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1、
教學(xué)設(shè)計(jì) 建立概率模型
教學(xué)分析
本節(jié)教科書通過(guò)例2的四種模型的所有可能結(jié)果數(shù)越來(lái)越少，調(diào)動(dòng)起學(xué)生思考探究的興趣；教師在教學(xué)中要注意通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同模型的特點(diǎn)以及對(duì)各種方法進(jìn)行比較，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力．
三維目標(biāo)
1．使學(xué)生能建立概率模型來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．
2．通過(guò)學(xué)習(xí)建立概率模型，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：建立古典概型．
教學(xué)難點(diǎn)：建立古典概型．
課時(shí)安排
1課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.計(jì)算事件發(fā)生概率的大小時(shí)，要建立概率模型，把什么看成一個(gè)基本事
2、件是人為規(guī)定的．今天我們學(xué)習(xí)如何建立概率模型，教師點(diǎn)出課題．
思路2.解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，即建立數(shù)學(xué)模型，這是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高考的必考內(nèi)容，同樣解決概率問(wèn)題也要建立概率模型，教師點(diǎn)出課題．
推進(jìn)新課
1．回顧解應(yīng)用題的步驟？
2．什么樣的概率屬于古典概型？
討論結(jié)果：1.解應(yīng)用題的一般程序：
(1)讀：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ)．
(2)建：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建“?！笔顷P(guān)鍵的一關(guān)．
(3)解：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)
3、論．一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過(guò)程．
(4)答：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果．
2．同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的概率屬于古典概型：
(1)試驗(yàn)的所有基本事件只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中一個(gè)基本事件；
(2)每一次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．
思路1
例 口袋里裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，4個(gè)人按順序依次從中摸出一球．試計(jì)算第二個(gè)人摸到白球的概率．
分析：我們只需找出4個(gè)人按順序依次摸球的所有可能結(jié)果數(shù)和第二個(gè)人摸到白球的可能結(jié)果數(shù)．為此考慮用列舉法列出所有可能結(jié)果．
解法一：用A表示事件“第二個(gè)人摸到白球”．
4、把2個(gè)白球編上序號(hào)1,2；2個(gè)黑球也編上序號(hào)1,2.于是，4個(gè)人按順序依次從袋中摸出一球的所有可能結(jié)果，可用樹狀圖直觀地表示出來(lái)(如圖1)．
圖1
樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法．從上面的樹狀圖可以看出，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為24.由于口袋內(nèi)的4個(gè)球除顏色外完全相同，因此，這24種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，試驗(yàn)屬于古典概型．在這24種結(jié)果中，第二個(gè)人摸到白球的結(jié)果有12種，因此“第二個(gè)人摸到白球”的概率P(A)＝＝，這與第一節(jié)的模擬結(jié)果是一致的．
還可以建立另外的模型來(lái)計(jì)算“第二個(gè)人摸到白球”的概率．如果建立的模型能使得試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)變少，那么我們計(jì)算起來(lái)就更簡(jiǎn)便．
解法二：因?yàn)?/p>
5、是計(jì)算“第二個(gè)人摸到白球”的概率，所以我們可以只考慮前兩人摸球的情況．前兩人依次從袋中摸出一球的所有可能結(jié)果可用樹狀圖列舉出來(lái)(如圖2)．
圖2
從上面的樹狀圖可以看出，這個(gè)模型的所有可能結(jié)果數(shù)為12，因?yàn)榭诖锏?個(gè)球除顏色外完全相同，因此，這12種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，這個(gè)模型也是古典概型．在上面12種結(jié)果中，第二個(gè)人摸到白球的結(jié)果有6種，因此“第二個(gè)人摸到白球”的概率P(A)＝＝.
這里，我們是根據(jù)事件“第二個(gè)人摸到白球”的特點(diǎn)，利用試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)稱性，只考慮前兩人摸球的情況，從而簡(jiǎn)化了模型．
還可以從另外一個(gè)角度來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題．因?yàn)榭诖锏?個(gè)球除顏色外完全相同，因此，可以對(duì)
6、2個(gè)白球不加區(qū)別，對(duì)2個(gè)黑球也不加區(qū)別，這樣建立的模型的所有可能結(jié)果數(shù)就會(huì)更少，由此得到另一種解法．
解法三：只考慮球的顏色，4個(gè)人按順序依次從袋中摸出一球的所有可能結(jié)果可用樹狀圖列舉出來(lái)(如圖3)．
圖3
試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為6，并且這6種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，這個(gè)模型是古典概型．在這6種結(jié)果中，第二個(gè)人摸到白球的結(jié)果有3種，因此“第二個(gè)人摸到白球”的概率P(A)＝＝.
下面再給出一種更為簡(jiǎn)單的解法．
解法四：只考慮第二個(gè)人摸出的球的情況，他可能摸到這4個(gè)球中的任何一個(gè)，這4種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的．第二個(gè)人摸到白球的結(jié)果有2種，因此“第二個(gè)人摸到白球”的概率P(A)＝＝.
7、
點(diǎn)評(píng)：畫樹狀圖進(jìn)行列舉是計(jì)算結(jié)果個(gè)數(shù)的基本方法之一．
解法一利用樹狀圖列出了4個(gè)人依次從袋中摸出一球的所有可能結(jié)果，共有24種，其中第二個(gè)人摸到白球的結(jié)果有12種，因此算得“第二個(gè)人摸到白球”的概率為.
解法二利用試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)稱性，只考慮前兩人摸球的情況，所有可能結(jié)果減少為12種，簡(jiǎn)化了模型．
解法三只考慮球的顏色，對(duì)2個(gè)白球不加區(qū)別，對(duì)2個(gè)黑球也不加區(qū)別，所有可能結(jié)果只有6種．
解法四只考慮第二個(gè)人摸出的球的情況，所有可能結(jié)果變?yōu)?種，這個(gè)模型最簡(jiǎn)單．
盡管解法二、三、四建立的模型在解決該問(wèn)題時(shí)比解法一簡(jiǎn)便，但解法一也有它的優(yōu)勢(shì)，利用解法一可以計(jì)算出4個(gè)人順次摸球的任何一個(gè)事件
8、的概率，而解法二、三、四卻不能做到．教師要提醒學(xué)生，本章古典概率的計(jì)算，解法一是最基本的方法．
對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，有時(shí)從不同的角度考慮，可以建立不同的古典概型來(lái)解決.
變式訓(xùn)練
小明和小剛正在做擲骰子游戲，兩人各擲一枚骰子，當(dāng)兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，小剛得1分，否則小明得1分．這個(gè)游戲公平嗎？
分析：計(jì)算雙方獲勝的概率，來(lái)判斷游戲是否公平．
解：設(shè)(x，y)表示小明拋擲骰子點(diǎn)數(shù)是x，小剛拋擲骰子點(diǎn)數(shù)是y，則該概率屬于古典概型．所有的基本事件是：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2
9、,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3), (4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3), (6,4)，(6,5)，(6,6)，
即有36種基本事件．
其中點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的基本事件有：
(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)．
即有18種．
10、所以小剛得1分的概率是＝.
則小明得1分的概率是1－＝.
則小明獲勝的概率與小剛獲勝的概率相同，游戲公平.
思路2
例 在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是( )．
A. B. C. D.
解析：用(x，y)(x≠y)表示從這5個(gè)球中隨機(jī)取出2個(gè)小球上數(shù)字的結(jié)果，其結(jié)果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即共有10種，取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的
11、結(jié)果有：(1,2)，(1,5)，(2,4)，共有3種，所以取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率為.
答案：A
點(diǎn)評(píng)：求古典概型的概率的步驟：①利用枚舉法計(jì)算基本事件的總數(shù)；②利用枚舉法計(jì)算所求事件所含基本事件的個(gè)數(shù)；③代入古典概型的概率計(jì)算公式求得.
變式訓(xùn)練
1．從某自動(dòng)包裝機(jī)包裝的食鹽中，隨機(jī)抽取20袋，測(cè)得各袋的質(zhì)量分別為(單位：g)：
492
496
494
495
498
497
501
502
504
496
497
503
506
508
507
492
496
500
501
499
該自動(dòng)包裝機(jī)包裝的食鹽質(zhì)量在497.5～5
12、01.5 g之間的概率約為________．
分析：觀察表格可得在497.5～501.5 g之間的食鹽有：498,501,500,501,499共5袋，則食鹽質(zhì)量在497.5～501.5 g之間的概率＝0.25.
答案：0.25
2.某校要從高一、高二、高三共2 007名學(xué)生中選取50名組成訪問(wèn)團(tuán)，若采用下面的方法選?。合扔梅謱映闃拥姆椒◤? 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行，則每人入選的概率( )．
A.不全相等 B．均不相等
C.都相等且為 D．都相等且為
分析：按分層抽樣抽取樣本時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的，都等于
13、.
答案：C
1．袋中有4個(gè)紅球，5個(gè)白球，2個(gè)黑球，從里面任意摸2個(gè)小球，________不是基本事件．( )．
A．{正好2個(gè)紅球} B．{正好2個(gè)黑球}
C．{正好2個(gè)白球} D．{至少一個(gè)紅球}
解析：至少一個(gè)紅球包含：一紅一白或一紅一黑或2個(gè)紅球，所以{至少一個(gè)紅球}不是基本事件，其他事件都是基本事件．
答案：D
2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲10 000次，那么第9 999次出現(xiàn)正面朝上的概率是( )．
A. B. C. D.
答案：D
3．有4條線段，長(zhǎng)度分別為1,3,5,7，從這四條線段中任取三條，
14、則所取三條線段能夠成一個(gè)三角形的概率是( )．
A. B. C. D.
答案：A
4．一個(gè)總體含有100個(gè)個(gè)體，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為________．
解析：按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取樣本時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的，都等于，即.
答案：
5．某小組有5名女生，3名男生，現(xiàn)從這個(gè)小組中任意選出一名組長(zhǎng)，則其中一名女生小麗當(dāng)選為組長(zhǎng)的概率是________．
答案：
6．袋中有6個(gè)球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率：
(1)事件A：取出的兩球都是白球；
(2)事件
15、B：取出一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球．
分析：首先應(yīng)求出任取兩球的基本事件的總數(shù)，然后需分別求出事件A的個(gè)數(shù)和事件B的個(gè)數(shù)，運(yùn)用公式求解即可．
解：設(shè)4個(gè)白球的編號(hào)為1,2,3,4，兩個(gè)紅球的編號(hào)為5,6.從袋中的6個(gè)小球中任取兩個(gè)的基本事件有：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15個(gè)．
(1)取出的全是白球的基本事件，共有6個(gè)，即為(1,2)，(1,3)，(1,4), (2,3)，(2,4)，(3,4)，
故取出的兩個(gè)球都是白球的概率為P(
16、A)＝＝.
(2)取出一個(gè)是白球，而另一個(gè)為紅球的基本事件，共有8個(gè)，即為(1,5)，(1,6), (2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，
故取出的兩個(gè)球一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球的概率為P(B)＝.
1．連續(xù)擲兩次骰子，以先后得到的點(diǎn)數(shù)m，n為點(diǎn)P(m，n)的坐標(biāo)，設(shè)圓Q的方程為x2＋y2＝17.
(1)求點(diǎn)P在圓Q上的概率；
(2)求點(diǎn)P在圓Q外部的概率．
解：m的值的所有可能是1,2,3,4,5,6，
n的值的所有可能是1,2,3,4,5,6，
所以，點(diǎn)P(m，n)的所有可能情況有6×6＝36種，且每一種可能出現(xiàn)的可能性相等，本問(wèn)題屬古
17、典概型問(wèn)題．
(1)點(diǎn)P在圓Q上只有P(1,4)，P(4,1)兩種情況，
根據(jù)古典概型公式，點(diǎn)P在圓Q上的概率為＝.
(2)點(diǎn)P在圓Q內(nèi)的坐標(biāo)是：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共有8個(gè)點(diǎn)，
所以點(diǎn)P在圓Q外部的概率為
1－＝.
2．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)投擲3次，求以下事件的概率：
(1)3次正面向上；
(2)2次正面向上，1次反面向上．
解：(1)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)投擲3次的基本事件總數(shù)為8，
又事件“3次正面向上”共有基本事件數(shù)為1，
設(shè)事件“3次正面向上”為A，
∴P(A)＝.
∴事件
18、“3次正面向上”發(fā)生的概率為.
(2)又事件“2次正面向上，1次反面向上”共有基本事件數(shù)為3，
設(shè)事件“2次正面向上，1次反面向上”為B，
∴P(B)＝.
∴事件“2次正面向上，一次反面向上”發(fā)生的概率為.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了同一個(gè)古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，可以建立不同的概率模型來(lái)解決．
習(xí)題3—2 A組 7,8.
本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，以及古典概型的計(jì)算方法．在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生如何建立古典概型．
不同背景的實(shí)際問(wèn)題歸為同一模型
對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們有時(shí)可以通過(guò)建立不同的模型來(lái)解決；另一方面，有很多不同的問(wèn)題，
19、我們還可以把它們歸為同一個(gè)模型來(lái)解決．
復(fù)習(xí)題三的A組第7題的一般情形就是研究r個(gè)球隨機(jī)放入n個(gè)盒子中的可能分布，這是一個(gè)很重要的概率模型．有許多實(shí)際問(wèn)題，盡管它們的直觀背景很不相同，但都可以抽象為r個(gè)球隨機(jī)地分布于n個(gè)盒子中的模型．例如，6個(gè)盒子分別代表數(shù)字1,2,3,4,5,6，擲一粒骰子，若向上的點(diǎn)數(shù)為3，則這個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于把一個(gè)球放入代表數(shù)字3的盒子中，因此，擲r粒骰子的可能結(jié)果就相當(dāng)于把r個(gè)球隨機(jī)地放入這6個(gè)盒子中(n＝6)；兩個(gè)盒子分別代表正面朝上和反面朝上，擲一枚硬幣，若出現(xiàn)正面朝上，則這個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于把一個(gè)球放入代表正面朝上的盒子中，擲r枚硬幣的可能結(jié)果就相當(dāng)于把r個(gè)球隨機(jī)地放入這兩個(gè)盒子中(n＝2)；類似地，r個(gè)人的生日的可能情形相當(dāng)于r個(gè)球隨機(jī)地放入n＝365個(gè)盒子中的可能結(jié)果(假定一年是365天)；一部電梯，開始有r個(gè)乘客，它在n層樓中的每一層都停，乘客走出電梯的各種可能情形相當(dāng)于r個(gè)球隨機(jī)地放入n個(gè)盒子中的可能結(jié)果；等等．
7
高中數(shù)學(xué) 教學(xué)設(shè)計(jì) 建立概率模型
