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1、2.1.2 數(shù)列的遞推公式,觀察數(shù)列{an}，a1=2，a2=4，a3=8，a4=16， 即a1=2，從第2項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)是它前一項(xiàng)的2倍，因此該數(shù)列可以用如下方式給出：,a1=2， an=2an－1，(n=2，3，4，…),再如數(shù)列，由操作計(jì)算器給出：,a1=1， an=cos(an－1)，(n=2，3，4，…),如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式，遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。,數(shù)列的遞推公式,a1=a， an=f(an－1)，(n=2，3，4，…),,
2、例1．已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由公式 給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng).,解：a1=2，,,,,,例2. 已知直線l：y=x與曲線c： （如圖所示），過(guò)曲線c上橫坐標(biāo)為1的一點(diǎn)P1作x軸的平行線交l于Q2，過(guò)Q2作x軸的垂線交曲線c于P2，再過(guò)P2作x軸的平行線交l于Q3，過(guò)Q3作x軸的垂線交曲線c于P3，……，設(shè)點(diǎn)P1，P2，…，Pn，…的縱坐標(biāo)分別為a1，a2，…，an，…，試求數(shù)列{an}的遞推公式。,,,解：由題意，點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為a1= ，,點(diǎn)Qn+1與Pn的縱坐標(biāo)相同，都是an， 同時(shí)點(diǎn)Pn+1與Qn+1的橫坐標(biāo)相等，,,點(diǎn)Pn+1在曲線c：
3、 上，,,由橫坐標(biāo)得它的縱坐標(biāo)為,即,,這就是數(shù)列{an}的遞推公式。,,例3. 根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)及其遞推公式，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式： （1）a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+； （2）a1=1， , n∈N+；,解：（1）因?yàn)閍1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+； 所以， a2=1 ， a3=4， a4=9， a5=16 ， 歸納出它的通項(xiàng)公式是an=(n－1)2 。,（2）a1=1， , n∈N+；,,解:,,,,,歸納出它的通項(xiàng)公式是,,,,例4. 數(shù)列{an}中，a1=1，對(duì)于所有的n≥2且n∈N+，都有 （1）求a3+a5； （2） 是此數(shù)列中的項(xiàng)嗎？,解法1：（1）因?yàn)?,,,所以，兩式相除得 n≥2，n∈N+，,所以,,,,解法2：（1）因?yàn)? ，,,所以,,解得a2=4，,又,,解得,,同理可得,,,解：（2）令,,則,,解得n=16.,,所以 是此數(shù)列中的一項(xiàng)。,（2） 是此數(shù)列中的項(xiàng)嗎？,,,,
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