2012江蘇省數(shù)學(xué)競賽《提優(yōu)教程》教案：第04講 集合的概念與運算

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1、 第4講 集合的概念與運算 本講內(nèi)容包括集合及其性質(zhì)（集合的元素滿足確定性、互異性、無序性）；元素與集合、集合與集合的關(guān)系（屬于、包含、子集、空集、全集）；集合的運算（交、并、補）及容斥原理等。 “交、并、補”是集合的三種運算。它們的含義可以用“且、或、非”來理解。這對于運用集合語言描述數(shù)學(xué)現(xiàn)象，或解讀運用集合語言描述的問題都有幫助。集合及其運算還有如下一些常用的性質(zhì)和公式： 若，則； 若，則； ； ； [I[I[I; [I[I[I. 容斥原理 在需要對某一個有限集合的元素進行記數(shù)時，為了便于計算，常常通過計算它的若干個子集的元素個數(shù)來實現(xiàn)。實質(zhì)是將整體

2、計數(shù)問題轉(zhuǎn)化為局部計數(shù)問題。 我們將此類計數(shù)公式通稱為容斥原理?！叭荨币庵高@些子集的并集是原集合，“斥”意指這些子集中兩兩交集不是空集時，需要將重復(fù)的元素個數(shù)排斥掉。 通常以表示有限集合中元素的個數(shù)，參照Venn圖可以得到如下計數(shù)公式: A類例題 例1 已知數(shù)集， 。 若，求實數(shù)的值

3、。 分析 兩個集合相等是指這兩個集合的元素完全相同。由集合中元素的互異性及無序性，集合中三個元素有且僅有一個為1。椐此可求出，進而求出。 解 由，得。 由集合中三個元素有且僅有一個為1，得，。 由，得。 因此，所求實數(shù)為或。 例2 集合 的關(guān)系是 （ ） （1989年全國高中聯(lián)賽） 分析1 通過化簡，認(rèn)識這兩個集合中元素的特征，進而作出判斷。 解1 ，而可取任意整數(shù)，得集合表示4的倍數(shù)的集合，即。 ，設(shè)，得。

4、所以，，應(yīng)選。 分析2 本題供選擇的結(jié)論中，均為兩集合之間的包含關(guān)系。證明集合之間包含關(guān)系的一般方法是“若，則”；證明集合相等關(guān)系的一般方法是“若 則”。 解2 若。設(shè)，則。 若。設(shè)，則。 由。所以應(yīng)選。 例3 已知，。 （1） 若，求實數(shù)的值； （2） 若，求實數(shù)的取值范圍。 分析 首先應(yīng)對題中的集合語言進行解讀。，意為由集合分別表示的兩個方程組成的方程組的解集。（1）是求實數(shù)的值，使上述方程組有3解；（2）是求實數(shù)的取值范圍，使上述方程組無解。 解 由 （*） 。 當(dāng)時，，原方程組無解； 當(dāng)時，，原方程組有兩解； 當(dāng)時，，方程（*）有兩個不等的實根。

5、 由，得方程（*）兩根中，一根為正數(shù)另一根為0時，原方程組有3解；方程（*）兩根均為負(fù)根時，原方程組無解。 由，經(jīng)驗算，時，原方程組有3解； 由，即時，原方程組無解。 所以，若，實數(shù) ； 若，實數(shù)的取值范圍是或。 情景再現(xiàn) 1．已知數(shù)集，求實數(shù)的值。 （1999年第十屆“希望杯”高一） 2．若是單元素集合，則實數(shù)的值為 （ ） 不存在這樣的實數(shù) （1990年江蘇省數(shù)學(xué)競賽） 3．?dāng)?shù)集與數(shù)集之間的關(guān)系是 （

6、 ） （1984年全國高考題） B類例題 例4 設(shè)集合滿足：， 。 若為已知集合，求集合。 分析 在研究集合之間的運算時，應(yīng)理解集合運算的意義并注意應(yīng)用運算的性質(zhì)。 解1 由 設(shè) 或 因為 ，得 ，即。 由 ，得。 又 所以，。 解2 由 ， 所以， 。 例5 已知集合， ， 若，求實數(shù)的取值范圍。 分

7、析 由題意，兩個一元二次方程和中，至少有一個方程有實數(shù)解。采用直接方法是求兩個方程有解集合的并集；或采用間接方法是求兩個方程無解集合的交集的補集。 解1 由二次方程，得 ； 由二次方程 ，得 ； 由，得所求實數(shù)的取值范圍是 解2 由解1，得 。 由，得所求實數(shù)的取值范圍是 [R 例6 不大于1000的自然數(shù)中，既不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)共有多少個？ 分析 若不大于1000的自然數(shù)集合為全集，其中3的倍數(shù)的集合為，5的倍數(shù)的集合為。則要求的是|[I|。 解 設(shè)不大于1000的自然數(shù)集合為全集，其中3的倍數(shù)的集合為，5的倍數(shù)的集合為，則 。

8、 因此，。 所以，不大于1000的自然數(shù)中，既不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)共有 |[I|（個）。 情景再現(xiàn) 4．已知，，且 ， （1）若，求實數(shù)的值； （2）若，求實數(shù)的取值范圍。 5．若非空集合，則能使成立的所有的集合是 （ ） （1998年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽） 6．某班期末對數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科的總評成績進行統(tǒng)計：數(shù)學(xué)有21人優(yōu)秀，物理有19人優(yōu)秀，化學(xué)有20人優(yōu)秀，數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有9人，物理和化學(xué)都優(yōu)秀的有6個，數(shù)學(xué)和化學(xué)都優(yōu)秀的有8個。若該班有7人數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科中沒有一科優(yōu)秀，試確定該班總?cè)藬?shù)的范圍及

9、僅數(shù)學(xué)一科優(yōu)秀的人數(shù)的范圍。 C類例題 例7 設(shè)，， ， ， 是平面內(nèi)的點集，討論是否存在 使得 （1）； （2）同時成立。（1986年全國高考題） 分析 首先應(yīng)對題中的集合語言進行解讀。，意為由集合分別表示的兩個方程組成的方程組有整數(shù)解；，則給出了的允許值范圍。 解 集合可分別化簡為，。 ， 僅當(dāng)且時，，方程組有解。此時，原方程組的解為 由于，原方程組的解不是整數(shù)解，所以滿足條件的實數(shù)不存在。 例8 一

10、次會議有2005位數(shù)學(xué)家參加，每人至少有1337位合作者，求證：可以找到4位數(shù)學(xué)家，他們中每兩人都合作過。 分析 按題意，可以構(gòu)造一種選法，找出符合條件的四位數(shù)學(xué)家。 解 由題意，可任選兩位合作過的數(shù)學(xué)家，設(shè)與合作過的數(shù)學(xué)家的集合為，與合作過的數(shù)學(xué)家的集合為。則， 。又。于是， 。 因此，在集合中，有數(shù)學(xué)家且不是。從中選出數(shù)學(xué)家，并設(shè)與合作過的數(shù)學(xué)家的集合為。則，。于是， 因此，在集合中，有數(shù)學(xué)家且不是。又可從中選出數(shù)學(xué)家。則數(shù)學(xué)家，他們中每兩人都合作過。即原命題得證。 情景再現(xiàn) 7．設(shè)，，。若集合是單元素集，則。 8．計算不超過120的合數(shù)及

11、質(zhì)數(shù)的個數(shù)。 習(xí)題4 1．已知集合， ， ， 則集合的關(guān)系是 （ ） 2．由 能夠推出 （ ） （1985年上海數(shù)學(xué)競賽） 3．設(shè)R,。若A不是B的真子集，則a的取值范圍是 ( ) 4．已知，又，求實數(shù)的取值范圍。 5． 設(shè) ， 且，求實數(shù)的取

12、值范圍。 6． 設(shè)，求證： （1） 一切奇數(shù)屬于； （2） 形如的數(shù)不屬于； （3） 中任意兩個數(shù)的積仍屬于。 7． 設(shè)，則集合中被7除余2且不能被57整除的數(shù)的個數(shù)為__________。（1994年江蘇省數(shù)學(xué)競賽） 8．已知對任意實數(shù)，函數(shù)都有定義，且，如果集合不是空集，試證明是無限集。（1994年江蘇省數(shù)學(xué)競賽） 9．設(shè)是坐標(biāo)平面上的兩個點集，，若對任何 都有，則必有。 此命題是否正確？ (1984年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽) 10．設(shè) 為滿足下列條件的有理數(shù)集合： （1）若，則 ； （2）對任意一個有理數(shù) ，三個關(guān)系有且僅有一個成立。 證明：是由全體正有理數(shù)組

13、成的集合。（1972年奧地利數(shù)學(xué)競賽） 答案 情景再現(xiàn) 1． 設(shè)，經(jīng)檢驗符合題意； ，經(jīng)檢驗不合題意； ，經(jīng)檢驗符合題意。 故所求的值為。 2． 集合表示不等式組 的解集。當(dāng)兩個不等式的解集有共同的邊界點，或者兩個不等式的解集中，有一個是單元素集時，不等式組解集有可能為單元素集。由此，不等式可化簡為，當(dāng)時 ，此不等式的解集為單元素集。故應(yīng)選。

14、 3． 由與都表示全體奇數(shù)，所以，。故應(yīng)選。 4． ， 。 （1） 由 且 ，得3是集合的元素。將3代入方程，得，解此方程得或。經(jīng)檢驗，所求實數(shù)的值為； （2） 由，又，所以集合為或 由（1），不可能。當(dāng) 則 因此，所求實數(shù)的取值范圍是。 5． 即。因此， 。所以，應(yīng)選。 6． 設(shè) {該班數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)

15、生} {該班物理成績優(yōu)秀的學(xué)生} {該班化學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生} 則 由是的子集，得 。 因此， 。 因此，。 所以，該班總?cè)藬?shù)的范圍是 ； 僅數(shù)學(xué)一科優(yōu)秀的人數(shù)的范圍是 。 7． 若集合是單元素集，設(shè)即，則 ， 8． 不超過120的合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，因此不超過120的合數(shù)必定是質(zhì)數(shù)2，3，5，7的倍數(shù)。 設(shè)， ， ， ， 。 則 不超過120且是2，3，5，7的倍數(shù)共有 所以，不超過120的合數(shù)共有（個）（除去四個質(zhì)數(shù)

16、）； 不超過120的質(zhì)數(shù)共有（個）（1不是質(zhì)數(shù)）。 習(xí)題4 1． 由，得。又集合表示數(shù)集，表示點集，所以，。故應(yīng)選。 2． 解1 設(shè)， 則。 經(jīng)驗算，均不正確，所以，應(yīng)選。 解2 由 ， 所以，。故應(yīng)選。 3． ， 若A是B的真子集，則 解得。所以，若A不是B的真子集，則。故應(yīng)選。 4． 由題意，方程組 無解。 由方程組，得 所以實數(shù)的取值范圍是。 5． ， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 綜上，所求實數(shù)的取值范圍是。 6。 （1）奇數(shù)集合可表示為。 （2） 。

17、 因為與同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，所以，或為，或為，不可能為形如的數(shù)。故形如的數(shù)不屬于 ； （3） 設(shè)，則， 所以， 。 7． 設(shè)。 則 由。 又，故當(dāng)或9時，被7除余2。 所以，集合中被7除余2且不能被57整除的數(shù)的個數(shù)為（個）。 8． 由題意，存在非零實數(shù)，得 即 由。又非零實數(shù)可無限平分，所以原命題得證。 9． 命題不正確。反例如下： 取， ， 則集合滿足，但集合不是集合的子集。 10。 由（2）知，。 對任意非零有理數(shù)，由（2），得或。再由（1） 。于特例中，取。 于（1）中，由，得全體正整數(shù)都是集合的元素。 設(shè)任意正有理數(shù)。 由，又，則。即全體正有理數(shù)都是集合的元素。 又由（2），全體負(fù)有理數(shù)不可能是集合的元素，所以集合是由全體正有理數(shù)組成的集合。