B=25,則ACB的度數(shù)為.,答案105,解析由題意知MN垂直平分BC,CD=BD, 又CD=AC,AC=CD=BD,DCB=B=25, A=CDA=50,ACB=180-A-B=105.,8.(2017湖北武漢,15,3分)如圖,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,點D,E都在邊BC上, DAE=60.若BD=2CE,則DE的長為.,答案3-3,解析如圖,將ABD沿AD翻折得AFD,連接EF, AB=AF=AC,BD=DF,AFD=B=30, BAC=120,DAE=60,BAD+CAE=60,
29、 又BAD=FAD,FAD+CAE=60,CAE=FAE, ACEAFE(SAS),CE=EF,AFE=C=30, DFE=60. 過點E作EHDF,交DF于點H,過點A作AMBC,交BC于點M. 設CE=2x, 則BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=x,DH=3x, 又BC=2BM=2ABcos 30=6,DE=6-6x, 在RtDEH中,DE2=DH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2, 解得x1=,x2=(舍去). DE=6-6x=3-3.,,一題多解將ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120得ACF,連接EF,CF=BD.可證ADEAFE,DE=EF. ACD
30、=B=30,FCE=60. 過點E作EHCF,交CF于點H,設CE=2x, 則BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH=x. 過點A作AMBC,交BC于點M, 則BC=2CM=2ACcos 30=22=6, FE=DE=6-6x, 在RtEFH中,FE2=FH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2, 解得x1=,x2=(舍去). DE=6-6x=3-3.,9.(2017北京,28,7分)在等腰直角ABC中,ACB=90,P是線段BC上一動點(與點B,C不重合),連接AP,延長BC至點Q,使得CQ=CP,過點Q作QHAP于點H,延長交AB于點M. (1)若PAC=,求AMQ
31、的大小(用含的式子表示); (2)用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關系,并證明.,解析(1)ACB是等腰直角三角形, CAB=45,PAB=45-. QHAP,AMQ=90-PAB=45+. (2)線段MB與PQ之間的數(shù)量關系為PQ=MB. 證明:連接AQ,過點M作MNBQ于點N,如圖. 則MNB為等腰直角三角形,MB=MN. ACBQ,CQ=CP,AP=AQ,QAC=PAC. QAM=BAC+QAC=45+QAC=45+PAC=AMQ, QA=QM. MQN+APQ=PAC+APQ=90,,MQN=PAC,MQN=QAC, RtQACRtMQN, QC=MN,PQ=2QC=2MN=MB.,
32、解題關鍵解決本題第(2)問的關鍵是要通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形,從而找出邊與邊之間的數(shù)量關系.,10.(2015北京,20,5分)如圖,在ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,BEAC于點E. 求證:CBE=BAD.,證明AB=AC,AD是BC邊上的中線, ADBC,BAD=CAD. BEAC,BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,11.(2015福建龍巖,24,13分)如圖,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,點D以每秒1個單位長度的速度由點A向點B勻速運動,到達B點即停止運動.M,N分別是AD,CD的中點,連
33、接MN.設點D運動的時間為t. (1)判斷MN與AC的位置關系; (2)求點D由點A向點B勻速運動的過程中,線段MN所掃過區(qū)域的面積; (3)若DMN是等腰三角形,求t的值.,解析(1)在ADC中,M是AD的中點,N是DC的中點, MNAC.(3分),(2)如圖,分別取ABC三邊中點E,F,G,并連接EG,FG. 根據(jù)題意可知線段MN掃過區(qū)域的面積就是AFGE的面積. AC=6,BC=8,AE=3,GC=4, ACB=90,SAFGE=AEGC=12, 線段MN掃過區(qū)域的面積為12.(7分),(3)解法一:依題意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3. (i)當MD=MN=3時,DMN為
34、等腰三角形,此時AD=AC=6,t=6.(9分),(ii)當MD=DN時,AD=DC, 過D作DHAC交AC于H, 則AH=AC=3, cos A==, AD=t=5.(11分),(iii)當DN=MN=3時,AC=DC.連接MC,則CMAD. cos A==,即=, AM=,AD=t=2AM=. 綜上所述,當t=5或6或時,DMN為等腰三角形.(13分) 解法二:依題意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3. (i)當MD=MN=3時,DMN為等腰三角形,此時AD=AC=6, t=6.(9分) (ii)當MD=DN時,AD=DC,DAC=ACD, ACB=90,BCD+ACD=90,B
35、+BAC=90,,B=BCD,BD=CD=AD, 在RtABC中,AB==10, t=AD=AB=5.(11分) (iii)當DN=MN=3時,AC=DC,連接MC,則CMAB. SACB=BCAC=ABMC,CM=. 在RtAMC中,AM==.t=AD=2AM=. 綜上所述,當t=5或6或時,DMN為等腰三角形.(13分),12.(2015重慶,25,12分)如圖1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.點E是BAC角平分線上一點.過點E作AE的垂線,過點A作AB的垂線,兩垂線交于點D,連接DB,點F是BD的中點.DHAC,垂足為H,連接EF,HF. (1)如圖1,若點H是AC的中點,AC
36、=2,求AB,BD的長; (2)如圖1,求證:HF=EF; (3)如圖2,連接CF,CE.猜想:CEF是否是等邊三角形.若是,請證明;若不是,請說明理由. 圖1,圖2,解析(1)點H是AC的中點,AC=2, AH=AC=.(1分) ACB=90,BAC=60,ABC=30,AB=2AC=4.(2分) DAAB,DHAC,DAB=DHA=90. DAH=30,AD=2.(3分) 在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2. BD==2.(4分) (2)證明:連接AF,如圖.,F是BD的中點,DAB=90,AF=DF,FDA=FAD.(5分) DEAE,DEA=90. DHA=90,DA
37、H=30,DH=AD. AE平分BAC,CAE=BAC=30. DAE=60,ADE=30. AE=AD,AE=DH.(6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD, FDH=FAE.(7分) FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分) (3)CEF是等邊三角形.(9分) 理由如下:取AB的中點G,連接FG,CG.如圖.,F是BD的中點,FGDA,FG=DA. FGA=180-DAG=90, 又AE=AD,AE=FG. 在RtABC中,ACB=90, 點G為AB的中點,CG=AG. 又CAB=60,GAC為等邊三角形.(10分) AC=CG,ACG=AGC=
38、60.,FGC=30,FGC=EAC. FGCEAC(SAS).(11分) CF=CE,ACE=GCF. ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60, CEF是等邊三角形.(12分),13.(2014浙江溫州,20,10分)如圖,在等邊三角形ABC中,點D,E分別在邊BC,AC上,且DEAB,過點E作EFDE,交BC的延長線于點F. (1)求F的度數(shù); (2)若CD=2,求DF的長.,解析(1)ABC是等邊三角形, B=60. DEAB,EDC=B=60. EFDE,DEF=90. F=90-EDC=30. (2)ACB=60,EDC=60, EDC是等邊三角形. ED=DC=2.
39、DEF=90,F=30, DF=2DE=4.,14.(2014黑龍江哈爾濱,28,10分)如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點E,且ACBD,ADB=CAD+ABD,BAD=3CBD. (1)求證:ABC為等腰三角形; (2)M是線段BD上一點,BMAB=34,點F在BA的延長線上,連接FM,BFM的平分線FN交BD于點N,交AD于點G,點H為BF中點,連接MH,當GN=GD時,探究線段CD、FM、MH之間的數(shù)量關系,并證明你的結(jié)論.,解析(1)證明:如圖1,作BAP=DAE,AP交BD于P, 圖1 設CBD=,CAD=, ADB=CAD+ABD,APE=BAP+ABD, APE
40、=ADB,AP=AD,(1分) ACBD,PAE=DAE=,(2分) PAD=2,BAD=3, BAD=3CBD, 3=3,=,(3分),ACBD,ACB=90-=90-, ABC=180-BAC-ACB=90-, ACB=ABC,(4分) AB=AC, ABC為等腰三角形.(5分) (2)2MH=FM+CD.(6分) 證明:如圖2,由(1)知,AP=AD,AB=AC,BAP=CAD=, ABPACD,ABE=ACD,(7分) ACBD,GDN=90-, GN=GD, GND=GDN=90-,AGF=NGD=2, AFG=BAD-AGF=3-2=, FN平分BFM,NFM=,FMN=90,(8
41、分) H為BF中點,BF=2MH,,在FB上截取FR=FM,連接RM, 圖2 FRM=FMR=90-, ABC=90-, FRM=ABC,RMBC, CBD=RMB, CAD=CBD=, RMB=CAD.(9分) 又RBM=ACD,RMBDAC,,===,FB-FM=BR=CD. 2MH=FM+CD.(10分),考點二直角三角形,1.(2014江蘇揚州,7,3分)如圖,已知AOB=60,點P在邊OA上,OP=12,點M、N在邊OB上,PM=PN,若MN=2,則OM=() A.3B.4C.5D.6,答案C如圖,過點P作PHMN,因為PM=PN,MN=2,所以MH=MN=1,在RtPOH中,OP=
42、12, POH=60,所以OH=6,所以OM=OH-MH=6-1=5.故選C.,2.(2016寧夏,14,3分)如圖,RtAOB中,AOB=90,OA在x軸上,OB在y軸上,點A,B的坐標分別為(,0),(0,1).把RtAOB沿著AB對折得到AOB,則點O的坐標為.,答案,解析如圖,作OCOA,垂足為C,在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=, BAO=30,由題意可得AO=AO=,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中, AC=AOcos 60=,OC=AOsin 60=.OC=AO-AC=.O.,3.(2015江西南昌,14,3分)如圖,在ABC中,A
43、B=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個動點, AOC=60,則當PAB為直角三角形時,AP的長為.,答案2或2或2(每答對1個得1分,每答錯一個扣1分,扣完為止),解析由題意知,滿足條件的點P有三個位置.如圖,APB=90,因為OA=OB=2,所以OP=OA=2,又因為AOC=60,所以POA為等邊三角形,所以AP=2. 如圖,APB=90,因為OA=OB=2,所以OP=OA=OB=2,又AOC=BOP=60,所以OBP為等邊三角形,所以OBP=60,所以OAP=30,所以AP=ABcosOAP=4=2. 如圖,ABP=90,因為BOP=AOC=60, 所以BP=OBtan 60=2.
44、 在RtABP中,AP====2. 綜上所述,AP的長為2或2或2.,,4.(2017湖南常德,14,3分)如圖,已知RtABE中A=90,B=60,BE=10,D是線段AE上一動點,過D作CD交BE于C,并使得CDE=30,則CD長度的取值范圍是.,答案0CD5,解析當點D與點E重合時,CD=0,當點D與點A重合時,A=90,B=60,E=30,CDE =E,CDB=B,CE=CD,CD=CB,CD=BE=5,0CD5.,5.(2014貴州貴陽,15,4分)如圖,在RtABC中,BAC=90,AB=AC=16 cm,AD為BC邊上的高,動點P從點A出發(fā),沿AD方向以 cm/s的速度向點D運動
45、.設ABP的面積為S1,矩形PDFE的面 積為S2,運動時間為t秒(0
46、CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如圖2,若DAECEM,點N為CM的中點.求證:ANEM.,圖1圖2,解析(1)證明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M為斜邊BD的中點, CM=BD. 又DEAB,同理,EM=BD, CM=EM.(4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100.(9分) (3)證明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等邊三角形,
47、MEF=DEF-DEM=30. 證法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,,又NM=CM=EM=AE, FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF. ==. 又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF, ANEM.(14分) 證法二:連接AM,則EAM=EMA=MEF=15,,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM=(180-30)=75. 由可知AC=AM,又N為CM的中點, ANCM,又EMCF,ANEM.(14分),思路分析(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證;(2)由直角三角形中兩銳角互余求出CBA
48、,由等腰三角形的性質(zhì)可得MEB=MBE,MCB=MBC,從而可得CME=DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由補角性質(zhì)求出EMF;(3)由DAECEM可推出DEM為等邊三角形,從而可得MEF=30,下面證ANEM有兩個思路:一是根據(jù)直角三角形30角所對直角邊等于斜邊的一半可得=,又點N是CM的中點,可推出=,從而可證 AFNEFM,進一步即可證明ANEM;二是連接AM,計算可得AMC=ACM,而N是CM的中點,從而ANCM,進一步即可證明ANEM.,7.(2017重慶A卷,24,10分)在ABM中,ABM=45,AMBM,垂足為M,點C是BM延長線上一點,連接AC. (1)如圖1,若AB
49、=3,BC=5,求AC的長; (2)如圖2,點D是線段AM上一點,MD=MC,點E是ABC外一點,EC=AC,連接ED并延長交BC于點F,且點F是線段BC的中點.求證:BDF=CEF.,解析(1)AMBM,點C是BM延長線上一點, AMB=AMC=90, AMB和AMC是直角三角形, ABM=45,AB=3,BM=AM=3, BC=5,CM=2, 在RtAMC中,AC===.(4分) (2)證明:ABM=45,AMBM,點C是BM延長線上一點, BM=AM,BMD=AMC=90. 在BMD和AMC中, BM=AM,BMD=AMC,MD=MC, BMDAMC,(6分) BD=AC. EC=AC,
50、BD=EC. 延長DF到點G,使FG=FD,連接CG,,點F是線段BC的中點, CF=BF. CFG=BFD,FG=FD, CFGBFD, CG=BD,G=BDF. BD=EC,CG=EC, G=E. G=BDF, BDF=CEF.(10分),8.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如圖,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB= ECD=90,D為AB邊上一點. (1)求證:ACEBCD; (2)求證:2CD2=AD2+DB2.,證明(1)ACB和ECD都是等腰直角三角形, CD=CE,AC=BC,ECD=ACB=90, ECD-ACD=ACB-ACD, 即ECA=DCB.(1分)
51、在ACE與BCD中,(3分) ACEBCD.(4分) (2)ACEBCD, AE=BD.(5分) EAC=BAC=45,EAD=90. 在RtEAD中,ED2=AD2+AE2, ED2=AD2+BD2.(6分) 又ED2=EC2+CD2=2CD2,2CD2=AD2+DB2.(7分),考點一等腰三角形,三年模擬,A組 20162018年模擬基礎題組,1.(2018陽江江城模擬,3)已知等腰三角形的兩條邊長分別是7和3,則下列四個數(shù)中,第三條邊的長是() A.8B.7C.4D.3,答案B分兩種情況討論: 當7為腰長,3為底邊長時,三邊為7、7、3,能組成三角形,故第三邊的長為7; 當3為腰長,7為
52、底邊長時,三邊為7、3、3,3+3=6<7,所以不能組成三角形. 綜上,第三邊的長為7.,2.(2017深圳羅湖模擬,9)如圖,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,點M為BC的中點,MNAC于點N,則MN等于() A.B.C.D.,答案C連接AM,AB=AC,M為BC的中點, AMBC,AM===4, SAMC=MCAM=34=6, SAMC=ACMN,5MN=6,MN=,故選C.,3.(2016深圳羅湖二模,7)某等腰三角形的兩條邊長分別為3 cm和6 cm,則它的周長為() A.9 cmB.12 cm C.15 cmD.12 cm或15 cm,答案C3+3=6,該等腰三角形的邊長只能為3
53、 cm,6 cm,6 cm,周長為15 cm,故選C.,4.(2017梅州模擬,12)若等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半,則這個等腰三角形的底角為.,答案15或75,解析(1)當?shù)妊切螢殇J角三角形時,如圖,BD=AB,則頂角A為30,底角為75; (2)當?shù)妊切螢殁g角三角形時,如圖,BD=AB,則BAD=30,頂角BAC為150, 底角為15. 綜上,底角為75或15.,5.(2017清遠三模,14)如圖,在ABC中,BC=5 cm,BP、CP分別是ABC和ACB的平分線,且PDAB,PEAC,則PDE的周長是cm.,答案5,解析PDAB,ABP=DPB, BP平分ABC,ABP=D
54、BP, DBP=DPB,BD=DP.同理,PE=CE,PDE的周長等于BC=5 cm.,6.(2016揭陽二模,13)如圖,在ABC中,點D是BC上一點,BAD=80,AB=AD=DC,則C=.,答案25,解析AB=AD,B=ADB, BAD=80,ADB=50. AD=CD,DAC=C, ADB=DAC+C,C=25.,7.(2017廣州天河,24)如圖1,正方形ABCD的邊AB、AD分別在等腰直角AEF的腰AE、AF上,點C在AEF內(nèi),則有DF=BE(不必證明).將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度(0<<90) 后,連接BE、DF,如圖2,這時DF=BE還成立嗎?請說明理由.,解析D
55、F=BE成立. 理由:四邊形ABCD是正方形,AEF是等腰直角三角形, AD=AB,AF=AE,FAE=DAB=90. FAD=EAB. 在ADF和ABE中, ADFABE(SAS),DF=BE.,8.(2016中山二模,22)已知:如圖,在ABC中,ADBC,垂足為點D,BEAC,垂足為點E,M為AB邊的中點,連接ME、MD、ED. (1)求證:MED為等腰三角形; (2)求證:EMD=2DAC.,證明(1)ADBC,ADB為直角三角形, M為AB的中點,MD=AB, 同理,ME=AB,MD=ME, MED為等腰三角形. (2)M為AB的中點,MA=AB, MD=AB, MA=MD, BMD
56、=2MAD, 同理,BMD+EDM=2(MAD+DAC), EMD=2DAC.,考點二直角三角形,1.(2017珠海模擬,7)如果將長為6 cm,寬為5 cm的長方形紙片折疊一次,那么這條折痕的長不可能是() A.8 cmB.5 cmC.5.5 cmD.1 cm,答案A長方形的對角線長為= cm<8 cm,而折痕的長小于對角線的長,折痕 不可能是8 cm,故選A.,2.(2017汕頭模擬,7)如圖,ABC的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上,BDAC于點D,則CD的長為() A.B.C.D.,答案C AC==,SABC=22=2, BDAC,SABC=ACBD, BD=2,BD=,C
57、D2+BD2=BC2, CD2+=4,CD=,故選C.,3.(2016湛江三模,5)以下各組數(shù)據(jù)為三角形的三邊長,能構(gòu)成直角三角形的是() A.5 cm,6 cm,7 cmB.2 cm,3 cm,4 cm C.2 cm,2 cm,1 cmD.5 cm,12 cm,13 cm,答案D52+62=6172,22+32=1342,22+12=522, 52+122=169=132,能構(gòu)成直角三角形的是D,故選D.,4.(2018東莞五校一模,16)如圖,把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開,折痕為MN,再過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,折痕為BE.若AB的長為2,則FM的長為
58、.,答案,解析由翻折的性質(zhì)可知,BM=MC=1,AB=BF=2. 在RtBFM中,由勾股定理可知,MF==.,5.(2016韶關二模,13)若a,b,c表示ABC的三邊,且滿足+|a-12|+(b-13)2=0,則此三角形的形 狀為.,答案直角三角形,解析0,|a-12|0,(b-13)20, 且+|a-12|+(b-13)2=0, =0,|a-12|=0,(b-13)2=0, c=5,a=12,b=13. a2+c2=b2,此三角形為直角三角形.,6.(2018珠海一模,22)如圖,在RtABC中,ACB=90,M是斜邊AB的中點,AM=AN,N+CAN=180.求證:MN=AC.,證明AC
59、B=90,M是斜邊AB的中點, CM=AM,MCA=MAC, AM=AN,AMN=ANM, N+CAN=180,ACMN, AMN=MAC,AMC=NAM, ANMC,又ACMN, 四邊形ACMN是平行四邊形, MN=AC.,一、選擇題(每小題3分,共15分),B組20162018年模擬提升題組 (時間:30分鐘分值:40分),1.(2017韶關模擬,9)如圖,DAC和EBC均是等邊三角形,AE與CD交于點M,BD與CE交于點N,有如下結(jié)論:ACEDCB;CM=CN;AC=DN.其中,正確結(jié)論的個數(shù)是() A.3B.2C.1D.0,答案BDAC和EBC均是等邊三角形, ACD=BCE=60,A
60、C=DC,BC=EC, ACE=DCB,ACEDCB. 由ACEDCB得CAM=CDN, 又AC=DC,ACM=DCE=60, ACMDCN,CM=CN,AM=DN, MAC60,ACAM,ACDN, 綜上,正確結(jié)論的個數(shù)是2.故選B.,2.(2017汕尾二模,10)如圖,在ABC中,B=C=36,AB的垂直平分線交BC于點D,交AB于點H,AC的垂直平分線交BC于點E,交AC于點G,連接AD,AE.則下列結(jié)論錯誤的是() A.=B.AD,AE將BAC三等分 C.ABEACDD.SADH=SCEG,答案AB=C=36,AB=AC,BAC=108, DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,DB=DA
61、,EA=EC, B=DAB=C=CAE=36, BDABAC,=. ADC=B+BAD=72,DAC=BAC-BAD=72, ADC=DAC,CD=CA=BA,BD=BC-CD=BC-BA, 則==,易求得==,故A錯誤; BAC=108,DAB=CAE=36, DAE=BAC-DAB-CAE=36, DAB=DAE=CAE=36, AD,AE將BAC三等分,故B正確; BAE=BAD+DAE=72, CAD=CAE+DAE=72, BAE=CAD,又B=C,AB=AC,ABEACD,故C正確;,由ABEACD,可得SABE=SACD, 即SBAD+SADE=SCAE+SADE, SBAD=S
62、CAE,又DH垂直平分AB,EG垂直平分AC, SADH=SBAD,SCEG=SCAE. SADH=SCEG,故D正確.故選A.,3.(2016陸豐二模,9)如圖,在ABC中,C=90,AC=2,點D在BC上,ADC=2B,AD=,則BC 的長為() A.-1B.+1C.-1D.+1,答案DC=90,AC=2,AD=,DC=1,ADC=2B,ADC=B+BAD,B= BAD,BD=AD=, BC=BD+DC=+1,故選D.,思路分析由勾股定理可得DC的長,易證BD=AD=,從而可知BC的長.,4.(2016茂名二模,9)如圖,在ABC中,AB=AC,A=30,DE垂直平分AC,則BCD的度數(shù)為
63、 () A.80B.75C.65D.45,答案DDE垂直平分AC,AD=CD,DCE=A=30,AB=AC,ACB=B=(180 -30)=75, BCD=75-30=45,故選D.,5.(2016湛江二模,10)如圖,從等邊ABC內(nèi)一點P向三邊作垂線,PQ=6,PR=8,PS=10,則ABC的面積是() A.190B.192C.194D.196,答案B連接AP、BP、CP,則SABC=SAPB+SBPC+SAPC=ABPQ+BCPS+ACPR,AB=BC =AC, SABC=BC(PQ+PS+PR)=12BC, 設ABC的高為x,則BCx=12BC,x=24, ABsin B=x,AB=24
64、sin 60=16, BC=16,SABC=1216=192,故選B.,思路分析利用三角形的面積相等,求出ABC的高,然后求ABC的邊長,進而求出ABC的面積.,解題關鍵求出ABC的邊長和高.,二、填空題(每小題4分,共18分),6.(2017湛江模擬,15)如圖1,分別以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形,面積分別為S1、S2、S3;如圖2,分別以直角三角形的三個頂點為圓心,三邊長為半徑向外作圓心角都相等的扇形,面積分別為S4、S5、S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,則S3+S4=.,答案54,解析設面積為S1、S2、S3的三個等邊三角形的邊長分別為a1、a2、a3
65、,面積為S4、S5、S6的扇形的半徑分別為r4、r5、r6,每個扇形的圓心角為x. S1=,S2=,S3=,且+=, S1+S3=S2,S3=S2-S1=45-16=29, S4=,S5=,S6=,且+=, S5+S6=S4, S4=S5+S6=11+14=25, S3+S4=29+25=54.,7.(2016佛山二模,15)如圖,A=15,C=90,DE垂直平分AB交AC于E,若BC=4 cm,則AC=.,答案(8+4)cm,解析DE垂直平分AB,交AC于E,AE=BE, EBD=A=15,BEC=30,C=90, BE=2BC=8 cm,EC==4=4 cm, AC=AE+EC=(8+4)
66、cm.,審題技巧由A=15,C=90,聯(lián)想到含30角的直角三角形.,三、解答題(共17分),8.(2018陽江江城模擬,25)已知:把RtABC和RtDEF按如圖1擺放(點C與點E重合),點B,C(E),F在同一條直線上,ACB=EDF=90,DEF=45,AC=8 cm,BC=6 cm,EF=9 cm.如圖2,DEF從圖1的位置出發(fā),以1 cm/s的速度沿CB向ABC勻速移動,在DEF移動的同時,點P從ABC的頂點B出發(fā),以2 cm/s的速度沿BA向點A勻速移動,當DEF的頂點D移動到AC邊上時,DEF停止移動,點P也隨之停止移動,DE與AC交于點Q,連接PQ,設移動時間為t(s)(0
（廣東專版）2019年中考數(shù)學一輪復習 專題4 圖形的認識 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）課件.ppt
