大一高等數(shù)學(xué) 第一章第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限【教學(xué)內(nèi)容】

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1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 及夾逼準(zhǔn)則及夾逼準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限 第一章 1優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理定理1.Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定義,),(0nxxnAxfnn)(lim為確定起見,僅討論的情形.0 xx 有)(nxfxnx2優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.Axfxx)(lim0:nx)(,0nnxfxx 有

2、定義,)(0nxxn且設(shè),)(lim0Axfxx即,0,0當(dāng),00時(shí)xx有.)(Axf:nx)(,0nnxfxx 有定義,且,)(0nxxn對(duì)上述 ,Nn 時(shí),有,00 xxn于是當(dāng)Nn 時(shí).)(Axfn故Axfnn)(lim可用反證法證明.(略).)(limAxfnn有證：證：當(dāng) xyA,N“”“”0 xO3優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.Axfxx)(lim0:nx)(,0nnxfxx 有定義,)(0nxxn且.)(limAxfnn有說明說明:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法法1 找一個(gè)數(shù)列:nx,0 xxn,)(0nxxn且不存在.)(limnnxf使法法2 找兩個(gè)趨

3、于0 x的不同數(shù)列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx4優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.證明xx1sinlim0不存在.證證:取兩個(gè)趨于 0 的數(shù)列21nxn及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在.),2,1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn5優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則定理定理2.,),(0時(shí)當(dāng)xUxAxhxgxxxx)(lim)(lim00,)()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0(Xx)(x)(x)(x且(

4、利用定理1及數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則可證)6優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1sincosxxx圓扇形AOB的面積二、二、兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 1sinlim.10 xxx證證:當(dāng)即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，)0(2 x,1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積xxxcos1sin1故有注注注 OBAx1DC7優(yōu)學(xué)課堂注注當(dāng)20 x時(shí)xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx8優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.求.tanlim0 xxx解解:xxxtanli

5、m0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3.求.arcsinlim0 xxx解解:令,arcsin xt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin19優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20sinlimx2x2x21nnnR2cossinlimRn例例4.求.cos1lim20 xxx解解:原式=2220sin2limxxx212121例例5.已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為證明:.lim2RAnn證證:nnAlimnnnnRnA2cossin2 R說明說明:計(jì)算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx10優(yōu)學(xué)課堂目錄

6、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.e)1(lim1xxx證證:當(dāng)0 x時(shí),設(shè),1nxn則xx)1(111)1(nnnn)1(11nnn)1(lim11 limn111)1(nn111ne11)1(limnnn1)1(lim11）（nnnnee)1(lim1xxx(P5354)11優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)x,)1(tx則,t從而有xxx)1(lim1)1(11)1(limttt)1(1)(limtttt11)1(limttt)1()1(lim11tttte故e)1(lim1xxx說明說明:此極限也可寫為e)1(lim10zzz時(shí),令12優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.求

7、.)1(lim1xxx解解:令,xt則xxx)1(lim1ttt)1(lim1 1limttt)1(1e1說明說明：若利用,e)1(lim)()(1)(xxx則 原式111e)1(limxxx13優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 limx例例7.求.)cos(sinlim11xxxx解解:原式=2)cos(sinlim211xxxx2)sin1(lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin114優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用(1)利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在(2)數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則法法1 找一個(gè)數(shù)列:nx,

8、0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找兩個(gè)趨于0 xnx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在.函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則15優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.兩個(gè)重要極限1sinlim)1(0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注:代表相同的表達(dá)式16優(yōu)學(xué)課堂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)填空題填空題 (14);_sinlim.1xxx;_1sinlim.2xxx;_1sinlim.30 xxx;_)11(lim.4nnn0101e 作業(yè)作業(yè) P56 1 (4)，(5)，(6);2 (2)，(3)，(4);4 (4),(5)第七節(jié) 17優(yōu)學(xué)課堂