2012江蘇省數(shù)學(xué)競賽《提優(yōu)教程》教案：第08講 幾個基本初等函數(shù)(新)

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1、 第8講 幾個基本初等函數(shù) 本節(jié)主要內(nèi)容有指數(shù)和對數(shù)的運算，冪函數(shù)y= xn、指數(shù)函數(shù)（）和對數(shù)函數(shù)（），指數(shù)方程和對數(shù)方程，指數(shù)不等式和對數(shù)不等式等． A類例題 例1 解不等式． 解 等價于或． 即 或， 所以或或． 所以x >4或0

2、個數(shù)得大小。 解 log2loglogx=0，T loglogx=1， T logx=，Tx= = ； log3loglogx=0，T loglogx=1， T logx=，Ty== ； log5loglogz=0，T loglogz=1， T logz=，Tz== ， ∵ 23<32，T215<310．Tx52，T215>56，Tz

3、的圖象關(guān)于點對稱． （1）求函數(shù)的解析式； （2）若函數(shù)在上有意義，求的取值范圍． （2004年天津數(shù)學(xué)競賽） 解 （1）由（，），得 又函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，于是， ．（） （2）由（1）的結(jié)論，有． 要使有意義，必須，又，故． 由題設(shè)在上有意義， 所以，即．于是，．　 情景再現(xiàn) 1．不等式+logx3+2>0的解集為（ ） A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4] （2004年全國聯(lián)賽一試） 2．若a > 1， b > 1,，且lg (a + b) = lg a + lg b，則lg (

4、a –1) + lg (b –1) 的值( ) A．等于lg2 B．等于1 C．等于0 D．不是與a, b無關(guān)的常數(shù) （1998年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽) 3．已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．［2，＋∞ B類例題 例4 下列表中的對數(shù)值只有兩個是錯誤的，請予糾正： x 0.021 0.27 1.5 2.8 lgx 2a+b+c－3 6a－3b－2 3a－b+c 1－2a+2b－c x 3

5、 5 6 7 lgx 2a－b a+c 1+a－b－c 2(a+c) x 8 9 14 lgx 3－3a－3c 4a－2b 1－a+2b (1981年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽） 分析 所給數(shù)據(jù)互相關(guān)聯(lián)，x的11個值只涉及到質(zhì)因子2、3、5、7，利用對數(shù)得運算性質(zhì)，把所給的11個對數(shù)值轉(zhuǎn)化成由lg2=1-a-c、lg3=2a-b、lg7=2b+c這三個值表示的式子，同時抓住“只有兩個值是錯誤的”這個條件進行分析。 解 因為lg9==2lg3，而4a－2b=2(2a－b)， lg0.27=lg27－2=3lg3－2，而6a－3b－2=3(2a－b)－2，

6、 故此三數(shù)同對錯；現(xiàn)只有兩個數(shù)據(jù)錯，故這三個數(shù)據(jù)都正確． 由lg8=3lg2=3－3a－3c，Tlg2=1－a－c， 而lg6=lg2+lg3=1－a－c+2a－b=1+a－b－c； lg5=1－lg2=a+c；此三數(shù)同對錯， 故此三數(shù)都正確． 由于lg3，lg5已證正確，lg1.5=lg15－1=lg3+lg5－1=2a－b+a+c－1=3a－b+c－1，故lg1.5錯誤． 由于lg0.021=lg3+lg7－3=2a－b+lg7－3=2a+b+c－3Tlg7=2b+c； lg14=lg2+lg7=1－a－c+lg7=1－a+2b，Tlg7=2b+c； lg2

7、.8=lg7+2lg2－1=lg7+2－2a－2c－1=1－2a+2b－c，Tlg7=2b+c； 故此三數(shù)同對錯，由于只有一個錯，故此三數(shù)皆正確．從而lg7=2b+c正確．于是lg7=2(a+c)錯． 所以表中l(wèi)g1.5與lg7的數(shù)據(jù)是錯誤的．應(yīng)為lg1.5=3a－b+c－1及l(fā)g7=2b+c． 例5 比較和的大小。 分析 由于和的底不同，轉(zhuǎn)化為同底比較困難，可以考慮對兩式進行適當(dāng)變形或?qū)で笠粋€中間量進行傳遞。 解法一 ， ， 因為， 所以。 解法二 。 因為， 所以，即。 說明 推廣到一般為：。 例6 關(guān)于x的方程=2中，a為何實數(shù)時，方程無解？有一解？有兩解？

8、 (1987年高考題) 解法一：已知方程同解于 解③： x2+2(a－1)x+a2=0， ④ D=4(a－1)2－4a2=－4（2a－1）． ⑴ －2a+1>0，Ta<，即當(dāng)a<時，④有兩不等實解， 由韋達定理知，此二解為正． x1=(1－a)－，x2=1－a+， 顯然x2+a=1+>1，即x1滿足①、②， 又x1+a=1－，Tx1+a≤0?a≤0， 即a≤0時x1不滿足②，當(dāng)0

9、=不滿足②．故此時原方程無解； ⑶ －2a+1<0，Ta>，即當(dāng)a>時，④無實根，此時，原方程無解． 綜上可知，當(dāng)a≥時，原方程無解，當(dāng)0

10、單），其中a≠，x≠． 原方程的解即為函數(shù)f（x）、g（x）在同一個坐標(biāo)系中的圖象公共點的橫坐標(biāo)．如圖， （1）當(dāng)a≤0時，方程有且只有一解； （2）當(dāng)0＜a＜時，方程有且只有兩解； （3）當(dāng)a≥時，方程的解集是空集． 例7 設(shè)，其中a是實數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)且n≥2。如果f(x)當(dāng)時有意義，求a的取范圍。 （1990年高考題） 解：由題意知，當(dāng)，n≥2時，恒成立。 所以恒成立，， 因為函數(shù)都是增函數(shù)， 所以也是增函數(shù)， 從而它在x=1時取得最大值 。 因此，。 也就是a的取值范圍為。 說明 對于不等式在某個區(qū)間A上恒成立，求某參數(shù)a的取值

11、范圍這一類問題，常采取“分離參數(shù)法”，將不等式轉(zhuǎn)化為 a>f(x)對恒成立(或af(x)的最大值(或a

12、logax)2< logax2 C．logax20，a≠1，試求方程loga(x－ak)=log(x2－a2)有解時k的取值范圍． (1989年全國高考題) 7．已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，且f(-2)=-1，f(1)=0，當(dāng)x1>0，x2>0時，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)．求不等式log2|f(x)+1|<0的解集． （1992年江蘇省第三屆高二數(shù)學(xué)通訊賽） C類例題 例8

13、當(dāng)a為何值時，不等式有且只有一個解。 分析 此對數(shù)方程中，對數(shù)的底不相同，而且真數(shù)中又含有根式，可以考慮換底和換元，將原不等式變得簡潔一些，再加以解決。 解 易知。設(shè)，原不等式可以化為。 （1）當(dāng)時，原不等式為 ① 由于當(dāng)時，與均為單調(diào)增函數(shù)，所以它們的乘積也為單調(diào)增函數(shù)。 因為=1， 所以①式等價與， 即。此不等式有無窮多解。 （2）當(dāng)時，原不等式為 ② 由知，②等價與， 即。 從上式知，只有當(dāng)有唯一解（兩個根相同）時，原不等式有且只有一解。 由得a=2。此時不等式的解為x=－1。 綜上所述，原不等式當(dāng)a

14、=2時有且只有一個解。 說明 解決指數(shù)和對數(shù)不等式（方程）的常用方法是：通過對原式的變形，將其轉(zhuǎn)化為同底的不等式（方程），利用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性加以解決。如不能化成同底，也常?？紤]函數(shù)的單調(diào)性，將原不等式（方程）轉(zhuǎn)化為（）的形式加以解決。 情景再現(xiàn) 8．解方程。 習(xí)題13 1．若loga<1，則a的取值范圍是( ) A．0且a≠1 C．1 (湖南省2001年高中數(shù)學(xué)競賽) 2．設(shè)y=logax對一切x∈[2，+∞）都有|y|≥1，則實數(shù)a的取值范圍是

15、 。 （1993年江蘇省高中數(shù)學(xué)競賽） 3．若(log23)x－(log53) x≥ (log23) –y－(log53) －y，則( ) A．x－y≥0 B．x+y≥0 C．x－y≤0 D．x+y≤0 (1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽) 4．已知函數(shù)的反函數(shù)是，且，則（ ） A．　　 B． C． D． （2004年天津高中數(shù)學(xué)競賽題） 5．不等式1＋2x＜3x的解是_____________． (上海市2003年高中數(shù)學(xué)競賽) 6．已知x,y>10，xy=1000，

16、則（lgx)(lgy)的取值范圍是 。 (1999年第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽) 7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是 。 (四川省1993年高中數(shù)學(xué)競賽) 8．已知f(x)=1+logx5，g(x)=log9+log8，試比較f(x)與g(x)的值的大?。? (1981年上海市高中數(shù)學(xué)競賽) 9．設(shè)α，β分別是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求α+β和log2α+2β的值 ( 1998年第九屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽) 10．設(shè)對所有的實數(shù)x，不等式x2log2+2xlog2＋l

17、og2>0恒成立，求a的范圍． (1987年全國高考題) 11．設(shè)x、y、z為非負(fù)實數(shù)，且滿足方程4－68′2+256=0，求x+y+z的最大值與最小值的乘積。 （1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽） 12．設(shè)a=lgz+lg[x(yz)－1+1]，b=lgx－1+lg(xyz+1)，c=lgy+lg[(xyz)－1+1]，記a，b，c中的最大數(shù)為M，求M的最小值 (1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽） 本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答： 1．解：令log2x=t≥1，則>t－2．解得t∈[1，2)，所以x∈[2，4)。選C． 2．解：由lg (a + b) = lg a + lg b得a+b

18、=ab，即(a－1)(b－1)=1。由a－1>0，b－1>0，故lg(a－1)(b－1)=0。選C． 3．解：因為a是對數(shù)的底．故有a＞0，∴u＝2－ax是減函數(shù)。 ∵y＝loga（2－ax）是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知y＝logau是增函數(shù)，∴a＞1，∵0≤x≤1，∴0≤ax≤a，0≥－ax≥－a，2≥2－ax≥2－a，∵2－ax＞0，∴2－a＞0，∴a＜2，∴1＜a＜2．選B。 4．解：x=log32+log35=log310∈(2，3)。選D． 5．解：因為x∈(1，a)，故a>1．x

19、ax2．選B． 6．解：（方法一）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，原方程的解x應(yīng)滿足 當(dāng)⑴，⑵同時成立時，⑶顯然成立，因此只需解 由⑴得2kx=a(1+k2) ⑷ 當(dāng)k=0時，由a>0知⑷無解，因而原方程無解． 當(dāng)k≠0時，⑷的解是x= ． ⑸ 把⑸代入⑵，得 >k． 解得：－∞a)． ∴ k=(x－)=． 當(dāng)x<－a時，k單調(diào)增，故得k∈(－∞，－1)；當(dāng)x>a時，k單調(diào)減，得k∈(0

20、，1)． ∴ k∈(－∞，－1)∪(0，1)時原方程有解． 7．解：由題意知，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)． 且f(2)=1，f(－1)=f(1)=0． 因為f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，所以f(′2)=f()+f(2)=0， 即f()=－1，f(－)=1． 所以當(dāng)x<－1或01時，f(x)>0． 因為f(2x)=f(2)+f(x)=f(x)+1．即求log2|f(2x)|<0．即0<|f(2x)|<1， 所以0

21、． ∴ 解集為{x|－11時，f(1)=1。 所以t>1和t<1時，。 而t=1時，=1，此時。 經(jīng)檢驗，x=81是原方程的解。 習(xí)題”解答： 1．解：當(dāng)a>1時，loga<0<1，當(dāng)01，x≥2時，logax>0，所以logax≥1恒成

22、立，所以110，xy=1000得lgx+lgy=3，lgx>1，lgy>1。 記lgx=a(1

23、0，x+1>0． （1）若k<0，則－10，則x>0，得kx=(x+1)2，即x2+(2－k)x+1=0， △=(2－k)2－4． 若△=0，k>0，得k=4． 若△>0，即k>4，此時方程x2+(2－k)x+1=0有兩個正實根． 綜上可得k=4或k<0． 8．解：由題意知，x>0且x≠1，f(x)=logx5x，g(x)=logx3+logx2=logx6． 當(dāng)x>1時，若5x>6，即x>時，f(x)>g(x)，若5x<6，即1

24、即x=時，f(x)=g(x)； 當(dāng)0g(x)． ∴ 當(dāng)0時，f(x)>g(x)；當(dāng)1

25、x(1－m)+2(m－1)>0． 此不等式恒成立的條件為 即 解得所以0