第八章 第六節(jié)拋物線 - 副本

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1、 第六節(jié)拋物線 A類：必記的內(nèi)容 1. 拋物線的定義 滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線： (1) 在平面內(nèi)； (2) 動點到定點尸距離與到定直線l的距離相等; (3) 定點不在定直線上. 2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px(p>0) y2=—2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=—2py(p>0) p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 $ 末 頂點 0(0,0) 對稱軸 y=0 x=0 隹點 八、、八、、 F(p, 0) F(— 2，0) F(0, p) F(0,—p) 離心率 e=1

2、準(zhǔn)線方程 —p x=—2 x= p x 2 —p y=—2 _p y=2 范圍 x30, y￡R xW0, y￡R y30, x￡R yW0, x￡R 開口方向 向右 向左 向上 向下 焦半徑(其中 P(x0，y0) pFf+2 |PF|=—^0+2 |PF|=y0+p |PF|=—y0+p B類：必須明確的兩個易錯點 1. 拋物線的定義中易忽視“定點不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點在定直線上時，動 點的軌跡是過定點且與直線垂直的直線. 2. 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p易忽視只有p>0,才能證明其幾何意義是焦點F到準(zhǔn)線l 的距離，否則無幾何意義.

3、 ［試一試］ 1. 拋物線y2=8x的焦點到準(zhǔn)線的距離是() A.1 B.2 C. 4 D. 8 2. 動圓過點(1,0),且與直線x= —1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為 C類：必會的兩種方法 1. 轉(zhuǎn)化思想在定義中應(yīng)用 拋物線上點到焦點距離常用定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離. 2. 與焦點弦有關(guān)的常用結(jié)論 (以下圖為依據(jù)) p2 ⑴y1y2=—p2，X1X2= 4" (2)|AB|=X］+x2+p=有伊為AB的傾斜角). ⑶點+點為定值5 (4) 以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. ⑸以AF或BF為直徑的圓與y軸相切. ［練一練］ 1.若拋物線蔡=仲過點

4、A(1, 9,則點A到此拋物線的焦點的距離為. 2.已知過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A, B兩點，O是坐標(biāo)原點，IAFI =2,則IBFI=，△OAB 的面積是 . D類：命題角度分析 考點一 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) x2 y2 1.(2013-天津高考)已知雙曲線a—》2= 1(?！?，b〉0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p >0)的準(zhǔn)線分別交于A, B兩點,0為坐標(biāo)原點.若雙曲線的離心率為2, △ AOB的面積為右, 則 p =() 3 A. 1 B.2 乙 C.2 D.3 2. (2013?新課標(biāo)卷II)設(shè)拋物線C： y2=2px(p

5、>0)的焦點為尸，點M在C上，\MF\ = 5. 若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為() A. y2=4x 或 y2=8x C. y2=4x 或 y2=16x B. y2=2x 或 y2=8x D. y2=2x 或 y2 = 16x 3. 從拋物線x2=4y上一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,且\PMI = 5,設(shè)拋物線 的焦點為F,則^MPF的面積為. ［類題通法］ 1. 涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂 點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性. 2. 求拋物線方程應(yīng)注意的問題

6、 (1) 當(dāng)坐標(biāo)系已建立時，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種； (2) 要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應(yīng)關(guān)系； (3) 要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離，利用它的幾何意義來解決問題. 考點二 拋物線的定義應(yīng)用 與拋物線定義相關(guān)的最值問題常涉及距離最短、距離和最小等等.歸納起來常見的 命題角度有： (1) 動弦中點到坐標(biāo)軸距離最短問題； (2) 距離之和最小問題； (3) 焦點弦中距離之和最小問題. 角度一動弦中點到坐標(biāo)軸距離最短問題 1. (2013?鄭州質(zhì)檢)已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x

7、軸 的最短距離為() a? b^ A.4 2 C．1 D．2 角度二距離之和最小問題 2. (2014-哈爾濱四校統(tǒng)考)已知拋物線方程為y 求p的取值范圍； 如果在x軸上只有一個點M，使MALMB，求 p的值及M的坐標(biāo). =4x，直線l的方程為x—y+5 = 0,在 拋物線上有一動點P 到 y軸的距離為",到直線l的距離為d2,則d1+d2的最小值為. 角度三焦點弦中距離之和最小問題 3. 已知拋物線y2=4x，過焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，過A、B分別作y 軸垂線，垂足分別為C、Q,則AC\ + \BD\的最小值為. ［類題通法］ 與拋物線有關(guān)的最值問題的解

8、題策略 該類問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的 轉(zhuǎn)化. (1)將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最 短”，使問題得解. (2 )將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點的連線 中垂線段最短”原理解決. 考點三 直線與拋物線的位置關(guān)系A(chǔ)師生共研型 ［典例］(2014?福州質(zhì)檢)已知曲線y2 = 2px(p>0)在第一象限內(nèi)與圓x2+y2 —4x+1=0交 于不同的兩點A，B. ［類題通法］ 求解直線與拋物線位置關(guān)系問題的方法 在解決直線與拋物線位置關(guān)系的問題時，其方法類似

9、于直線與橢圓的位置關(guān)系.在解決 此類問題時，除考慮代數(shù)法外，還應(yīng)借助平面幾何的知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解. ［針對訓(xùn)練］ 已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點，斜率為2^2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2, y2)(%

10、2. (2013福建模擬)設(shè)拋物線y2=6x的焦點為尸，準(zhǔn)線為1，P為拋物線上一點，PALI， 垂足為A，如果^AP尸為正三角形，那么IP日等于( ) Hope Education-High School Math A. 4也 B. 6-：B C. 6 D. 12 3. （2013-鄭州質(zhì)檢）過拋物線y2=8x的焦點F作傾斜角為135。的直線交拋物線于A, B 兩點，則弦AB的長為（） A. 4 B. 8 C.12 D.16 4. （2014-遼寧五校聯(lián)考）設(shè)拋物線x2=12y的焦點為F,經(jīng)過點P（2,1）的直線l與拋物線 相交于A, B兩點，又知點P恰為AB的中點，^0AFI

11、 + IBFI=. 5. （2014-廈門模擬）如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在 坐標(biāo)原點，點P（1,2），A（x1，y1），B（x2, y2）均在拋物線上. （1） 寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程； （2） 當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1+y2的值及直線 AB的斜率. ［課下提升考能］ 第I卷：夯基保分卷 1. （2013-沈陽模擬）拋物線x2=|y的焦點F到其準(zhǔn)線l的距離是（ A.2 B.1 c.2 1 d.4 2.已知拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線與曲線x2+y2—6x —7 = 0相切， 則p的值為（ A.2 B.1

12、 ― W/歧赦上， C1 D1 C.2 4 3. 已知拋物線y2=2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A, B兩點，若 線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為() A. x^~ 1 B. x^~ 1 C. x=2 D. x=—2 X2 y2 4. (2014-北京東城區(qū)期末)已知拋物線y2=2px的焦點F與雙曲線了一；

13、=1的右焦點重 合，拋物線的準(zhǔn)線與X軸的交點為"，點A在拋物線上，且axi = V2afi，則AAFK的面積 為( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. (2014?武漢調(diào)研)已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為F(1,0)，直線l與拋物線C 相交于A，B兩點.若AB的中點的坐標(biāo)為(2,2)，則直線l的方程為. 6. (2013?江西高考)拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線|一號=1相交于 A，B兩點，若MBF為等邊三角形，則p=. 7. 已知拋物線C： x2=4y的焦點為F，過點敬0，—1)的直線l與C相交于A，B兩點， 點A關(guān)于y軸的對稱點

14、為D. (1) 證明：點F在直線BD上； 8 (2) 設(shè)FA ? FB =9，求—DBK的平分線與y軸的交點坐標(biāo). 8. 已知過點A(-4,0)的動直線l與拋物線G： x2=2py(p>0)相交于B, C兩點.當(dāng)直 線l的斜率是2時，AC =4 AB . (1) 求拋物線G的方程; (2) 設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為》，求b的取值范圍. 第II卷：提能增分卷 1. (2014?淄博模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2=4x相交于不同的A, B兩點. (1) 如果直線l過拋物線的焦點，求OA ? OB的值； (2) 如果OA ? OB = -4，

15、證明直線l必過一定點，并求出該定點. 2，點p在 當(dāng)M運動 2. (2014-珠海模擬)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，設(shè)點F& 0)直線l： x=- 直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQLFP, PQLl. (1) 求動點Q的軌跡方程G (2) 設(shè)圓M過4(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦， 時，弦長|TS|是否為定值？請說明理由. 3. (2014-長春三校調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，點^2,—?),點F為拋物線C：y=mx2(m >0)的焦點，線段MF恰被拋物線C平分. (1) 求m的值； (2) 過點M作直線l交拋物線C于A, B兩點，設(shè)直線FA, FM, FB的斜率分別為k,, k2, k3,問k, k2, k3能否成公差不為零的等差數(shù)列？若能，求直線l的方程；若不能，請 說明理由.