【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理 新人教A版

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1、 學(xué)案75　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解坐標(biāo)系的有關(guān)概念，理解簡單圖形的極坐標(biāo)方程.2.會進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化.3.理解直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，會進(jìn)行參數(shù)方程與普通方程的互化，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用． 自主梳理 1．極坐標(biāo)系的概念 在平面上取一個定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做________；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個____________． 設(shè)M是平面上任一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離OM叫做點(diǎn)M的________，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的

2、________，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的__________，記作(ρ，θ)． 2．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為x＝__________，y＝__________.另一種關(guān)系為：ρ2＝__________，tan θ＝______________. 3．簡單曲線的極坐標(biāo)方程 (1)一般地，如果一條曲線上任意一點(diǎn)都有一個極坐標(biāo)適合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐標(biāo)適合方程φ(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線上，那么方程φ(

3、ρ，θ)＝0叫做曲線的____________． (2)常見曲線的極坐標(biāo)方程 ①圓的極坐標(biāo)方程 ____________表示圓心在(r,0)半徑為|r|的圓； ____________表示圓心在(r，)半徑為|r|的圓； ________表示圓心在極點(diǎn)，半徑為|r|的圓． ②直線的極坐標(biāo)方程 ____________表示過極點(diǎn)且與極軸成α角的直線； ____________表示過(a,0)且垂直于極軸的直線； ____________表示過(b，)且平行于極軸的直線； ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示過(ρ0，θ0)且與極軸成α角的直線方程． 4．常見曲線的

4、參數(shù)方程 (1)直線的參數(shù)方程 若直線過(x0，y0)，α為直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程為這是直線的參數(shù)方程，其中參數(shù)l有明顯的幾何意義． (2)圓的參數(shù)方程 若圓心在點(diǎn)M(a，b)，半徑為R，則圓的參數(shù)方程為0≤α<2π. (3)橢圓的參數(shù)方程 中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． (4)拋物線的參數(shù)方程 拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為 自我檢測 1．(2010·北京)極坐標(biāo)方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是(　　) A．兩個圓 B．兩條直線 C．一個圓和一條射線 D．一條直線和一條射線 2．(2010·湖南

5、)極坐標(biāo)方程ρ＝cos θ和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是(　　) A．圓、直線 B．直線、圓 C．圓、圓 D．直線、直線 3．(2010·重慶)直線y＝x＋與圓心為D的圓(θ∈[0,2π))交于A、B兩點(diǎn)，則直線AD與BD的傾斜角之和為(　　) A.π B.π C.π D.π 4．(2011·廣州一模)在極坐標(biāo)系中，直線ρsin(θ＋)＝2被圓ρ＝4截得的弦長為________． 5．(2010·陜西)已知圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝1，則直線l與圓

6、C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________________. 探究點(diǎn)一　求曲線的極坐標(biāo)方程 例1 在極坐標(biāo)系中，以(，)為圓心，為半徑的圓的方程為________． 變式遷移1 如圖，求經(jīng)過點(diǎn)A(a,0)(a>0)，且與極軸垂直的直線l的極坐標(biāo)方程． 探究點(diǎn)二　極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化 例2 (2009·遼寧)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M、N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)． (1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐

7、標(biāo)方程． 變式遷移2 (2010·東北三校第一次聯(lián)考)在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin(θ－)＝， (1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)θ∈(0，π)時，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個極坐標(biāo)． 探究點(diǎn)三　參數(shù)方程與普通方程的互化 例3 將下列參數(shù)方程化為普通方程： (1)；(2)；(3). 變式遷移3 化下列參數(shù)方程為普通方程，并作出曲線的草圖． (1)(θ為參數(shù))； (2) (t為參數(shù))．

8、 探究點(diǎn)四　參數(shù)方程與極坐標(biāo)的綜合應(yīng)用 例4 求圓ρ＝3cos θ被直線(t是參數(shù))截得的弦長． 變式遷移4 (2011·課標(biāo)全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)) M是C1上的動點(diǎn)，P點(diǎn)滿足＝2，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2. (1)求C2的方程； (2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ＝與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|. 本節(jié)內(nèi)容要注意以下兩點(diǎn)：一、簡單曲線的極坐標(biāo)方程可結(jié)合極坐標(biāo)系中ρ和θ的具體含義求出，也可利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化得出．同

9、直角坐標(biāo)方程一樣，由于建系的不同，曲線的極坐標(biāo)方程也會不同．在沒有充分理解極坐標(biāo)的前提下，可先化成直角坐標(biāo)解決問題．二、在普通方程中，有些F(x，y)＝0不易得到，這時可借助于一個中間變量(即參數(shù))來找到變量x，y之間的關(guān)系．同時，在直角坐標(biāo)系中，很多比較復(fù)雜的計(jì)算(如圓錐曲線)，若借助于參數(shù)方程來解決，將會大大簡化計(jì)算量．將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時要注意其中的x，y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性．參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有：代入消元、加減消元、平方后相加減消元等．同極坐標(biāo)方程一樣，在沒有充分理

10、解參數(shù)方程的前提下，可先化成直角坐標(biāo)方程再去解決相關(guān)問題． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)(3，－)關(guān)于極軸所在直線對稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是(　　) A．(3，π) B．(3，) C．(3，π) D．(3，π) 2．曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos2－1的直角坐標(biāo)方程為(　　) A．x2＋(y－)2＝ B．(x－)2＋y2＝ C．x2＋y2＝ D．x2＋y2＝1 3．(2010·湛江模擬)在極坐標(biāo)方程中，曲線C的方程是ρ＝4sin θ，過點(diǎn)(4，)作曲線C的切線，則切線長為(　　) A．4 B

11、. C．2 D．2 4．(2010·佛山模擬)已知動圓方程x2＋y2－xsin 2θ＋2·ysin(θ＋)＝0(θ為參數(shù))，那么圓心的軌跡是(　　) A．橢圓 B．橢圓的一部分 C．拋物線 D．拋物線的一部分 5．(2010·安徽)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線C上到直線l距離為的點(diǎn)的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2010·天津)已知圓C的圓心是直線(t為參數(shù))與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為_

12、_______． 7．(2011·廣東)已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ<π)和(t∈R)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為________． 8．(2010·廣東深圳高級中學(xué)一模)在直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的極坐標(biāo)方程為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2011·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點(diǎn)，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程． 10．(12分)(2010·福建)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)

13、系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)，求|PA|＋|PB|. 11．(14分)(2010·課標(biāo)全國)已知直線C1：(t為參數(shù))，圓C2：(θ為參數(shù))． (1)當(dāng)α＝時，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)； (2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點(diǎn)，當(dāng)α變化時，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線． 學(xué)案75　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 自主

14、梳理 1．極軸　極坐標(biāo)系　極徑　極角　極坐標(biāo)　2.ρcos θ　ρsin θ　x2＋y2　(x≠0)　3.(1)極坐標(biāo)方程　(2)①ρ＝2rcos θ　ρ＝2rsin θ　ρ＝r　②θ＝α(ρ∈R)　ρcos θ＝a　ρsin θ＝b 自我檢測 1．C　2.A　3.C 4．4 5．(－1,1)，(1,1) 解析　∵y＝ρsin θ， ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝1. 由得x2＋(y－1)2＝1. 由得或 ∴直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－1,1)和(1,1)． 課堂活動區(qū) 例1 解題導(dǎo)引　求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：①建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；

15、②由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；③將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡，得出曲線上的極坐標(biāo)方程；④證明所得方程就是曲線的極坐標(biāo)方程，若方程的推導(dǎo)過程正確，化簡過程都是同解變形，這一證明可以省略． 答案　ρ＝asin θ，0≤θ<π 解析　圓的直徑為a，設(shè)圓心為C，在圓上任取一點(diǎn)A(ρ，θ)， 則∠AOC＝－θ或θ－， 即∠AOC＝|θ－|. 又ρ＝acos∠AOC＝acos|θ－|＝asin θ. ∴圓的方程是ρ＝asin θ，0≤θ<π. 變式遷移1 解　設(shè)P(ρ，θ)是直線l上任意一點(diǎn)，OPcos θ＝OA， 即ρcos θ＝a，

16、故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝a. 例2 解題導(dǎo)引　直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對方程進(jìn)行變形時，方程必須同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗(yàn)． 解　(1)由ρcos＝1得 ρ＝1. 從而C的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1， 即x＋y＝2，當(dāng)θ＝0時，ρ＝2，所以M(2,0)． 當(dāng)θ＝時，ρ＝，所以N. (2)M點(diǎn)的

17、直角坐標(biāo)為(2,0)． N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，)． 所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為， 則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為， 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)． 變式遷移2 解　(1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0. 直線l：ρsin(θ－)＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 則直線l的直角坐標(biāo)方程為y－x＝1， 即x－y＋1＝0. (2)由得 故直線l與圓O公共點(diǎn)的一個極坐標(biāo)為(1，)． 例3 解題導(dǎo)引　參數(shù)方程通過消去參數(shù)化為普通方程．對于(1)直接消去參數(shù)k有困難

18、，可通過兩式相除，先降低k的次數(shù)，再運(yùn)用代入法消去k；對于(2)可運(yùn)用恒等式(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ消去θ；對于(3)可運(yùn)用恒等式()2＋()2＝1消去t. 另外，參數(shù)方程化為普通方程時，不僅要消去參數(shù)，還應(yīng)注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致． 解　(1)兩式相除，得k＝.將k＝代入，得x＝. 化簡，得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y2＝2－x. 又x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程是y2＝2－x，x∈[0,2]． (3)由

19、()2＋()2＝1， 得x2＋4y2＝1. 又x＝≠－1， 得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)． 變式遷移3 解　(1)由y2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x， 得y2＝2x＋1. ∵－≤sin 2θ≤，∴－≤x≤. ∵－≤sin θ＋cos θ≤，∴－≤y≤. 故所求普通方程為 y2＝2 (－≤x≤，－≤y≤)，圖形為拋物線的一部分． 圖形如圖甲所示． (2)由x2＋y2＝2＋2＝1及x＝≠0，xy＝≥0知，所求軌跡為兩段圓弧x2＋y2＝1 (0

20、題導(dǎo)引　一般將參數(shù)方程化為普通方程，極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程解決． 解　將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程： ρ＝3cos θ即：x2＋y2＝3x， 即(x－)2＋y2＝.即：2x－y－3＝0. 所以圓心到直線的距離d＝＝0， 即直線經(jīng)過圓心， 所以圓被直線截得的弦長為3. 變式遷移4 解　(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M(，)． 由于M點(diǎn)在C1上， 所以即 從而C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)) (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sin θ. 射線θ＝與C1的交點(diǎn)A的極徑為ρ1＝4sin， 射線θ＝與C2的交點(diǎn)B的極徑為ρ2＝8si

21、n. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2. 課后練習(xí)區(qū) 1．B　[由于極徑不變，極角關(guān)于極軸對稱， ∴其對稱點(diǎn)為(3，)．故選B.] 2．B　[∵ρ＝2cos2－1，∴ρ2＝ρcos θ即x2＋y2＝x， ∴(x－)2＋y2＝.] 3．C　[ρ＝4sin θ化為普通方程為x2＋(y－2)2＝4，點(diǎn)(4，)化為直角坐標(biāo)為(2，2)，切線長、圓心到定點(diǎn)的距離及半徑構(gòu)成直角三角形，由勾股定理：切線長為＝2，故選C.] 4．D　[圓心軌跡的參數(shù)方程為 即 消去參數(shù)得y2＝1＋2x(－≤x≤)，故選D.] 5．B　[∵曲線C的方程為(θ為參數(shù))， ∴(x－2)2＋(y＋1)2＝

22、9，而l為x－3y＋2＝0， ∴圓心(2，－1)到l的距離d＝＝＝.又∵<3，>3，∴有2個點(diǎn)．] 6．(x＋1)2＋y2＝2 解析　直線(t為參數(shù))與x軸的交點(diǎn)為(－1,0)，故圓C的圓心為(－1,0)．又圓C與直線x＋y＋3＝0相切，∴圓C的半徑為r＝＝，∴圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2. 7．(1，) 解析　將兩曲線的參數(shù)方程化為一般方程分別為＋y2＝1(0≤y≤1，－

23、 θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ. 9．解　由題設(shè)知，橢圓的長半軸長a＝5，短半軸長b＝3，從而c＝＝4，所以右焦點(diǎn)為(4,0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0.(6分) 故所求直線的斜率為，因此其方程為y＝(x－4)，(8分) 即x－2y－4＝0.(12分) 10．解　方法一　(1)ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0， 即x2＋(y－)2＝5.(4分) (2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得 (3－t)2＋(t)2＝5，即t2－3t＋4＝0.(6分) 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)根，所以 又直線

24、l過點(diǎn)P(3，)， 故由上式及t的幾何意義得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.(12分) 方法二　(1)同方法一． (2)因?yàn)閳AC的圓心為點(diǎn)(0，)，半徑r＝，直線l的普通方程為y＝－x＋3＋.(8分) 由得x2－3x＋2＝0. 解得或(10分) 不妨設(shè)A(1,2＋)，B(2,1＋)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)， 故|PA|＋|PB|＝＋＝3.(12分) 11．解　(1)當(dāng)α＝時，C1的普通方程為y＝(x－1)，C2的普通方程為x2＋y2＝1，聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，(，－)．(7分) (2)C1的普通方程為xsin α－ycos α－sin α＝0. A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin2α，－cos αsin α)， 故當(dāng)α變化時，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))．(9分) P點(diǎn)軌跡的普通方程為(x－)2＋y2＝.(12分) 故P點(diǎn)軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓． (14分) 10