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1、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用
重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2007屆 徐富星
指導(dǎo)老師：馬老師
摘要：導(dǎo)數(shù)是從生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的需要中產(chǎn)生的，同時(shí)，又促進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展，它不僅在天文、物理、工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而且在日常生活及經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域也是逐漸顯示出重要的作業(yè)。
關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；實(shí)際生活；最大值、最小值問(wèn)題；利潤(rùn)最大
Abstract:A derivative is out of production technology and science needs of production,and promote production technology an
2、d science has developed,it is not only in astronomy and physics and engineering,and have wide application in our daily life and the economic sphere is also beginning to show important role.
Key words:Derivative;Actual life;Problem on maximum and minimum;Profits maximizstion
導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)
3、學(xué)的紐帶，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了新的視野，是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率和解決一些物理問(wèn)題等等的有力工具。
導(dǎo)數(shù)知識(shí)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它是從生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的需要中產(chǎn)生的，同時(shí)，又促進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展，它不僅在天文、物理、工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及實(shí)際生活中，也經(jīng)常會(huì)遇到如何才能使“選址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等優(yōu)化問(wèn)題。這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上就是最大值、最小值問(wèn)題，一般都可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)得到解決。接下來(lái)就導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用略微討論。
1,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值解讀
函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論的問(wèn)題
4、，是一個(gè)局部概念，函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有極值。
函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則是是極值點(diǎn)的必要不充分條件，但導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。
最大值、最小值是函數(shù)對(duì)整個(gè)定義域而言的，是整體范圍內(nèi)討論的問(wèn)題，是一個(gè)整體性的概念，函數(shù)的最大值、最小值最多各有一個(gè)。函數(shù)最值在極值點(diǎn)處或區(qū)間的斷點(diǎn)處取得。
2,導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用解讀
生活中的優(yōu)化問(wèn)題：根據(jù)實(shí)際意義建立好目標(biāo)函數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。
例1：在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？
思路：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為
5、cm，則箱高cm，得箱子容積是箱底邊長(zhǎng)的函數(shù)：，從求得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，箱子的高恰好是原正方形邊長(zhǎng)的，這個(gè)結(jié)論是否具有一般性？
變式：從一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮的各角截去相等的方塊，把各邊折起來(lái)，做一個(gè)無(wú)蓋的箱子，箱子的高是這個(gè)正方形邊長(zhǎng)的幾分之幾時(shí)，箱子容積最大？
提示：
答案：。
評(píng)注：這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題，建立的目標(biāo)函數(shù)是三次函數(shù)，用過(guò)去的知識(shí)求其最值往往沒(méi)有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧。而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，求三次目標(biāo)函數(shù)的最值就變得非常簡(jiǎn)單，對(duì)于實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題，如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)，簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)，簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，或它
6、們的復(fù)合函數(shù)，均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值?？梢?jiàn)，導(dǎo)數(shù)的引入，大大拓展了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用空間。
例2：請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是測(cè)棱唱為3m的正六棱錐（如圖所示）。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？
解：設(shè)為m，則
有題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為：，
故底面正六變形的面積為：
，（單位：）
帳篷的體積為：
（單位：）
求導(dǎo)得。
令，解得（不合題意，舍去），，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)。
∴當(dāng)時(shí)，最大。
答：當(dāng)為2m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為。
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究
7、函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
例3： 已知某商品生產(chǎn)成本與常量q的函數(shù)關(guān)系式為，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式。求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)L最大。
分析：利潤(rùn)L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格。由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)。
解：收入
利潤(rùn)
令，即 求得唯一的極值點(diǎn)
因?yàn)長(zhǎng)只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以它是最大值。
答：產(chǎn)量為84時(shí)，利潤(rùn)L最大。
點(diǎn)評(píng)：上題主要也是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決利潤(rùn)問(wèn)題，在實(shí)際生活中應(yīng)用也很廣泛。
8、
例4：煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境。已知落在底面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現(xiàn)有兩座煙囪相距20km，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的煙塵濃度最小。
解：不失一般性，設(shè)煙囪A的煙塵量為1，則煙囪B的煙塵量為8.
并設(shè)AC= ∴CB=，
于是點(diǎn)C的煙塵濃度為： ，
其中為比例系數(shù)。
則
令，有，
即。
解得在（0，20）內(nèi)惟一駐點(diǎn)。
由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）內(nèi)取得，
∴在惟一駐點(diǎn)處，濃度最小，即在AB間距A處km處的煙塵濃度最小。
例5：在甲
9、、乙兩工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠的河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米元和元，問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最??？
解：設(shè)，則，，，
設(shè)總的水管費(fèi)用為，依題意，有
令，得
根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
此時(shí)，，
（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)最省。
點(diǎn)評(píng)：上兩個(gè)例子同樣利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，在實(shí)際問(wèn)題中求出最恰當(dāng)?shù)胤健?
例6：統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車的勻速行駛中每小時(shí)的耗油量為
10、（升），關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：
。已知甲、乙兩地相距100千米。
（1） 當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？
（2） 當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
解：（1）當(dāng)=40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，
要耗油 （升）。
答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。
（2）當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油為
依題意:
.
令，得。
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)。
當(dāng)時(shí)，取到極小值。
11、
因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值，所以它是最小值。
答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。
點(diǎn)評(píng)：以導(dǎo)數(shù)知識(shí)為工具研究函數(shù)單調(diào)性對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究，導(dǎo)數(shù)座位強(qiáng)有力的工具提供了簡(jiǎn)單、程序化的方法，具有普遍的可操作方法。
總之，導(dǎo)數(shù)座位一種工具，在解決顯示生活中的很多問(wèn)題時(shí)使用非常方便，尤其是可以使用導(dǎo)數(shù)解決生活中的很多優(yōu)化組合的問(wèn)題，這些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解，很大程度上簡(jiǎn)化了我們的過(guò)程，縮短了步驟，起著非常重要的作用。還可以解析幾何相聯(lián)系，可以在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)問(wèn)題。因此，在實(shí)際生活中，藥學(xué)會(huì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的作用。
參考文獻(xiàn)
維普咨詢網(wǎng)
普通高中課程標(biāo)準(zhǔn) 數(shù)學(xué)第二冊(cè)
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導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 徐富星
