2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.3 最大值與最小值課件 蘇教版選修1 -1.ppt

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1、3．3.3 最大值與最小值,,第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,學(xué)習(xí)導(dǎo)航,,,第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,1．函數(shù)的最大值與最小值 如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的x∈I，總有f(x)≤f(x0)，則f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最大值．最大值是相對(duì)函數(shù)定義域整體而言的，如果存在最大值，那么最大 值____________． 如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的x∈I，總有 ____________，則f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的_________． 一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．函數(shù)的最值必在端點(diǎn)處或極值點(diǎn)處取得．,惟一,f(x)

2、≥f(x0),最小值,注意：開(kāi)區(qū)間(a，b)上連續(xù)函數(shù)y＝f(x)的最值有如下幾種 情況： 圖①中的函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)上有最大值無(wú)最小值; 圖②中的函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)上有最小值無(wú)最大值; 圖③中的函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)上既無(wú)最大值也無(wú)最 小值； 圖④中的函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)上既有最大值也有最 小值．,,2．函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系 (1)函數(shù)的最值是一個(gè)整體性的概念．函數(shù)極值是在局部上對(duì)函數(shù)值的比較，具有相對(duì)性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個(gè)定義域上的情況，是對(duì)整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較． (2)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上若存在最大值或最小值

3、，則最大值或最小值只能各有一個(gè)，具有惟一性，而極大值和極小值可能多于一個(gè)，也可能沒(méi)有，例如：常數(shù)函數(shù)就既沒(méi)有極大值也沒(méi)有極小值． (3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處取必定是極值．,3．求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的步驟 第一步，求f(x)在區(qū)間(a，b)上的____________； 第二步，將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． 注意：(1)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)單調(diào)，則最大、最小值在端點(diǎn)處取得． (

4、2)當(dāng)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大值(或極小值)，則可以判定f(x)在該點(diǎn)處取得最大值(或最小值)，這里(a，b)也可以是無(wú)窮區(qū)間．,極值,1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f(x)一定有最大值和最小值． ( ) (2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(x)的最大值是f(b)，f(x)的最小值是f(a)．( ) (3)定義在開(kāi)區(qū)間(a，b)上的函數(shù)f(x)沒(méi)有最大值．( ) (4)函數(shù)的所有極小值中最小的一個(gè)就是最小值．( ),,√,,,2．函數(shù)f(x)＝x3－12x＋16，

5、x∈[－2,3]的最大值是_______. 解析：f′(x)＝3x2－12＝0，∴x＝2， f(－2)＝－8＋24＋16＝32， f(2)＝8－24＋16＝0， f(3)＝27－36＋16＝7， ∴ymax＝32.,32,,π,4．若函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，且f′(x)>g′(x)， f(a)＝g(a)，則在區(qū)間[a，b]上有f(x)與g(x)的大小關(guān)系為 _________________． 解析：∵f′(x)>g′(x)， ∴f(x)－g(x)單調(diào)遞增． ∵x≥a，∴f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)， 即f(x)－g(x)≥0，即f(x)≥g(x)．,f(x)≥

6、g(x),求函數(shù)的最值,∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最小值f(0)＝0； 當(dāng)x＝2π時(shí)，f(x)有最大值f(2π)＝π. (2)f′(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－3)(x－1)， 由f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3.,列表：,若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)，則f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，其最值一定在極值點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)處取得，因此在求閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)的最值時(shí)，可將過(guò)程簡(jiǎn)化，即不用判斷導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,就可判定最大(小)的函數(shù)值．對(duì)于開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函

7、數(shù)(定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間)求最值，除求出函數(shù)的極大值、極小值外,還應(yīng)考慮函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值或畫(huà)出函數(shù)的大致圖象,再判定函數(shù)的最大(小) 值，否則會(huì)犯錯(cuò)誤，但定義在開(kāi)區(qū)間(a，b)上的可導(dǎo)函數(shù)，如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)必為最值點(diǎn)．,解：f′(x)＝2x－2x3，解方程2x－2x3＝0， 得x＝0或x＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：,,含參數(shù)的最值問(wèn)題,,,,求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，如果含有參數(shù)，則應(yīng)進(jìn)行分類(lèi)討論．由于函數(shù)的最值只能在極值點(diǎn)和端點(diǎn)處取得，所以只需比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小即可，最后再將討論的情況進(jìn)行合并整理．,2．已知a是實(shí)數(shù)，函

8、數(shù)f(x)＝x2(x－a)． (1)若f′(1)＝3，求a的值及曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程； (2)求f(x)在區(qū)間[－1,0]上的最大值．,,,,函數(shù)最值的應(yīng)用,,有關(guān)恒成立問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．即 ①若f(x)f(x)max； ②若f(x)>c恒成立，則c

9、∞時(shí)，f(x)→－∞. 故f(x)的圖象大致如圖所示． ∴方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)．,法二：轉(zhuǎn)化為求f1(x)＝x3－6x2＋9x與f2(x)＝4圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題． ∵f1(x)＝x3－6x2＋9x， ∴f′1(x)＝3x2－12x＋9. 令f′1(x)＝0得x＝3或x＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′1(x)，f1(x)隨x變化情況如下表：,又當(dāng)x→＋∞時(shí)，f1(x)→＋∞. 當(dāng)x→－∞時(shí)，f1(x)→－∞. 故f1(x)與f2(x)的圖象大致如圖所示． 由此知y＝f1(x)與y＝f2(x)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)．,[名師點(diǎn)評(píng)] (1)方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，也就是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此研究方程的根的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)研究函數(shù)的圖象加以解決． (2)在討論函數(shù)的大致圖象時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性以及極值和最值的情況，然后討論交點(diǎn)的情況，從而得到方程根的情況.,令f′(x)＝0，解得x＝1， 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：,[感悟提高] 利用導(dǎo)數(shù)可以證明含有高次式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等類(lèi)型的不等式，在證明的過(guò)程中，首先要注意變量的取值范圍，再正確的構(gòu)造出函數(shù)，最后再求出函數(shù)的最值．,