圓軸的扭轉(zhuǎn)【重要課資】

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1、第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)第一節(jié)第一節(jié) 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 一、扭轉(zhuǎn)的概念和實例一、扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)：是桿的又一種基本變形是桿的又一種基本變形形式。其形式。其受力特點受力特點是：構(gòu)件兩是：構(gòu)件兩端受到兩個作用面與桿的軸線端受到兩個作用面與桿的軸線垂直的、大小相等的、轉(zhuǎn)向相垂直的、大小相等的、轉(zhuǎn)向相反的力偶矩作用，使桿件的橫反的力偶矩作用，使桿件的橫截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角：任意任意兩橫截面間的相兩橫截面間的相對角位移對角位移。軸軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如鉆探機的：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如鉆探機的鉆桿，電動機的主軸及

2、機器的傳動軸等。鉆桿，電動機的主軸及機器的傳動軸等。MM OBA ABO第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn) 二、外力偶矩的計算二、外力偶矩的計算 M 作用在軸上的外力偶矩，單位為牛頓作用在軸上的外力偶矩，單位為牛頓米（米（N）P 為軸所傳遞的功率，單位為千瓦（為軸所傳遞的功率，單位為千瓦（kW）n 軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/分（分（r/min）nPM9550nPM7030當傳遞的功率當傳遞的功率P 的單位為的單位為PS（馬力馬力，1PS=735.5W）時，上式變?yōu)椋簳r，上式變?yōu)椋旱诹碌诹?圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn) 一、扭矩一、扭矩取取左左分析：分析

3、：niixM10同理取同理取右右段分析可得：段分析可得：扭矩扭矩：如圖所示為一根：如圖所示為一根圓軸在一對圓軸在一對大小相等大小相等、轉(zhuǎn)向相反轉(zhuǎn)向相反的的外外力偶矩作力偶矩作用下產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，其用下產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，其力偶矩稱為扭矩。力偶矩稱為扭矩。0MTMT 第二節(jié)第二節(jié) 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖左左右右MT 得得第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn) 二、符號規(guī)定二、符號規(guī)定右手螺旋法則右手螺旋法則：用右手四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，若拇：用右手四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，若拇指的指向指的指向離開截面離開截面時，規(guī)定扭矩為時，規(guī)定扭矩為正正，如圖，如圖a所示；所示；若拇指若拇指指向截面指向截面時，則扭矩為時，則扭

4、矩為負負，如圖，如圖b所示。所示。（a）（b）第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn) 三、扭矩圖三、扭矩圖 假截留半；假截留半；內(nèi)力代換；內(nèi)力代換；內(nèi)外平衡。內(nèi)外平衡。截面法求扭矩截面法求扭矩的一般步驟的一般步驟當軸上同時有當軸上同時有幾個幾個外力偶矩作用時，一般而言，各外力偶矩作用時，一般而言，各段截面上的扭矩是不同的，必須用段截面上的扭矩是不同的，必須用截面法截面法分段求出分段求出。扭矩圖扭矩圖：為了直觀地表示沿軸線各橫截面上扭矩的為了直觀地表示沿軸線各橫截面上扭矩的變化規(guī)律，取平行于軸線的橫坐標表示橫截面的位變化規(guī)律，取平行于軸線的橫坐標表示橫截面的位置，用縱坐標表示扭矩的代數(shù)值，畫出各截面

5、扭矩置，用縱坐標表示扭矩的代數(shù)值，畫出各截面扭矩的變化圖的變化圖。第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn) 例例6-1 求如圖所示傳動軸求如圖所示傳動軸1-1截面和截面和2-2截面的扭矩，截面的扭矩，并畫扭矩圖。并畫扭矩圖。解：解：用截面法求扭矩用截面法求扭矩1）?。┤?-1截面左側(cè)截面左側(cè)mkN8.1 11MT2）?。┤?-2截面右側(cè)截面右側(cè) mkN2.1 C22MT3）作出扭矩圖如圖。）作出扭矩圖如圖。1.2kN m1.8kN m=1.8kN m=3kN m=1.2kN m1122第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)扭矩圖的簡捷畫法扭矩圖的簡捷畫法 在外力偶矩作用處的截面上，扭矩發(fā)生突變，突變在外

6、力偶矩作用處的截面上，扭矩發(fā)生突變，突變量等于外力偶矩的數(shù)值。利用這一量等于外力偶矩的數(shù)值。利用這一突變特性突變特性，可較，可較快地畫出扭矩圖?？斓禺嫵雠ぞ貓D。當軸上有當軸上有多個多個外力偶矩作用時，愈顯示出這種方法外力偶矩作用時，愈顯示出這種方法的快捷簡便。的快捷簡便。第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)一、變形的幾何關(guān)系一、變形的幾何關(guān)系 觀測結(jié)果觀測結(jié)果：1）圓周線的形狀和大小不變，兩相鄰圓周線的間距）圓周線的形狀和大小不變，兩相鄰圓周線的間距保持不變，保持不變，僅僅繞軸線作相對繞軸線作相對轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。2）縱向線均傾斜了一個角度）縱向線均傾斜了一個角度。第三節(jié)第三節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)

7、時的應(yīng)力試驗觀測試驗觀測：取一易變形的：取一易變形的圓形截面直桿，在此圓軸圓形截面直桿，在此圓軸的表面各畫幾條相平行的的表面各畫幾條相平行的圓周線和縱向線；在軸的圓周線和縱向線；在軸的兩端施加一對力偶矩兩端施加一對力偶矩 M 使使其產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。其產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)xRKAAAddtanxLBBBddtand/dx=/R，所以在同一橫截面上，所以在同一橫截面上d/dx是一個常數(shù)，是一個常數(shù)，因此各點的切應(yīng)變因此各點的切應(yīng)變 與該點到圓心的距離與該點到圓心的距離 成成正比正比。平面截面假設(shè)平面截面假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，橫截面仍保持為：圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，橫截面仍保持為平

8、面，且其形狀大小不變，橫截面上的半徑仍保持平面，且其形狀大小不變，橫截面上的半徑仍保持為直線，即橫截面剛性地繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。為直線，即橫截面剛性地繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力關(guān)系的應(yīng)力關(guān)系BAKABL第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)二、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系二、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 剪切胡克定律剪切胡克定律 G各點的切應(yīng)力各點的切應(yīng)力xGGdd三、靜力學(xué)關(guān)系三、靜力學(xué)關(guān)系 ATAdAxGAxGAAdddddd22RdAdA 取取dA為距截面中心為距截面中心 處的微面積，則處的微面積，則 dA為作為作用在微面積上的力用在微面積上的力 dA對截面中心之距，整個橫截面對截面中心之距

9、，整個橫截面上這些力矩的合成結(jié)果應(yīng)等于扭矩上這些力矩的合成結(jié)果應(yīng)等于扭矩T：橫截面積橫截面積第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)極慣性矩極慣性矩dAIA2PxGITddP則得：則得：PITPITRmaxPmaxWTAxGTAddd2xGdd物理關(guān)系式物理關(guān)系式比較比較等直圓軸等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點處切應(yīng)力的計算公式任一點處切應(yīng)力的計算公式切應(yīng)力最大值切應(yīng)力最大值：令令 稱為稱為抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)RIW/PP第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn) 實心圓截面實心圓截面AIAd2P令內(nèi)外徑比為令內(nèi)外徑比為 =d/D，則有：，則有：)1(3244D)1(1643DWPDdO圓柱的

10、極慣性矩圓柱的極慣性矩 空心圓截面空心圓截面202d2d324d2/2/2pd2DdI163DWP第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)一、變形的幾何關(guān)系一、變形的幾何關(guān)系 觀測結(jié)果觀測結(jié)果：1）圓周線的形狀和大小不變，兩相鄰圓周線的間距）圓周線的形狀和大小不變，兩相鄰圓周線的間距保持不變，保持不變，僅僅繞軸線作相對繞軸線作相對轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。2）縱向線均傾斜了一個角度）縱向線均傾斜了一個角度。第三節(jié)第三節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力試驗觀測試驗觀測：取一易變形的：取一易變形的圓形截面直桿，在此圓軸圓形截面直桿，在此圓軸的表面各畫幾條相平行的的表面各畫幾條相平行的圓周線和縱向線；在軸的圓周線和縱向

11、線；在軸的兩端施加一對力偶矩兩端施加一對力偶矩 M 使使其產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。其產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)xRKAAAddtanxLBBBddtand/dx=/R，所以在同一橫截面上，所以在同一橫截面上d/dx是一個常數(shù)，是一個常數(shù)，因此各點的切應(yīng)變因此各點的切應(yīng)變 與該點到圓心的距離與該點到圓心的距離 成成正比正比。平面截面假設(shè)平面截面假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，橫截面仍保持為：圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，橫截面仍保持為平面，且其形狀大小不變，橫截面上的半徑仍保持平面，且其形狀大小不變，橫截面上的半徑仍保持為直線，即橫截面剛性地繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。為直線，即橫截面剛性地繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。圓軸扭轉(zhuǎn)

12、時橫截面上圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力關(guān)系的應(yīng)力關(guān)系BAKABL第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)二、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系二、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 剪切胡克定律剪切胡克定律 G各點的切應(yīng)力各點的切應(yīng)力xGGdd三、靜力學(xué)關(guān)系三、靜力學(xué)關(guān)系 ATAdAxGAxGAAdddddd22RdAdA 取取dA為距截面中心為距截面中心 處的微面積，則處的微面積，則 dA為作為作用在微面積上的力用在微面積上的力 dA對截面中心之距，整個橫截面對截面中心之距，整個橫截面上這些力矩的合成結(jié)果應(yīng)等于扭矩上這些力矩的合成結(jié)果應(yīng)等于扭矩T：橫截面積橫截面積第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)極慣性矩極慣性矩dAIA2PxGITddP則得：

13、則得：PITPITRmaxPmaxWTAxGTAddd2xGdd物理關(guān)系式物理關(guān)系式比較比較等直圓軸等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點處切應(yīng)力的計算公式任一點處切應(yīng)力的計算公式切應(yīng)力最大值切應(yīng)力最大值：令令 稱為稱為抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)RIW/PP第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn) 實心圓截面實心圓截面AIAd2P令內(nèi)外徑比為令內(nèi)外徑比為 =d/D，則有：，則有：)1(3244D)1(1643DWPDdO圓柱的極慣性矩圓柱的極慣性矩 空心圓截面空心圓截面202d2d324d2/2/2pd2DdI163DWP第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)第四節(jié)第四節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算圓軸扭轉(zhuǎn)

14、時的強度計算一、強度條件一、強度條件扭轉(zhuǎn)強度條件同樣可以用來解決扭轉(zhuǎn)強度條件同樣可以用來解決三類問題三類問題：maxPWT圓軸扭轉(zhuǎn)時圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件的強度條件設(shè)計截面尺寸設(shè)計截面尺寸強度校核強度校核確定許用載荷確定許用載荷第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn) 例例6-2 如圖所示為階梯形圓軸，其中實心如圖所示為階梯形圓軸，其中實心AB段直段直徑徑d1=40mm；BD段為空心部分，外徑段為空心部分，外徑D=55mm，內(nèi)，內(nèi)徑徑 d=45mm。軸上。軸上A、D、C處為皮帶輪，已知主動處為皮帶輪，已知主動輪輪C輸入的外力偶矩為輸入的外力偶矩為MC=1.8kN，從動輪，從動輪A、D傳遞的外力偶矩分別

15、為傳遞的外力偶矩分別為MA=0.8kNm，MD=1kNm，材料的許用切應(yīng)力材料的許用切應(yīng)力 =80MPa。試校核該軸的強度。試校核該軸的強度。解：解：1）畫扭矩圖：）畫扭矩圖：用截面法（或簡捷方法）用截面法（或簡捷方法）可作出該階梯形圓軸的可作出該階梯形圓軸的扭矩圖如圖所示。扭矩圖如圖所示。1.0kN m0.8kN m第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)2）強度校核強度校核：由于兩段軸的截面面積和扭矩值不：由于兩段軸的截面面積和扭矩值不 同，故要同，故要分別分別進行強度進行強度校核校核。AB段：段：a7.63)1040(16108.033PmaxWTCD段：軸的內(nèi)外徑之比段：軸的內(nèi)外徑之比 81

16、8.05545Dda4333PmaxP)818.01()1055(16101WTMPa5.55故：此階梯形圓軸滿足強度條件。故：此階梯形圓軸滿足強度條件。第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)第五節(jié)第五節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算一、扭轉(zhuǎn)變形一、扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角：圓軸扭轉(zhuǎn)時，兩橫截圓軸扭轉(zhuǎn)時，兩橫截面相對轉(zhuǎn)過的角度稱為這兩截面相對轉(zhuǎn)過的角度稱為這兩截面的相對扭轉(zhuǎn)角。面的相對扭轉(zhuǎn)角?？古偠瓤古偠龋菏街械模菏街械?GIP 稱為圓軸的抗扭剛度，它反稱為圓軸的抗扭剛度，它反映了圓軸映了圓軸抵抗抵抗扭轉(zhuǎn)變形的扭轉(zhuǎn)變形的能力能力。MM OBA llxGITddP若在圓軸的若

17、在圓軸的l長度內(nèi)，長度內(nèi)，T、G、IP 均為均為常數(shù)常數(shù)，則圓軸兩端截面的則圓軸兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角為：為：PGITl第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn) 工程上工程上 的單位通常用度的單位通常用度/米（米（/m），由于），由于1弧度弧度=180/，故上述剛度條件又可寫成，故上述剛度條件又可寫成PGITl單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角PGIT剛度條件剛度條件180PGIT剛度條件剛度條件第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)單位長度許用扭轉(zhuǎn)角單位長度許用扭轉(zhuǎn)角 的的大致取值大致取值如下：如下：180PGIT剛度條件剛度條件說說 明明 精密機器、儀器的軸：精密機器、儀器的軸：=/m（0.250

18、.50）精度要求不高的傳動軸：精度要求不高的傳動軸：=/m（2.04.0）一般傳動軸：一般傳動軸：=/m （0.51.0）第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn) 例例6-3 傳動軸如圖所示，已知軸的直徑傳動軸如圖所示，已知軸的直徑d=45mm，轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n=300r/min。主動輪。主動輪A輸入的功率輸入的功率PA=36.7KW；從動輪從動輪B、C、D輸出的功率分別為輸出的功率分別為PB=14.7KW，PC=PD=11KW。軸材料的剪切彈性模量。軸材料的剪切彈性模量G=80GPa，許用切，許用切應(yīng)力應(yīng)力 =40MPa，單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角，單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角 =1.5/m，試校核軸的強度和剛度。試

19、校核軸的強度和剛度。解：解：1）計算外力偶矩計算外力偶矩 mN1168 9550AAnPMmN350 mN468DCBMMM同理同理第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)2）繪制扭矩圖）繪制扭矩圖 用截面法求用截面法求1-1截面的扭矩截面的扭矩 mN468B1MT2-2截面的扭矩截面的扭矩AB2MMT3-3截面的扭矩截面的扭矩 mN350C3 MT 繪出的扭矩圖如圖所示。顯然繪出的扭矩圖如圖所示。顯然AC段段扭矩扭矩最大最大，由于是等截面圓軸，故危險截面在由于是等截面圓軸，故危險截面在AC段內(nèi)。段內(nèi)。mN7001168468112233700N m350N m468N mB AC D第六章第六章

20、圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn)3）強度校核強度校核 a93PmaxP104516700WT4）剛度校核剛度校核）（m/180104510803270018001249pmaxmaxGIT因軸同時滿足剛度條件，所以傳動軸是因軸同時滿足剛度條件，所以傳動軸是安全安全的。的。a4.38a40軸滿足軸滿足強度條件強度條件m23.1m5.1第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn) 例例6-4 若將前題中的圓軸改為同樣強度的若將前題中的圓軸改為同樣強度的空心空心圓軸，其內(nèi)外徑之比圓軸，其內(nèi)外徑之比 =d/D=0.7，試設(shè)計其內(nèi)外徑，試設(shè)計其內(nèi)外徑尺寸，并與前題所消耗材料作一尺寸，并與前題所消耗材料作一比較比較。解：解：要

21、求與前題之軸具有同樣強度，即要求該空心要求與前題之軸具有同樣強度，即要求該空心圓軸工作時的最大切應(yīng)力與實心圓軸的最大切應(yīng)力圓軸工作時的最大切應(yīng)力與實心圓軸的最大切應(yīng)力相同：相同：max38.4MPa，即有，即有 PWTmaxMPa4.38)1(1670043Dmm49m049.0m104.38)7.01(16700364Dmm34497.0Dd第六章第六章 圓軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的扭轉(zhuǎn) 二者所費材料比就是橫截面積之比二者所費材料比就是橫截面積之比 61.020251245454)(4222dDAA實實空空 可見空心圓軸所用材料只占實心軸所用材料可見空心圓軸所用材料只占實心軸所用材料的的61%，節(jié)約了材料節(jié)約了材料。