江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽《提優(yōu)教程》教案第14講染色問(wèn)題

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1、 第14講 染色問(wèn)題 本節(jié)主要講述用染色的方法解有關(guān)的競(jìng)賽題．染色，是一種輔助解題的手段，通過(guò)染色，把研究對(duì)象分類標(biāo)記，以便直觀形象地解決問(wèn)題，因此染色就是分類的思想的具體化，例如染成兩種顏色，就可以看成是奇偶分析的一種表現(xiàn)形式．染色，也是構(gòu)造抽屜的一個(gè)重要方法，利用染色分類，從而構(gòu)造出抽屜，用抽屜原理來(lái)解題． A類例題 例1⑴ 有一個(gè)6×6的棋盤，剪去其左上角和右下角各一個(gè)小格(邊長(zhǎng)為1)后，剩下的圖形能不能剪成17個(gè)1×2的小矩形？ ⑵ 剪去國(guó)際象棋棋盤左上角2×2的正方形后，能不能用15個(gè)由四個(gè)格子組成的L形完全覆蓋？ 例1(2) 例1(！)

2、 分析 把棋盤的格子用染色分成兩類，由此說(shuō)明留下的圖形不能滿足題目的要求． 證明 ⑴如圖，把6×6棋盤相間染成黑、白二色，使相鄰兩格染色不同．則剪去的兩格同色．但每個(gè)1×2小矩形都由一個(gè)白格一個(gè)黑格組成，故不可能把剩下的圖形剪成17個(gè)1×2矩形． ⑵如圖，把8×8方格按列染色，第1，3，5，7列染黑，第2、4、6、8列染白．這樣染色，其中黑格有偶數(shù)個(gè)．由于每個(gè)L形蓋住三黑一白或三白一黑，故15個(gè)L形一定蓋住奇數(shù)個(gè)黑格，故不可能． 說(shuō)明 用不同的染色方法解決不同的問(wèn)題． 例2 用若干個(gè)由四個(gè)單位正方形組成的“L”形紙片無(wú)重疊地拼成一個(gè)m′n的矩形，則m

3、n必是8的倍數(shù)． 分析 易證mn是4的倍數(shù)，再用染色法證mn是8的倍數(shù)． 證明：每個(gè)L形有4個(gè)方格，故4|mn．于是m、n中至少有一個(gè)為偶數(shù)．設(shè)列數(shù)n為偶數(shù)，則按奇數(shù)列染紅，偶數(shù)列染藍(lán)．于是紅格與藍(lán)格各有mn個(gè)，而mn是偶數(shù)．每個(gè)L形或蓋住3紅1藍(lán)，或蓋住1紅3藍(lán)，設(shè)前者有p個(gè)，后者有q個(gè)． 于是紅格共蓋住3p+q個(gè)即p+q為偶數(shù)，即有偶數(shù)個(gè)L形．設(shè)有2k個(gè)L形．于是mn=2k×4=8k．故證． 說(shuō)明 奇偶分析與染色聯(lián)合運(yùn)用解決本題． 情景再現(xiàn) 1．下面是俄羅斯方塊的七個(gè)圖形： 請(qǐng)你用它們拼出(A)圖，再用它們拼出(B)圖(每塊只能用一次，并且不準(zhǔn)翻過(guò)來(lái)用)．如果能拼出來(lái)，就

4、在圖形上畫(huà)出拼法，并寫(xiě)明七個(gè)圖形的編號(hào)；如果不能拼出來(lái)，就說(shuō)明理由． 2．能否用圖中各種形狀的紙片（不能剪開(kāi)）拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為75的正方形？（圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都為1）請(qǐng)說(shuō)明理由． B類例題 例3 ⑴ 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色．證明：一定存在無(wú)窮條長(zhǎng)為1的線段，這些線段的端點(diǎn)為同一顏色． ⑵ 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色．證明：存在同色的三點(diǎn)，且其中一點(diǎn)為另兩點(diǎn)中點(diǎn)． 分析 任意染色而又要求出現(xiàn)具有某種性質(zhì)的圖形，這是染色問(wèn)題常見(jiàn)的題型，常用抽屜原理或設(shè)置兩難命題的方法解． 證明

5、⑴取邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)中必有兩個(gè)頂點(diǎn)同色．同色兩頂點(diǎn)連成線段即為一條滿足要求的線段，由于邊長(zhǎng)為1的等邊三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，故滿足要求的線段有無(wú)數(shù)條． ⑵ 取同色兩點(diǎn)A、B，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C，使BC=AB，再延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使AD=AB，若C、D中有一點(diǎn)為紅色，例如點(diǎn)C為紅色，則點(diǎn)B為AC中點(diǎn)．則命題成立．否則，C、D全藍(lán)，考慮AB中點(diǎn)M，它也是CD中點(diǎn)．故無(wú)論M染紅還是藍(lán)，均得證． 說(shuō)明 ⑴中，兩種顏色就是兩個(gè)“抽屜”，三個(gè)點(diǎn)就是三個(gè)“蘋(píng)果”，于是根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)點(diǎn)落入同一抽屜． ⑵中，這里實(shí)際上構(gòu)造了一個(gè)兩難命題：非此即彼，二者必居其一．讓同一點(diǎn)既是某兩個(gè)紅點(diǎn)的中點(diǎn)，又是

6、兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)的中點(diǎn)，從而陷入兩難選擇的境地，于是滿足條件的圖形必然存在．達(dá)到證明的目的． 例4 ⑴ 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色．證明：一定可以找到無(wú)窮多個(gè)頂點(diǎn)為為同一種顏色的等腰三角形． ⑵ 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色．證明：一定可以找到無(wú)窮多個(gè)頂點(diǎn)為為同一種顏色的等腰直角三角形． 分析 ⑴同樣可以設(shè)置兩難命題：由于等腰三角形的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，故先選兩個(gè)同色點(diǎn)連成底邊，再在連線的垂直平分線上找同色的點(diǎn)，這是解法1的思路．利用圓的半徑相等來(lái)構(gòu)造等腰三角形的兩腰，這是解法2的思路．利用抽屜原理，任5個(gè)點(diǎn)中必有三點(diǎn)同色，只要這5點(diǎn)中任三點(diǎn)都是一個(gè)等腰三

7、角形的頂點(diǎn)即可，而正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)中任三個(gè)都是等腰三角形的頂點(diǎn)，這是解法3的思路． ⑵連正方形的對(duì)角線即得到兩個(gè)等腰直角三角形，所以從正方形入手解決相題第2問(wèn)． ⑴ 證明1 任取兩個(gè)同色點(diǎn)A、B(設(shè)同紅)，作AB的垂直平分線MN，若MN上(除與AB交點(diǎn)外)有紅色點(diǎn)，則有紅色三角形，若無(wú)紅色點(diǎn)，則MN上至多一個(gè)紅點(diǎn)其余均藍(lán)，取關(guān)于AB對(duì)稱的兩點(diǎn)C、D，均藍(lán)．則若AB上有(除交點(diǎn)外)藍(lán)點(diǎn)，則有藍(lán)色三角形，若無(wú)藍(lán)點(diǎn)，則在矩形EFGH內(nèi)任取一點(diǎn)K(不在邊上)若K為藍(lán)，則可在CD上取兩點(diǎn)與之構(gòu)成藍(lán)色三角形，若K為紅，則可在AB上找到兩點(diǎn)與之構(gòu)成紅色三角形． 證明2 任取一紅點(diǎn)O，以O(shè)為圓心任作一

8、圓，若此圓上有不是同一直徑端點(diǎn)的兩個(gè)紅點(diǎn)A、B，則出現(xiàn)紅色頂點(diǎn)等腰三角形OAB，若圓上只有一個(gè)紅點(diǎn)或只有同一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)是紅點(diǎn)，則圓上有無(wú)數(shù)藍(lán)點(diǎn)，取兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)(不關(guān)于紅點(diǎn)為端點(diǎn)的直徑對(duì)稱)C、D，于是CD的垂直平分線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)E、F為藍(lán)點(diǎn)，于是存在藍(lán)色頂點(diǎn)的等腰三角形CDE． 證明3 取一個(gè)正五邊形ABCDE，根據(jù)抽屜原理，它的5個(gè)頂點(diǎn)中，必有三個(gè)頂點(diǎn)(例如A、B、C)同色，則△ABC即為等腰三角形． ⑵證明 任取兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)A、B，以AB為一邊作正方形ABCD，若C、D有一為藍(lán)色，則出現(xiàn)藍(lán)色三角形．若C、D均紅，則對(duì)角線交點(diǎn)E或紅或藍(lán)， 出現(xiàn)紅色或藍(lán)色等腰直角三角形．顯然按此作法可以得到

9、無(wú)數(shù)個(gè)等腰直角三角形．(由本題也可以證明上一題．) 例5 設(shè)平面上給出了有限個(gè)點(diǎn)(不少于五點(diǎn))的集合S，其中若干個(gè)點(diǎn)被染成紅色，其余點(diǎn)被染成藍(lán)色，且任意三個(gè)同色點(diǎn)不共線．求證：存在一個(gè)三角形，具有下述性質(zhì)： ⑴ 以S中的三個(gè)同色點(diǎn)為頂點(diǎn)； ⑵ 此三角形至少有一條邊上不含另一種顏色的點(diǎn)． 分析 要證明存在同色三角形不難，而要滿足第⑵個(gè)條件，可以用最小數(shù)原理． 證明 由于S中至少有五點(diǎn)，這些點(diǎn)染成兩種顏色，故必存在三點(diǎn)同色．且據(jù)已知，此三點(diǎn)不共線，故可連成三角形． 取所有同色三角形，由于S只有有限個(gè)點(diǎn)，從而能連出的同色三角形只有有限個(gè)，故其中必有面積最小的．其中面積最小的三角形即為

10、所求． 首先，這個(gè)三角形滿足條件⑴，其次，若其三邊上均有另一種顏色的點(diǎn)，則此三點(diǎn)必可連出三角形，此連出三角形面積更小，矛盾． 說(shuō)明 最小數(shù)原理，即極端原理．見(jiàn)第十二講． 例6 將平面上的每個(gè)點(diǎn)都染上紅、藍(lán)二色之一，證明：存在兩個(gè)相似的三角形，其相似比為1995，且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色．(1995年全國(guó)聯(lián)賽加試題) 分析 把相似三角形特殊化，變成證明相似的直角三角形，在矩形的網(wǎng)格中去找相似的直角三角形，這是證法1的思路．證法2則是研究形狀更特殊的直角三角形：含一個(gè)角為30?的直角三角形．證明可以找到任意邊長(zhǎng)的這樣的三角形，于是對(duì)任意的相似比，本題均可證．證法3則是考慮兩個(gè)同心圓

11、上三條半徑交圓得的三組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連出的兩個(gè)三角形一定相似，于是只要考慮找同心圓上的同色點(diǎn)，而要得到3個(gè)同色點(diǎn)，只要任取5個(gè)只染了兩種顏色的點(diǎn)就行；而要得到5個(gè)同色點(diǎn)，則只要取9個(gè)只染了兩種顏色的點(diǎn)即行． 證明1 首先證明平面上一定存在三個(gè)頂點(diǎn)同色的直角三角形． 任取平面上的一條直線l，則直線l上必有兩點(diǎn)同色．設(shè)此兩點(diǎn)為P、Q，不妨設(shè)P、Q同著紅色．過(guò)P、Q作直線l的垂線l1、l2，若l1或l2上有異于P、Q的點(diǎn)著紅色，則存在紅色直角三角形．若l1、l2上除P、Q外均無(wú)紅色點(diǎn)，則在l1上任取異于P的兩點(diǎn)R、S，則R、S必著藍(lán)色，過(guò)R作l1的垂線交l2于T，則T必著藍(lán)色．△RST即為三頂點(diǎn)同色的直

12、角三角形． 下面再證明存在兩個(gè)相似比為1995的相似的直角三角形． 設(shè)直角三角形ABC三頂點(diǎn)同色(∠B為直角)．把△ABC補(bǔ)成矩形ABCD(如圖)．把矩形的每邊都分成n等分(n為正奇數(shù)，n>1，本題中取n=1995)．連結(jié)對(duì)邊相應(yīng)分點(diǎn)，把矩形ABCD分成n2個(gè)小矩形． AB邊上的分點(diǎn)共有n+1個(gè)，由于n為奇數(shù)，故必存在其中兩個(gè)相鄰的分點(diǎn)同色，(否則任兩個(gè)相鄰分點(diǎn)異色，則可得A、B異色)，不妨設(shè)相鄰分點(diǎn)E、F同色．考察E、F所在的小矩形的另兩個(gè)頂點(diǎn)E￠、F￠，若E￠、F￠異色，則△EFE￠或△DFF￠為三個(gè)頂點(diǎn)同色的小直角三角形．若E￠、F￠同色，再考察以此二點(diǎn)為頂點(diǎn)而在其左邊的小矩形，…

13、．這樣依次考察過(guò)去，不妨設(shè)這一行小矩形的每條豎邊的兩個(gè)頂點(diǎn)都同色． 同樣，BC邊上也存在兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)同色，設(shè)為P、Q，則考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)異色，則存在三頂點(diǎn)同色的小直角三角形．否則，PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)都同色． 現(xiàn)考察EF所在行與PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都與N同色，△MNH為頂點(diǎn)同色的直角三角形． 由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比為1995，且這兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)分別同色． 證明2 首先證明：設(shè)a為任意正實(shí)數(shù)，存在距離為2a的同色兩點(diǎn)．任取一點(diǎn)O(設(shè)為紅色點(diǎn))，以O(shè)為圓心，2a為半徑作圓

14、，若圓上有一個(gè)紅點(diǎn)，則存在距離為2a的兩個(gè)紅點(diǎn)，若圓上沒(méi)有紅點(diǎn)，則任一圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的六個(gè)頂點(diǎn)均為藍(lán)色，但此六邊形邊長(zhǎng)為2a．故存在距離為2a的兩個(gè)藍(lán)色點(diǎn)． 下面證明：存在邊長(zhǎng)為a，a，2a的直角三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同色．如上證，存在距離為2a的同色兩點(diǎn)A、B(設(shè)為紅點(diǎn))，以AB為直徑作圓，并取圓內(nèi)接六邊形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一點(diǎn)為紅色，則存在滿足要求的紅色三角形．若C、D、E、F為藍(lán)色，則存在滿足要求的藍(lán)色三角形． 下面再證明本題：由上證知，存在邊長(zhǎng)為a，a，2a及1995a，1995a，1995′2a的兩個(gè)同色三角形，滿足要求． 證明3 以任一點(diǎn)O為圓心，a及

15、1995a為半徑作兩個(gè)同心圓，在小圓上任取9點(diǎn)，其中必有5點(diǎn)同色，設(shè)為A、B、C、D、E，作射線OA、OB、OC、OD、OE，交大圓于A￠，B￠，C￠，D￠，E￠，則此五點(diǎn)中必存在三點(diǎn)同色，設(shè)為A￠、B￠、C￠．則DABC與DA￠B￠C￠為滿足要求的三角形． 情景再現(xiàn) 3．以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色．證明：一定存在一個(gè)矩形，它的四個(gè)頂點(diǎn)同色． 4．以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色．證明：一定可以找到無(wú)窮多個(gè)頂點(diǎn)全為同一種顏色的全等三角形． 5．圖中是一個(gè)6×6的方格棋盤，現(xiàn)將部分1×1小方格涂成紅色。如果隨意劃掉3行3列，都要使得剩下的方格中一定有一個(gè)是紅

16、色的，那么至少要涂多少個(gè)方格？ 6．有兩個(gè)同心圓，圓上的每個(gè)點(diǎn)都用紅、藍(lán)、黃三色之一染色．試證明：可以分別在每個(gè)圓上找到同色的三個(gè)點(diǎn)連成圓的內(nèi)接三角形，且這兩個(gè)三角形相似． C類例題 例7 把平面上每個(gè)點(diǎn)都以紅、黃兩色之一著色．求證：一定存在一個(gè)邊長(zhǎng)為1或的正三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)是同色的． 分析 邊長(zhǎng)為1及的三角形在半徑為1的圓內(nèi)接正六邊形中出現(xiàn)，故應(yīng)設(shè)法在這樣的圓內(nèi)接正六邊形內(nèi)找滿足要求的三角形．以紅點(diǎn)M為圓心，1為半徑作圓，6等分此圓，若其中沒(méi)有紅點(diǎn)，則存在邊長(zhǎng)為的黃頂點(diǎn)三角形，若有紅點(diǎn)R，則與之相鄰的兩分點(diǎn)中有紅點(diǎn)則有邊長(zhǎng)為1的紅頂點(diǎn)三角形，若與R相鄰的兩分點(diǎn)均黃，則考慮直徑

17、RQ的另一端點(diǎn)Q，若為黃則可證．故應(yīng)相距為2的兩點(diǎn)R、Q，這樣就可構(gòu)造兩難命題了． 證明：1?任取一染成紅色的點(diǎn)P，以P為圓心，1為半徑作圓，如果圓上及圓內(nèi)的點(diǎn)都是紅色，則存在邊長(zhǎng)為1及的三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同為紅色． 若圓上及圓內(nèi)的點(diǎn)不全染成紅色．則存在圓上或圓內(nèi)一染成黃色的點(diǎn)Q，|PQ|≤1．作△PQR，使PR=QR=2，則R必與P、Q之一染色不同．設(shè)R與Q染色不同，即R染紅色． 2?取QR中點(diǎn)M，則M必與Q、R之一同色．設(shè)與R同色，即同為紅色．以RM=1為一邊，作正三角形△RMS、△RMT．若S、T中任一點(diǎn)染紅，則存在邊長(zhǎng)為1的紅色頂點(diǎn)三角形．若S、T都為黃色，則與Q組成邊長(zhǎng)為的黃色

18、頂點(diǎn)三角形． 說(shuō)明 把問(wèn)題歸結(jié)為相距為2的異色兩點(diǎn)． 例8 在一張100′100的方格紙內(nèi)，能否把數(shù)字0，1，2分別放在每一個(gè)小方格內(nèi)(每格放一個(gè)數(shù))，使得任意由3′4(及4′3)小方格構(gòu)成的矩形中都有3個(gè)0，4個(gè)1及5個(gè)2． 分析 3×4方格由4個(gè)3×1方格組成，因此研究這樣的方格的可能填法． 證明 設(shè)存在這樣的填法．兩個(gè)圖形中填入的0、1、2的個(gè)數(shù)如果完全相同，就稱這兩個(gè)圖形是填法相同的圖形． 圖1 1?現(xiàn)在研究圖⑴中的4個(gè)3′1或1′3矩形(陰影部分)，由于它們都與中心的3′3矩形組成3′4矩形，若存在滿足要求的填法時(shí)，它們的填法必相同． 圖2 2?對(duì)于任一3′n矩形

19、(如圖2中部)，比較兩個(gè)只相錯(cuò)一個(gè)1′3矩形的兩個(gè)3′4矩形，知，同色的1′3矩形的填法應(yīng)相同．即染色是周期出現(xiàn)的． 題 3?現(xiàn)考慮1′12矩形，如圖2，根據(jù)⑴的結(jié)果可知，圖2中同色的1′3或3′1矩形的填法相同．于是每個(gè)1′12矩形應(yīng)與一個(gè)3′4矩形的填法相同．即圖中一面的1′12矩形含有4個(gè)1′3矩形，分別有4種顏色． 4?但1′12矩形中填了5個(gè)2，從而必有某個(gè)1′3矩形中填了2個(gè)2．不妨設(shè)黃色的1′3矩形中填了2個(gè)2．于是用下面的1′12矩形的染色法知每個(gè)1′12矩形中至少有6個(gè)2． 由3?、4?矛盾，知這樣的填法不存在． 情景再現(xiàn) 7．⑴設(shè)有4′28個(gè)小方格，給每個(gè)小

20、方格都染上紅、藍(lán)、黃三種顏色中的一種．試證明：至少存在一個(gè)矩形，它的四個(gè)角的小正方形同色． ⑵ 4′19小方格如上染三色，試證：至少存在一個(gè)矩形，它的四個(gè)角的小正方形同色． 8．一個(gè)等邊三角形的三邊上所有的點(diǎn)(包括頂點(diǎn))都染成紅色或藍(lán)色之一，求證：必可找到此三角形邊上的三個(gè)同色點(diǎn)，使這三個(gè)點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)． 習(xí)題14 1．以任意方式對(duì)數(shù)軸上的每一坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色．證明：對(duì)任意正整數(shù)，都能找到無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)同色且坐標(biāo)能被整除． 2．以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色．證明：一定可以找到無(wú)窮多個(gè)頂點(diǎn)全為同一種顏色的三角形． 3．對(duì)正整數(shù)列按照以下方法

21、由小到大進(jìn)行染色：如果能夠表示為兩個(gè)合數(shù)的和，則染成紅色，否則染成藍(lán)色．所有被染成紅色的數(shù)中由小到大數(shù)的第1994個(gè)數(shù)是多少？ 4．把一個(gè)馬放入4×8的國(guó)際象棋棋盤的任何一格上，能否把它連跳32步，使得馬跳遍棋盤上每一格并回到最初位置？ 5．能否用一個(gè)“田”格與15個(gè)1×4矩形紙片蓋滿8×8棋盤？ 圖 6．用右圖中4個(gè)小方格組成的“L”形若干個(gè)蓋住了一個(gè)4×n矩形，那么，n一定是偶數(shù)． 7．一個(gè)立方體的八個(gè)頂點(diǎn)分別染上紅色或綠色，六個(gè)面的中心也都分別染色，若一個(gè)面的四個(gè)頂點(diǎn)中有奇數(shù)個(gè)綠點(diǎn),則這個(gè)面的中心也染成綠色,否則就染成紅色.求證:這樣得到的十四個(gè)色點(diǎn)不可能一半是紅色一半

22、是綠色. 8．把4個(gè)同心圓的圓周各分成100等分．把這400個(gè)分點(diǎn)染成黑、白兩色之一，使每個(gè)圓上都恰有50個(gè)黑點(diǎn)及50個(gè)白點(diǎn)．證明：可以適當(dāng)旋轉(zhuǎn)這4個(gè)圓，使得能夠從圓心引出的13條射線，每條射線穿過(guò)的4個(gè)染色相同的分點(diǎn)． 9．將一個(gè)三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別染上紅、藍(lán)、黑之一，在DABC內(nèi)部取若干點(diǎn)也任意涂紅、黑、蘭三色之一，這些點(diǎn)間(沒(méi)有三點(diǎn)共線)連有一 些線段，把大三角形分成若干互相沒(méi)有重疊部分的一些小三角形.求證:不論怎樣涂，都有一個(gè)小三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)涂的顏色全不同. 10．一個(gè)棱柱以五邊形A1A2A3A4A5及B1B2B3B4B5分別為上下底,這兩個(gè)多邊形的每一條邊及線段AiB

23、j(i,j=1,2,3,4,5)均涂上紅色與綠色,每個(gè)以棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),以涂色線段為邊的三角形都有兩邊顏色不同,求證:上底與下底10條邊的顏色相同． 11．將凸2003邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都染色，且任意相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)都異色．試證：對(duì)上述任何一種染色法，都可以用互不相交于內(nèi)點(diǎn)的對(duì)角線將多邊形完全剖分成若干三角形，使得剖分中所用每條對(duì)角線的兩端點(diǎn)都不同色． 12．100′100小方格表中每一個(gè)都被染成4種顏色之一，使得每行與每列恰有每種顏色的小方格各25個(gè)．證明：可以在表中找到2行與2列，它們交得的4個(gè)小方格所染的顏色互不相同．(2000第26屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克) 本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：

24、1．解 將(A)的方格染成黑白兩色，使相鄰的方格都不同色(圖(C))，則此圖中黑白方格的個(gè)數(shù)相等，但如將⑴—⑺染色，則⑴—⑹都可染成黑白相間的兩黑兩白，但⑺只能染成一黑三白或三黑一白，于是⑴—⑺染色后黑白方格數(shù)不等．所以(A)圖不能被⑴—⑺完全覆蓋． 而圖(B)則因染色后黑白格相差1格，故有被蓋住的可能．經(jīng)試驗(yàn)，可如圖(D)沿粗線分開(kāi)的方格分別用⑴—⑺蓋住． 2．解 把75×75方格與圖中給出的4種形狀的小方格都染成黑白兩色，使任何相鄰的格子染色不同． 由于75×75方格的格子數(shù)為奇數(shù)，故其黑白格子的個(gè)數(shù)相差1個(gè)． 但這四種形狀的方格的染色中，前兩種黑白格子數(shù)相等，第三種染的黑白格子數(shù)

25、分別為4與1(黑4白1或者白4黑1)，第四種形狀染的黑白格子數(shù)分別為5與2，這兩種格子的黑白格子數(shù)相差3，于是用這四種形狀中的任何幾種覆蓋住的方格，應(yīng)蓋住相等的黑白格或蓋住的黑白格相差3的整數(shù)倍，不可能只相差1．所以本題是不可能蓋住的． 3．證明：取3行7列共21個(gè)點(diǎn)組成矩形網(wǎng)格．考慮每列3個(gè)點(diǎn)的染色方式共有8種，若有某列3點(diǎn)全染紅色，則只要其余6列中有某列有2個(gè)點(diǎn)染紅，則存在四個(gè)頂點(diǎn)都是紅色的矩形，若有某列3個(gè)點(diǎn)全藍(lán)也同理． 若7列中沒(méi)有全紅、全藍(lán)兩種情況，則7列的染色方式只有6種，必有兩列染色方式相同，此二列中有四點(diǎn)滿足要求． 4．證明 以1為邊長(zhǎng)作正五邊形，其五個(gè)頂點(diǎn)染二色，必有三

26、個(gè)頂點(diǎn)同色．于是出現(xiàn)同色三角形，由于正五邊形中的三角形只有兩種形狀，而邊長(zhǎng)為1的五邊形有無(wú)窮多個(gè)，故由抽屜原理知，至少有一種形狀的(三個(gè)頂點(diǎn)同色的)三角形有無(wú)數(shù)個(gè)．取這種形狀的頂點(diǎn)同色的三角形集合，該集合有無(wú)窮多個(gè)元素．但這無(wú)數(shù)個(gè)三角形均全等，于是據(jù)抽屜原理，必有其中一種顏色的頂點(diǎn)的三角形有無(wú)窮多個(gè)． 5．分析 當(dāng)涂紅格少于或等于6時(shí)，只要?jiǎng)澣r(shí)，先劃去涂有紅格的3行，則余下的紅格至多還有3格，再劃去有涂紅格的列（當(dāng)然不超過(guò)3列）則所有的涂紅格都被劃去了． 仿此，當(dāng)涂紅格少于或等于9格時(shí)，由于這個(gè)圖形只有6行，故總有某些行的涂紅格不止1格，首先劃去涂紅格至少2格的某一行，余下5行中，如涂紅

27、的格子仍不止5格，則必有某行的不止1個(gè)涂紅格，再劃去至少有2個(gè)涂紅格的行，從第二步起，如涂紅格不足3格時(shí)，則任意劃去某行．這樣，當(dāng)涂紅格不多于9格時(shí)，總可以劃去3行，使余下涂紅格不多于3格，這時(shí)劃去有涂紅格的列，則總可以使余下方格中沒(méi)有紅格． 故，要保證劃去3行3列后余下格中一定有涂紅格，就一定要涂至少10格． 當(dāng)涂紅格為10格時(shí)，可如圖的涂法，此時(shí)劃去3行后至多劃去6個(gè)涂紅格，余下至少4個(gè)涂紅格在至少4列中，從而任意劃去3列后至少還要余下1個(gè)涂紅格． 6．證明 按兩個(gè)圓的半徑的大小稱這兩個(gè)圓為大圓與小圓． 在大圓上任取19個(gè)點(diǎn)，這19個(gè)點(diǎn)都染了三種顏色，故其中必有+1＝7個(gè)點(diǎn)同色，作

28、過(guò)這7個(gè)同色點(diǎn)的半徑，交小圓于7點(diǎn)．于是，這7個(gè)點(diǎn)中必有+1＝3個(gè)點(diǎn)同色．這三點(diǎn)不可能在同一條直線上，可連成一個(gè)三角形，過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的半徑與大圓的三個(gè)交點(diǎn)再連成三角形，這兩個(gè)三角形就滿足要求． 7．證明 ⑴ 第一行中必有一種顏色有至少10個(gè)設(shè)為紅，把它們換到前10列，下面3行的前10列中，若有某一行有2個(gè)紅格，則可得證．設(shè)每行至多有1個(gè)紅格．于是至少有7列中沒(méi)有紅色格．這個(gè)3×7矩形可證(可見(jiàn)《情景再現(xiàn)》第3題的證明)． ⑵ 由于一列4格染成3色，必有某色至少染2格．每種顏色染2格的方案都各有6種，故共有18種可能．在19列中，必有兩列染兩格的方法相同．故證． 8．證明 分別在AB、BC、

29、CA上取點(diǎn)D、E、F，使AD=BE=CF=AB．易證DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB．由于D、E、F三點(diǎn)染成紅、藍(lán)兩色，故必有兩點(diǎn)同色，設(shè)D、E兩點(diǎn)染成紅色．則若BC上除點(diǎn)E外還有一點(diǎn)K染成紅色，則出現(xiàn)紅色頂點(diǎn)直角△DEK．若BC上除E外全染藍(lán)色．則AB與AC上除點(diǎn)D外有任一點(diǎn)染藍(lán)，就出現(xiàn)藍(lán)色三角形．如果AB、AC上沒(méi)有藍(lán)色點(diǎn)．則△ADF即為紅色頂點(diǎn)三角形． “習(xí)題14”解答： 1．證明：坐標(biāo)為n 的倍數(shù)的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，染成兩色，則必有一種顏色有無(wú)窮多個(gè)． 2．證明 任取兩個(gè)紅點(diǎn)A、B及兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)C、D，平面上不在直線AB及CD上的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，于是至少有一種顏色染了無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，即有無(wú)

30、數(shù)個(gè)同色三角形． 3．解 1，2，3，4，5，6，7，9，11都不能寫(xiě)成兩個(gè)合數(shù)的和． 由于4k=4+4(k－1)，4k+2=4+2(2k－1)，故不小于8的偶數(shù)都能寫(xiě)成兩個(gè)合數(shù)的和． 由于2k+1=9+2k－8=9+2(k－4)，故不小于13的奇數(shù)均可以寫(xiě)成兩個(gè)合數(shù)的和．所以，第1994個(gè)數(shù)是2003． 4．解 這半個(gè)棋盤有4行，把上下兩行的格子稱為外格，中間兩行的格子稱為內(nèi)格．外格與內(nèi)格的格子數(shù)一樣多． 一只國(guó)際象棋的馬不能一步從外格跳到外格，所以如果馬從某一格開(kāi)始每格正好跳一次地跳遍棋盤，并且最后回到起點(diǎn)，它就不能從內(nèi)格跳到內(nèi)格（否則內(nèi)格就會(huì)比外格多）這就說(shuō)明 ，馬只能外格與內(nèi)

31、格交替地跳．現(xiàn)在把半個(gè)國(guó)際象棋棋盤按右圖所示染色．顯然，馬從外格跳到內(nèi)格時(shí)是跳到同色的格子上去，而從內(nèi)格跳到外格時(shí)也是跳到同色的格子上．這樣一來(lái)，按上述跳法，馬就只在同色的格子之間跳動(dòng)，這就說(shuō)明，馬是不能從這半個(gè)棋盤上的任一格出發(fā)，跳遍棋盤上的所有格子并回到起點(diǎn)處的．故這樣的跳法是不存在的． 5．把8×8矩形按右圖染成黑白兩色，則一個(gè)“田”字形必蓋住3白1黑格或3黑1白格，而一個(gè)1×4矩形蓋住2白2黑格．故本題無(wú)解． 6．把4×n方格按右圖的方法染成黑白兩色，則任一“L”形必蓋住3白1黑或3黑1白，如n為奇數(shù)，則蓋住這個(gè)圖形的“L”形個(gè)數(shù)也必為奇數(shù)，于是蓋住的白格與黑格也都是奇數(shù)個(gè)．但圖中

32、的白格與黑格數(shù)都是偶數(shù)．故不可能蓋?。? 7．證明 設(shè)此立方體的六個(gè)面中有x個(gè)面頂點(diǎn)是4紅，y個(gè)面的頂點(diǎn)是2紅2綠，z個(gè)面的頂點(diǎn)是4綠；有k個(gè)面頂點(diǎn)是3紅1綠，h個(gè)面頂點(diǎn)是1紅3綠． 統(tǒng)計(jì)每個(gè)面上在頂點(diǎn)處的綠點(diǎn)數(shù)：2y+4z+k+3h，每個(gè)頂點(diǎn)都在3個(gè)面上統(tǒng)計(jì)了一次，故頂點(diǎn)上的綠點(diǎn)共有(2y+4z+k+3h)個(gè)，中心的綠點(diǎn)共有k+h個(gè)．若這14個(gè)點(diǎn)中，紅綠各一半，則得 (2y+4z+k+3h)+k+h=7．即(2y+4z+k+3h)+3k+3h=21，T2y+4z+4k+6h=21．這是不可能的．故證． 8．證明 把圓旋轉(zhuǎn)稱為一次旋轉(zhuǎn)，再把四個(gè)同心圓從內(nèi)到外依次稱為圓Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

33、Ⅳ． 先過(guò)圓心O任作一條射線OX，把四個(gè)圓旋轉(zhuǎn)，使每個(gè)圓都有一個(gè)分點(diǎn)在OX上，固定圓Ⅰ，其上的某個(gè)分點(diǎn)A在OX上，旋轉(zhuǎn)圓Ⅱ，使其上每個(gè)點(diǎn)都與OX對(duì)齊一次，記下圓Ⅱ在每個(gè)位置時(shí)兩圓同色點(diǎn)對(duì)齊的點(diǎn)對(duì)個(gè)數(shù)，由于圓Ⅱ的每個(gè)點(diǎn)都與圓Ⅰ的點(diǎn)A對(duì)齊1次，故點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中共與圓Ⅱ的同色點(diǎn)對(duì)齊了50次，每個(gè)圓Ⅰ的點(diǎn)都是這樣，故在圓Ⅱ的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，共有50′100次同色點(diǎn)對(duì)齊．于是至少有一次，同色點(diǎn)對(duì)齊的點(diǎn)對(duì)數(shù)不少于＝50次．在圓Ⅱ的100個(gè)位置中，必有某個(gè)位置使圓Ⅰ、Ⅱ的同色點(diǎn)對(duì)齊的個(gè)數(shù)最多．把圓Ⅱ固定于該位置．此時(shí)兩圓至少有50個(gè)同色點(diǎn)對(duì)齊．把異色點(diǎn)對(duì)齊的點(diǎn)對(duì)去掉，則兩圓上至少留下對(duì)齊的50對(duì)同色點(diǎn)．

34、再把圓Ⅲ旋轉(zhuǎn)，同上，把圓Ⅲ與圓Ⅱ的同色點(diǎn)對(duì)齊個(gè)數(shù)最多的位置固定，此時(shí)圓Ⅱ與圓Ⅲ至少有＝25個(gè)同色點(diǎn)對(duì)是對(duì)齊的，把這些點(diǎn)對(duì)留下，其余點(diǎn)去掉．再旋轉(zhuǎn)圓Ⅳ，同樣，把圓Ⅳ與圓Ⅲ的同色點(diǎn)對(duì)齊個(gè)數(shù)最多的位置固定，此時(shí)圓Ⅳ與圓Ⅲ至少有+1＝13個(gè)同色點(diǎn)對(duì)是對(duì)齊的． 即此時(shí)四個(gè)圓至少有13個(gè)同色點(diǎn)是對(duì)齊的，從圓心引穿過(guò)這些對(duì)齊的同色點(diǎn)的射線至少有13條． 9．解法1：按頂點(diǎn)顏色分類，三角形共有10類：三紅，兩紅一藍(lán)，兩紅一黑，一紅兩藍(lán)，一紅兩黑，紅藍(lán)黑，三藍(lán)，兩藍(lán)一黑，一藍(lán)兩黑，三黑． 按線段兩端顏色分類，線段共有6類：紅紅，紅藍(lán)，紅黑，藍(lán)藍(lán)，藍(lán)黑，黑黑． 現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)兩端分別為紅、藍(lán)的邊，在兩紅一藍(lán)或兩

35、藍(lán)一紅這兩類三角形中，每個(gè)三角形都有2條紅藍(lán)邊，每個(gè)紅藍(lán)黑三角形都有1條紅藍(lán)邊，設(shè)前兩類三角形共有p 個(gè)，后一類三角形共有q個(gè)．則兩端紅藍(lán)的邊共有2p＋q條． 而每條兩端紅藍(lán)的邊，在大三角形內(nèi)的紅藍(lán)邊設(shè)有k條，每條都被計(jì)算了2次，大三角形的紅藍(lán)邊有1條，計(jì)算了1次．故 2p＋q＝2k＋1，于是q≠0，即紅藍(lán)黑三角形至少有1個(gè)． (注：統(tǒng)計(jì)兩端不同色的邊都可以) 解法2 在每個(gè)劃出的小三角形內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)，在三角形形外也取一個(gè)點(diǎn)．如果兩個(gè)三角形有一條紅藍(lán)的公共邊，則在相應(yīng)點(diǎn)間連一條線．于是得到了圖G，此時(shí)，兩紅一藍(lán)或兩藍(lán)一紅的三角形都是圖G的偶頂點(diǎn)，而紅藍(lán)黑三角形則對(duì)應(yīng)著圖G的奇頂點(diǎn)，大三角

36、形外的那個(gè)頂點(diǎn)也是奇頂點(diǎn)，由奇頂點(diǎn)的成對(duì)性，知圖G中至少還有一個(gè)奇頂點(diǎn)，于是，至少還有一個(gè)紅藍(lán)黑三角形． 10．證明 首先證明此棱柱的上底面的棱顏色相同．否則必有兩條相鄰邊顏色不同．不妨設(shè)A1A5為紅，A1A2為綠． 5條線段A1Bi(i=1，2，3，4，5)中必有3條同色．設(shè)有3條同為紅色．這3條紅色的線段中，總有兩條是向相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)引出的，例如A1B1、A1B2都為紅色．于是在△A1B1B2中B1B2必為綠色． 又在△A1A5B1及△A1A5B2中，A5B1及A5B2均必為綠色．這樣就得△A5B1B2全為綠色．矛盾．這說(shuō)明上底面的5條棱同色． 同理，下底面的5棱也同色． 下面再

37、證明，上下底面10條棱顏色全同．反設(shè)上底面5條棱錢紅，下底面5條棱全綠．由上證，A1B1、A1B2不能全紅，但也不能全綠，故必一紅一綠，設(shè)A1B1紅，則A1B2綠，同理得，A1B3紅，A 1B4綠，A1B5紅，此時(shí)，△A1B1B5又出現(xiàn)上證情況．故得證． 11．證明 對(duì)于n＝3的情況，顯然此時(shí)只有惟一的三角形且沒(méi)有對(duì)角線，其三個(gè)頂點(diǎn)異色，故滿足要求． 設(shè)對(duì)于n＝2k－1，命題成立．對(duì)于n＝2k+1，取多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A，與A相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)異色，若這樣的頂點(diǎn)A不存在，即與每個(gè)頂點(diǎn)相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)都同色，則可得此多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都同色． 連此異色的兩個(gè)頂點(diǎn)，則把原多邊形分成一個(gè)滿足要求的三角形

38、及一個(gè)凸2k邊形．若此凸2k邊形存在一個(gè)頂點(diǎn)B，其相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)異色，則再連此二頂點(diǎn)，又把這個(gè)2k邊形分成一個(gè)三角形及一個(gè)凸2k－1邊形，其相鄰頂點(diǎn)異色，于是命題成立，若此凸2k邊形中不存在滿足上述要求(相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)異色)的頂點(diǎn)，則此多邊形的頂點(diǎn)只能是相間地染成兩種顏色．此時(shí)回到原凸2k+1邊形，其頂點(diǎn)A與此兩種顏色的頂點(diǎn)相鄰，故它染了第三種顏色，把A與其余所有頂點(diǎn)連都對(duì)角線．則把這個(gè)凸2k+1邊形分成了2k－1個(gè)三角形滿足要求．故n＝2k+1時(shí)命題也成立．綜上可知，命題對(duì)于一切奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)的凸多邊形成立，從而對(duì)2003邊形成立． 12．解 設(shè)4種顏色為A、B、C、D，計(jì)算同一行的“異色對(duì)”數(shù)

39、，共有C′252＝6′252個(gè)“異色對(duì)”．所以各行共有100′6′252個(gè)“異色對(duì)”． 而每個(gè)“異色對(duì)”的兩小格都在不同的列中，不同的“列對(duì)”數(shù)共有C對(duì)． 于是必有某個(gè)“列對(duì)”中有+1＝76個(gè)異色對(duì)． 現(xiàn)考慮這2列，76行所成的76′2矩陣：其同行兩格染色不同．且每列中染某一色的格子至多25格．如果{A，B}與{C，D}出現(xiàn)在兩行中，則已證；同樣，若{A，C}與{B，D}出現(xiàn)在兩行中，或{A，D}與{B，C}出現(xiàn)在兩行中，問(wèn)題也解決．設(shè)此三種組合中，每種都至多出現(xiàn)其中的一對(duì)．則這三種對(duì)子中只能出現(xiàn)：① {A，B}、{A，C}、{A，D}；② {A，B}、{A，C}、{B，C}(或換成同組中另一對(duì))． 對(duì)于第一種情況，由于每行中都出現(xiàn)A，故共有76個(gè)A出現(xiàn)在此二列，至少有一列中A的個(gè)數(shù)有+1＝38個(gè)，第二種情況，由于只出現(xiàn)A、B、C三種顏色，故任一列中總有某種顏色出現(xiàn)至少+1＝26個(gè)，均與“每列中同色方格不超過(guò)25個(gè)”矛盾．故證．