大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo) 第3章液體的表面性質(zhì)

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1、第3章 體的表面性質(zhì) 3.1 內(nèi)容提要 (一) 基本概念 1. 表面張力：液體的表面猶如張緊的彈性薄膜，具有收縮的趨勢，即液體表面存在著張力，稱為表面 張力。它是液體表面層內(nèi)分子力作用的結(jié)果。 2. 表面張力系數(shù)：用于反映液體表面性質(zhì)的物理量，三種定義如下： (1) 表面張力系數(shù)表示在單位長度直線兩旁液面的相互拉力。由f =aL得 a = — (3.1) L 在國際單位制中，a的單位用N ? m-i表示。 (2) 表面張力系數(shù)a等于增加單位表面積時，外力所做的功。由ZA=a ? AS得 3.2) AA AS (3) 表面張力系數(shù)a在數(shù)值等

2、于增大液體單位表面積所增加的表面能由厶E=AA = a AS得 3.3) AE AS 嚴格說來，表面能是在溫度不變的條件下可轉(zhuǎn)變?yōu)闄C械能的那部分表面能。 3. 影響表面張力系數(shù)的幾個因素 (1) 不同液體的表面張力系數(shù)不同，它與液體的成分有關(guān)，取決于液體分子的性質(zhì)。 (2) 同一種液體的表面張力系數(shù)與溫度有關(guān)。溫度越高,a就越小。 (3) 液體表面張力系數(shù)的大小還與相鄰物質(zhì)的化學(xué)性質(zhì)有關(guān)。 (4) 液體表面張力系數(shù)還與液體中的雜質(zhì)有關(guān)。加入雜質(zhì)能顯著改變液體的表面張力系數(shù)。 4. 表面張力的微觀本質(zhì) 微觀理論認為，液體的表面張力是由于液體表面層分子之間相互作用力的不對稱性

3、引起的。所謂液體的 表面層是指位于液體表面處，與表面平行、厚度等于液體分子有效作用半彳(一般不超過6xl0-7cm )的那層液 體。從能量的角度出發(fā)，分子處于液體表面層時，分子的相互作用熱能要比處于液體內(nèi)部的分子的相互作用 熱能大，而且越靠近液面，分子的相互作用熱能就越大。而液體處于穩(wěn)定平衡時，分子的相互作用熱能最小， 因此，液體表面層中的分子都有擠進液體內(nèi)部的趨勢，結(jié)果液體的表面就會盡量地收縮。從力的觀點來看， 就是在液體表面內(nèi)存在一種使其收縮的力，這種力就稱為表面張力。 所謂表面張力，無論從力或是從能量的角度來解釋，都是表面層內(nèi)分子相互作用的不對稱性所引起的。 (二) 彎曲液面的附加壓

4、強 1?附加壓強：對于彎曲液面來說，由于液體表面張力的存在，在靠近液面的內(nèi)外就形成一個壓強差，稱 為附加壓強。令液面內(nèi)壓強為內(nèi)，液面外壓強(即外界壓強)為p0,則附加壓強ps定義為 ps=p 內(nèi)—po (3?4) (1) 如果液面是水平的，液內(nèi)壓強大于液外壓強，即內(nèi)=p0,貝Vps=p內(nèi)一p0=o (2) 如果液面是凸形的，液內(nèi)壓強大于液外壓強，即內(nèi)〉p0,貝yps=p內(nèi)一p0>o。 (3) 如果液面是凹形的，液內(nèi)壓強小于液外壓強，即內(nèi)vp0,貝yps=p內(nèi)一p0vO。 2. 附加壓強的計算： (1) 球形凸液面的附加壓強 “內(nèi)-po 2a R 3.5) (2) 球

5、形凹液面的附加壓強 p 二—攵 (3.6) sR 上式表明，彎曲液面附加壓強的數(shù)值與表面張力系數(shù)成正比，與液滴曲率半徑成反比。且球形凸液面的附 加壓強為正，球形凹液面其附加壓強為負。 (3) 球形液泡的內(nèi)外壓強差 p - p =竺 (3.7) c A R (三) 液體和固體接觸處的表面現(xiàn)象 1. 附著層：液體與固體接觸處，厚度很薄(等于液、固分子有效作用距離)的那層液體，和自由液體表 面層一樣，也處于一種特殊狀態(tài)，這一薄層稱為附著層。 2. 內(nèi)聚力與附著力：在附著層內(nèi)將液體分子間的相互吸引力稱為內(nèi)聚力，固體與液體分子間的吸引力 稱為附著力。 3. 潤濕與不潤濕現(xiàn)象：由于內(nèi)聚

6、力和附著力的大小不同，使得有些液體能潤濕固體，有些液體不能潤 濕固體。在附著層中當內(nèi)聚力大于附著力時,附著層收縮，液面呈現(xiàn)向下彎曲的形狀，表現(xiàn)為液體不潤濕固 體。反之，在附著力大于內(nèi)聚力的情況下，附著層擴展，液面呈現(xiàn)向上彎曲的形狀，表現(xiàn)為液體潤濕固體。 4. 接觸角：在液體和固體的接觸處，作液體表面的切線和固體表面的切線，這兩條切線通過液體內(nèi)部 所夾的角。稱為接觸角。 當。為銳角時，液體潤濕固體；馬為鈍角時，液體不潤濕固體o9 = 0表示完全潤濕= n表示完全 不潤濕。 5. 毛細現(xiàn)象：潤濕管壁的液體在細管中液面升高，而不潤濕管壁的液體在細管中液面降低的現(xiàn)象，稱 為毛細現(xiàn)象。能夠產(chǎn)生毛細

7、現(xiàn)象的細管稱為毛細管。 當液體潤濕管壁時，毛細管內(nèi)液體上升高度為 h 二 2(X C0S° (3.8) Pgr 式中Q是液體的表張力系數(shù)，°為接觸角，p為液體體密度，r為毛細管半徑。當液體不潤濕管壁時，由于 °為鈍角，故h為負值，表明毛細管內(nèi)液面下降。液體與管壁的接觸角決定管中液面的升與降。 6. 氣體栓塞現(xiàn)象：當液體在細管中流動時，如果管中出現(xiàn)氣泡，液體的流動就要受到阻礙，氣泡產(chǎn)生 的多了，就能堵住毛細管，使液體不能流動，這種現(xiàn)象稱為氣體栓塞現(xiàn)象。 (四) 液體和氣體接觸處的表面現(xiàn)象 1?蒸發(fā)：常溫下發(fā)生在液體表面上的汽化過程。指單位時間內(nèi)液體分子逸出液面的數(shù)目大于蒸氣分子 進

8、入液面的數(shù)目。 影響蒸發(fā)的因素主要有(對同一種液體)： (1) 表面積。表面積越大，蒸發(fā)就越快。 (2) 溫度。溫度越高，蒸發(fā)越快。 (3) 通風(fēng)狀況。液面上通風(fēng)情況好，可以促使從液體中跑出來的分子更快地向外擴散，減少它們重新返 回液體的機會，因而蒸發(fā)就會加快。 2. 凝結(jié)：物質(zhì)由氣態(tài)變?yōu)橐簯B(tài)的過程叫做凝結(jié)。指單位時間內(nèi)離開液體的分子數(shù)小于蒸汽分子進入液 體的數(shù)目。 3. 飽和蒸汽及飽和蒸汽壓：單位時間內(nèi)逸出液體的分子數(shù)等于單位時間內(nèi)返回液體的分子數(shù)時，這種 液體上方保持動態(tài)平衡的蒸汽叫做飽和蒸汽，由它而產(chǎn)生的壓強叫做飽和蒸汽壓。飽和蒸汽壓具有恒定的 值，與體積的大小以及有無其它氣

9、體存在無關(guān)，但隨溫度的升高而增大，且與液面彎曲情況有關(guān)。如凸液 面上方飽和蒸汽壓大于平液面及凹液面時的飽和蒸汽壓。 3.2學(xué)習(xí)指導(dǎo) 3.2.1 基本要求 1、理解液體表面張力、表面張力系數(shù)的三個定義 2、能求解彎曲液面的附加壓強、毛細管內(nèi)液面上升或下降的高度 3、了解液體表面張力、毛細現(xiàn)象在生物和土壤中的應(yīng)用 3.2.2 知識結(jié)構(gòu)圖 力的角度 （表面層 三個定義V 作功的角度 表面張力 表面張力系數(shù)V j功能轉(zhuǎn)化的角度 影響表面張力系數(shù)的因素 ＜表面張力系數(shù)的微觀本質(zhì) 廣三種液面 附加壓強的正負 液體的表面性質(zhì) 彎曲液面的附加壓強 彎曲液面附加壓強的大小

10、 （附著層 潤濕與不潤濕現(xiàn)象V內(nèi)聚力與附著力 接觸角 毛細管與毛細現(xiàn)象 I液體在毛細管內(nèi)上升的高度 影響蒸發(fā)的因素 蒸發(fā) 飽和蒸汽壓 蒸發(fā)與凝結(jié)〈 I彎曲液面處的飽和蒸汽壓 凝結(jié) 3.3 典型題解析 例 3.1. 如何理解液體的表面張力現(xiàn)象? 答：在液體表面上厚度約等于分子有效作用距離的薄層液體（稱為液體的表面層）內(nèi)存在液體的表面現(xiàn) 象，處在液體表面層中的分子都有向液體內(nèi)部靠攏的趨勢，猶如張緊了的彈性薄膜。從力的角度看，在液 體表面內(nèi)形成一種向內(nèi)收縮的力，這種力稱為表面張力，表面張力的存在，使得液體盡量減小它的表面積，表面張力的方向處處與液面相切。 在液體內(nèi)部的

11、分子受到其周圍以分子有效距離為半徑的范圍內(nèi)其它分子的引力，由于對稱性，其它分 子對它的合引力為零；而對處于液體表面層內(nèi)部的分子，以分子有效作用距離為半徑的范圍有一部分落在 液面外側(cè)，對稱性受到破壞，故此分子受到一垂直液面并指向液體內(nèi)部的合引力作用。這樣，處于液體表 面層內(nèi)的分子都受到一垂直向下的合力，而使表面層中的分子都有向液體內(nèi)部靠攏的趨勢，液體分子越靠 近表面所受到的合力也越大。如果液體內(nèi)部分子試圖到達表面層，則必須克服上述指向液體內(nèi)部其他分子 合引力作用，所消耗的功將轉(zhuǎn)變?yōu)楸砻鎸又蟹肿娱g相互作用的勢能，稱為表面能。表面張力的存在，使得 液體表面積盡量減小，直至表面能為最小。 表面張力的

12、存在使液滴表面以及與固體相接觸的液面都呈彎曲形狀，同時還使液面兩側(cè)的壓強具有不 同的值，引起附加壓強的產(chǎn)生。毛細現(xiàn)象也是由液體的表面張力所引起。 【評注】液體的表面張力現(xiàn)象廣泛存在于氣—液接觸面、液—液分界面及固—液接觸面上，在日常生活中處處可見。表 面張力現(xiàn)象在宏觀上是沿著液體表面的相互拉力，而在微觀上是分子力的作用。正確理解其內(nèi)在與外在的實質(zhì)，可以有效地 利用或克服表面張力現(xiàn)象。 例 3.2. 液體表面現(xiàn)象有什么應(yīng)用? 答：液體表面張力所引起的毛細現(xiàn)象在植物及土壤方面等領(lǐng)域的研究中已得到很好應(yīng)用。對植物的研 究表明，毛細作用是植物體內(nèi)液體輸運的重要途徑之一，在植物細胞壁中含有大量的毛

13、細管，這些毛細管 是由原纖維間的細小空間形成的，它是植物長距離輸運水分、養(yǎng)料的重要途徑。 毛細現(xiàn)象還對保持土壤水分起著重要的作用。在土壤內(nèi)部水分的傳輸以毛細作用為主，有的土壤毛細 管結(jié)構(gòu)不好，植物不能很好生長，增加腐殖質(zhì)不僅能增加肥料，還可以改變土壤的毛細結(jié)構(gòu)，增加毛細水 的儲量。旱季播種后常把地表壓實，這樣可使土壤顆粒之間形成很好的毛細管，水分沿管上升到地面，浸 潤種子使其發(fā)芽；而冬耕的目的之一在于破壞土壤表層的毛細管，使較深層的水分不易上升到地面而被蒸 發(fā)散失掉。 但在某些情況下，我們需要盡量減小表面張力所產(chǎn)生的影響，如在洗衣服時，由于水的表面張力，使 衣服纖維和水之間不能很好的接觸；

14、噴灑農(nóng)藥時，表面張力的存在也使農(nóng)藥不能均勻地展開在葉面上。這 時若在水中加入一些表面活性物質(zhì)來減小水的表面張力系數(shù)，就可以使衣物與水更好地接觸從而污漬易被 冼凈，也可使農(nóng)藥均勻的展開在植物枝葉上而易被吸收。 評注】以上我們只是簡單介紹了液體表面現(xiàn)象的幾點應(yīng)用，其實液體表面現(xiàn)象在醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等很多學(xué)科領(lǐng)域均得到 了廣泛應(yīng)用。 圖3.1 例3.3圖 例3.3.如圖所示為一連通管，首先關(guān)上q，打開^和C2,在A 邊吹出一個大肥皂泡，再關(guān)上C,打開C,在B邊吹出一個小肥皂泡， 2 3 最后關(guān)上q，打開c2和c3，這時將會出現(xiàn)什么情形？ 答：對于一球形肥皂泡，其內(nèi)外壓強差為p -p =竺，

15、且壓強 內(nèi) 夕卜 R 差與曲率半徑R成反比。對于圖中所示大、小肥皂泡，其外部壓強一 樣，而大肥皂泡由于曲率半徑R大于小肥皂泡之曲率半徑，故小肥皂 泡內(nèi)氣體壓強大于大肥皂泡內(nèi)氣體壓強，因此，小肥皂泡內(nèi)氣體將向 大肥皂泡內(nèi)移動。當關(guān)上^打開c2和c3后我們將會看到大肥皂泡不斷 增大，小肥皂泡不斷縮小，直到最后小肥皂泡收縮到在管端僅剩下一 帽頂，帽頂?shù)那拾霃脚c大泡的曲率半徑相等。 【評注】有的同學(xué)一看到連通管，便不假思索的認為大的肥皂泡變小，小的變大。理由是 大的內(nèi)部氣體多，因而壓強大，一旦連通，則一定是大的肥皂泡內(nèi)氣體壓向小的一邊，所以出 現(xiàn)大的變小，小的變大。但是若考慮到，表面張力使肥皂

16、泡表面出現(xiàn)球形彎曲而產(chǎn)生附加壓強 的現(xiàn)象，則分析結(jié)果正好相反。 例3.4具有一可移動邊KL的框架ABCD（如圖所示）豎直放置，其上覆蓋了一 層肥皂膜，試問：①要保持平衡，鋼棒KL直徑應(yīng)為多少？②若保持溫度不變，鋼 棒下移lcm需做功4.5X10J,則棒長L為多少？（已知鋼密度為p =8.5X103kg亦， 肥皂水表面張力系數(shù)a =0.045N?m-i) 解：①分析鋼棒KL之受力可知，鋼棒受本身重力和肥皂膜的表面張力,要保持KL平衡，則兩力相等。 設(shè)鋼棒直徑為D、長度為L,則重力為 G = mg = p n (#)2 Lg 表面張力為 F = 2a L 當二力平衡時， 有

17、G=F 即 pn (~2)2Lg=2aL 故 8a D = = 1.2mm Pn g ②由表面張力系數(shù)的第二個定義可知，表面張力系數(shù)等于增加單位表面積時，外力所需做的功。設(shè) 鋼棒下移1cm所做功引起的肥皂膜表面積增加量為 △S=2LAx=0.02L 因表面張力系數(shù)等于增加單位表面積時需作的功，即 AA a = 一 AS 將厶A=4.5X 10-5J，a =0.045N ?m-i代入上式，得 0.045 = 4.5 x 10-5 0.02 L L = 0.05m 【評注】題中所給框架上覆蓋肥皂膜后，應(yīng)注意此時呈現(xiàn)上下兩層薄膜，故計算肥皂膜所產(chǎn)生的表面張力

18、時，每一薄層 在L長度上產(chǎn)生表面張力為a L,則題中所給肥皂膜產(chǎn)生表面張力F =2a L,肥皂膜表面積增加量，也為兩層膜面積，即△ S=2L^xo 例3.5為了估計液體表面積改變時所發(fā)生的能量變化，試求當半徑為r=2X10-3mm的許多小水滴融合 成一半徑為R=2mm的大水滴時，所釋放出的能量。假設(shè)水滴呈球狀，水的表面張力系數(shù)=73X10-3N?m-1在 此過程中保持不變。 解：許多小水滴融合成大水滴時，所釋放出的能量來之于水滴表面積減小時所釋放的表面自由能。根 據(jù)表面張力系數(shù)的定義，減小的表面自由能AE =a-AS。若設(shè)小水滴數(shù)目為n, n個小水滴的總面積為 S = 4n r 2n

19、 則大水滴的面積為 S = 4n R 2 在融合過程中，小水滴的總體積應(yīng)與大水滴的體積相同，即 44 —n r 3 n = — n R 3 33 R3 n二—— r3 表面張力系數(shù)a AE a = AS 由此，溶合過程中釋放的能量 AEra △S = a (4nr2n- 4n R2) R =4n a (— -1) R 2 r =4 x 3.14 x 73 x 10-3( - — 1) x 4 x 10-6 2 x 10-3 =3.66x 10-3 J 【評注】表面張力系數(shù)a有三個定義：其一是從力的角度，即f =aL ；其二是從力做功的角度，即Ara ? △

20、；其三 從能量守衡與轉(zhuǎn)化的角度，艮阪=理。題中要求能量的轉(zhuǎn)化，自然是應(yīng)用第三個定義。當然它們是從不同角度求解或測定 AS 表面張力系數(shù)的幾種方法，應(yīng)據(jù)具體情況靈活運用。 例3.6今有10克酒精從一內(nèi)徑為2mm垂直豎立的移液管一滴一滴流出，共流出800滴，在此過程中 可認為液滴呈球形，并假定滴下的酒精滴的最大直徑等于試管內(nèi)徑，求酒精的表面張力系數(shù)。 解：在降落瞬間，在L長度上酒精的表面張力為f =an d，每滴酒精的重量為G = mg。 n 因為 G=f 所以 mg =an d n mg nn d 10 x 10-3 x 9.8 800 x 3.14 x 2 x 10-3

21、=19.5 x 10-3 N - m-1 【評注】在降落瞬間，液滴的重量將打破長度為L=2n(d/2)的表面膜，即液滴的重量等于此長度下的表面張力 f =an d，每滴酒精的重量為G = mg，據(jù)此可求的表面張力系數(shù)a。本題的關(guān)鍵在于正確分析液滴下落過程的受力， n 只要明白液滴之所以成球形是因為存在表面張力，當重力大于或等于表面張力時，液滴下落，其球形被破壞。另外，表面張 力的計算中，有時用單層膜有時是雙層膜，不可死套公式。題中這種用來測定液體表面張力系數(shù)的方法被稱為液滴測定法， 在農(nóng)學(xué)、植保、牧醫(yī)等專業(yè)中常采用它來測定液體的表面張力系數(shù)。 例3.7將壓強為p = 1.0

22、13x 105 Pa的空氣，等溫地壓縮進肥皂泡內(nèi)，最后吹成半徑為? = 2.5 cm的 0 肥皂泡。①求增大肥皂泡內(nèi)外表面的面積所需做的功；②設(shè)肥皂泡的脹大過程是等溫的，試求吹成這肥皂 泡所需作的功。已知肥皂水的表面張力系數(shù)a = 2.5 x 10-2 N - m-1。 解：①應(yīng)用表面張力系數(shù)的第二個定義，增加單位表面積所增加的表面能等于外力所需做的功，即 a=AA。那么用于增大肥皂泡內(nèi)外表面積所需做的功為 AS A = a - S =a - 8n — 2 = 2.5 x 10-2 x 8 x 3.14 x (2.5 x 10-2)2 = 3.93 x 10-4 J (1) 1

23、②設(shè)p表示泡內(nèi)空氣的壓強，Po表示泡外的大氣壓強，則 p- p0 4a — 4a P = P 0 +■— (2) 肥皂泡的膨脹是一等溫過程。因此，吹成這肥皂泡所需做的功應(yīng)等于氣體等溫過程所做的功。從壓強為 的初狀態(tài)將空氣壓縮到壓強為p的末狀態(tài)，在此壓縮過程中外界對系統(tǒng)所做的功為 ° A =- ——T ln 厶=PV ln2 ⑶ 2 M p p 0 將(2)式代入(3)式得 式中 4a p = p + 0 T( - n R 3 V = -n R3, 3 4a、 ln 1 + I Rp丿 ' 0 y 4a u — Rp 0 (4a )

24、ln 1 + 丿 (Rp.丿 0 因竺遠小于1,所以 Rp 0 4a 1 1 + u 1 Rp 0 (4a ) 4 ( 4a ) A =p 1 + ——nR 3 ln 1 + 20 （甌丿 3 k Rp丿 4 0 4a 16 u P ——nR 3 - = nR 2a 0 3 Rp 3 2 02 =—? 8nR 2 ? a = — A 3 3 1 吹成肥皂泡所需作的總功為 25 A = A + A = A + — A = — A = 6.5 x 10 - 4 J 1 2 1 3 1 3 1 【評注】此題是氣體等溫

25、過程作功與液體表面張力系數(shù)以及彎曲液面附加壓強的綜合性問題。將氣體吹入肥皂泡內(nèi),外 力所需做的功應(yīng)包括兩部分：其一是增加液體表面能時外力所作的功；其二是氣體等溫膨脹過程所作的功。一般情況下僅計 算第一部分的功值即可。 例3.8求直徑d=0.01mm的空氣泡在水下深度h=20cm處的空氣壓強，設(shè)水面壓強為大氣壓P0=1.013 X 105Pa，已知水的密度p =103kg ? m-3，水的表面張力系數(shù)a =72X 10-3N ? m-1。 解：空氣泡中的空氣壓強是由大氣壓P0、水柱的靜壓力卩］（片=p gh）及氣泡彎曲面附加壓強P2所組成。 由此可知，空氣泡內(nèi)氣體壓強為 2a p =

26、p + p + p = p + pgh + - 1 2 0 R 2x 72x10-3 =1.013x105 +103 x9.8x20xlO-2 + 0.01x10-3/2 = 1.32x105 Pa 【評注】此題中牽涉到球形液面附加壓強問題，對于球形凸液面，液體內(nèi)部壓強大于外部壓強，附加壓強為正值， 2a 2a p = ；對于球形凹液面，液體內(nèi)部壓強小于外部壓強，附加壓強為負值，p =- ，式中R為球形液面曲率半徑。 s R s R 例3.9 一肥皂泡直徑為5cm，表面張力系數(shù)為25X 10-3N?m-1，試求肥皂泡內(nèi)計示壓強。 解：肥皂泡液膜是雙層膜，但液膜很薄，故內(nèi)外

27、表面半徑可看作相等，若設(shè)肥皂膜內(nèi)壓強為，泡內(nèi) 壓強為P，泡外壓強為P0,即 1) p'-p0 2a R 2) 2a p- p = -1 由上面兩式得 式中 R = - x 10-2 m, 2 4a a 故計示壓強為 【評注】本題考查了計示壓強和彎曲液面附加壓強的定義。由本題結(jié)論知，球形液泡內(nèi)外壓強差與液泡半徑成反比，液 泡越小，其內(nèi)部壓強越大。工廠在吹制玻璃器件時利用了這一原理，開始吹時壓強比較大，吹大后就要要減小壓強。 例3.10 —鋼針輕放于水面上，試討論鋼針為什么不會下沉？設(shè)鋼針直徑d=1mm，長度為L=4cm,水的 表面張力系數(shù)a =72.8X10-3N ?

28、m-i,鋼密度p= 8.5 x 103 kg - m-3，若鋼針所在位置處彎曲液面的切線（即表 面張力f方向）與豎直方向夾角。=63°。 解：鋼針輕放于水面上，將水面壓下一凹面（如圖如示），故受液體的表面張力與其本身重力，且兩力 平衡。 已知鋼針直徑d=1mm，長度為L=4cm,水的表面張力系數(shù)a =72.8X 10-3N ? m-1，鋼密度 p = 8.5x 103kg -m-3。則鋼針所受重力為 G = mg = p n(2)2Lg =8.5 x 103 x 3.14 x (1 x 10-3 2)2 x 4 x 10-2 x 9.8 =261.562 x 10 -5N 由于表

29、面張力f在水平方向上分量向四周發(fā)散，彼此抵消，故在豎直方向上的合力為 F = 2aL cos 0 = 2x73x10-3 x4x10-2 xcos63 = 261.513x10-5 N 可見，G=F，即鋼針浮于水面上而不下沉，是由于鋼針重力和表面張力在豎直方向上的合力相互相抵消所致。 【評注】題中鋼針并未浸入水中，只是將水面壓下一凹面，故不受浮力，鋼針之所以能浮在水面上而不下沉，是因為鋼 針所受液體的表面張力與其本身重力相平衡的結(jié)果。故正確分析物體的受力對解決問題非常重要。 例3.11如圖示，試求一恰在水面下氣泡內(nèi)空氣的壓強，設(shè)氣泡 半徑R=5X 10-6m，水的表面張力系數(shù)73X10

30、-3N *m-i,大氣壓強P0=1.013 X 105Pa。 解：因氣泡恰在水面下，故氣泡外液體內(nèi)壓強近似等于大氣壓強。 設(shè)氣泡內(nèi)壓強為p內(nèi)，此時液面為一凹液面（如圖示），根據(jù)附加壓強 內(nèi) 2a p 0-卩內(nèi)=--R 的定義可有 則氣泡內(nèi)空氣壓強為 p = p + 攵=1.013 x 105 + 2 x 73 x 10 -3 = 1.3 x 105 Pa 內(nèi) 0 R 5 x 10-6 【評注】本題有三個易錯點：一是氣泡恰在水面下的理解。因氣泡較小，故氣泡外液體內(nèi)壓強應(yīng)近似等于大氣壓強；二 是正確判斷液面的形狀。液面是凸面還是凹面，應(yīng)站在液體內(nèi)部的角度來看。三是附加壓強定義的理解

31、。附加壓強等于液體 內(nèi)部壓強與外部壓強之差。三方面任一含混不清均造成結(jié)果錯誤。正確清楚的理解物理概念對解題的每一步都異常的關(guān)鍵。 例3.12 一根內(nèi)直徑為1 mm的玻璃管，豎直插入盛水銀的容器里，管的下端在水銀面以下1cm處，要 在管的下端吹出一半球形氣泡，管中空氣計示壓強為多少?已知水銀的表面張力系數(shù)a =465X 10-3N?m-1, 密度 p =13.6X 103kg ? m-3, 解：此為毛細管問題。管內(nèi)壓強由三部分組成，即p = p +pgh + p ，由題可知，毛細管半徑R=5 0 附加 X 10-4m，h=0.01m,液體的彎曲液面為凸液面，其附加壓強為 2a p =

32、附加 R 管內(nèi)壓強為 ,2a P = P 0 +Pgh + ~R 管內(nèi)計示壓強為 2a , P - P0 = ~ + Pgh =2 465 10 +13.6x 103 x 9.8x 0.01 5 x 10-4 = 3193Pa 【評注】此題仍是考查計示壓強與附加壓強的問題。在討論球形液面內(nèi)、外附加壓強的有關(guān)問題時，應(yīng)首先分清液面內(nèi) 與液面外，以及液面的形狀，且牢記附加壓強為液面內(nèi)部壓強減去液面外部壓強，只有這樣解題才不會出錯。 例3.13如圖所示，將兩個平行板插入液體中，由于毛細現(xiàn)象使兩板間的液面上升，試導(dǎo)出液面上升 的高度公式。 解：設(shè)兩板間距為d,兩玻璃板長為

33、L,板間液面比板外高h,液 體密度為p，表面張力系數(shù)為a，接觸角為0 ，則有 2La cos0 = Ldhpg，得 ,2a cos0 h = Pgd 【評注】在討論潤濕現(xiàn)象時，應(yīng)能理解接觸角的定義，接觸角為液體與固體 接觸處，和液面相切通過液體內(nèi)部與固體所夾的角。在此題中，表面張力在豎直方向上 的分量2La cos0與液塊重力平衡時，使液面上升到一穩(wěn)定高度它與毛細管內(nèi)液 體上升高度相同。 例3.14 —根內(nèi)直徑為1mm的玻璃管，豎直插入盛水銀的容器里，管的下端在水銀面以下lcm處，若管 內(nèi)空氣壓強比外界壓強低3X103 Pa，水銀在管內(nèi)會升到多高?設(shè)與玻璃接觸角為140°，水銀表面張

34、力系 數(shù)a =465X 10-3N ? m-i,水銀密度p =13.6X 103kg ? m-3。 解：管內(nèi)水銀柱上升應(yīng)來自兩方面的原因，一是內(nèi)外壓強差所致；二是液體與毛細管潤濕與不潤濕所 致。 由已知，4=3X103 Pa，則管內(nèi)液柱上升的高度片為 h1二如 1 Pg 又由已知0=140°，水銀與毛細管不潤濕，液體在管內(nèi)下降高度為 2 a cos 0 p gr 則水銀在管內(nèi)上升的高度為 7 7 3 x 103 2 x 465 x 10-3 x cosl40° 1 2 13.6 x 103 x 9.8 13.6 x 103 x 9.8 x 5 x 10-4 =1.18 x

35、 10 - 2 m 【評注】此題為典型的毛細管現(xiàn)象。當液體潤濕毛細管時液面在管內(nèi)上升，不潤濕時在管內(nèi)下降。管內(nèi)液面上升（下降） 的高度h與表面張力系數(shù)a成正比，與毛細管半徑成反比。毛細管半徑越小，在潤濕情況下，管內(nèi)液面上升得越高，在不潤 濕時，管內(nèi)液面下降得越多。 例3.15如圖所示，U型管中注以水，設(shè)右邊毛細管的內(nèi)半徑r =5.0X 10-5m，左邊毛細管的內(nèi)半徑R=2.0 圖3.6 例3.15圖 X 10-4m，求兩管內(nèi)水面的高度差h。水的表面張力系數(shù)a = 73x 10-3 N-m-1， 接觸角0 = 0。。 解：因水與管壁的接觸角0 = 0。即水完全潤濕管壁，彎曲液面為凹液

36、面。 故左邊毛細管中液面下A點的壓強為 2a 右邊毛細管中液面下B點的壓強為 應(yīng)用靜力學(xué)原理，A、B兩點的壓強差為 則有 2a pb=p 0 ^r 役-Pb =Pgh 2a 2a 2 x 73 x 10 -3( 103 x 9.8 5.0 x 10-5 2.0 加 =0.22m 【評注】如果不考慮毛細管現(xiàn)象，則兩點間的壓強差純屬靜力學(xué)問題。若考慮 到毛細現(xiàn)象時，液體與管壁之間的潤濕與不潤濕所引起的液面上升或下降也應(yīng)包含。 例3.16 —根兩頭開口的玻璃毛細管,內(nèi)直徑d=0.40mm,長l0=2Ocm。 水平地浸入水銀中，空氣全部留在管內(nèi)。若管子浸入深度=15伽，如圖

37、 所示。求管中空氣柱的長度l。已知接觸角0 = 180， 水銀 空氣 圖3.7 例3.16圖 a = 490 x 10-3 N - mt, p = 1 atm。 水銀 0 解：空氣柱從空氣放入水銀中，可近似看作等溫變化，若設(shè)放入水銀中空氣的壓強為P，大氣壓強為 p0,貝y有pi=p0i0。因水銀與玻璃不潤濕，所以要用到附加壓強的概念。設(shè)水銀面處的壓強為p',由附加 壓強的定義可知 2a r 4a =d P' = P 0 + P gh 4a 4 x 490 x10 -3 0.40 x10-3 P = P 0 + 勁 一丁 =1.13xl05 +13.6x103

38、 =1.28x105Pa 空氣柱中氣體做等溫變化，故有 pl = p l 00 p =17.6cm 1.13 x 105 x 20 1.28 x 105 【評注】當毛細管水平地浸入水銀中，空氣全部留在管內(nèi)，且浸入的深度只有15cm,那么氣柱體積的變化是由于壓強 的改變而變化。因此問題的關(guān)鍵是求出空氣柱內(nèi)氣體的壓強，從而歸結(jié)為靜力學(xué)壓強和附加壓強的問題。 例3.17樹干外層是由一些木質(zhì)的細管子組成，假設(shè)每個細管都是均勻的圓柱體，樹液完全由毛細現(xiàn)象 而上升，樹液的表面張力系數(shù)為0.05 N?m-1，接觸角為45°。問高為20 m的樹，木質(zhì)管子的最大半徑是 多少？樹液密度近似取水

39、的密度。 解：樹液上升是由于毛細現(xiàn)象，根據(jù)毛細管理論，樹液在管內(nèi)上升的高度為 2a cos 0 Pgr 26 故毛細管的半徑為 2a cos0 2 x 0.05cos 45o ? / r = = = 3.6 -7 m pgh 103 x 9.8 x 20 【評注】樹液上升是由于毛細現(xiàn)象，毛細管內(nèi)液體上升的高度與管徑成反比，管徑越小，液體在管內(nèi)上升的高度則越高， 而越高的樹，其樹內(nèi)的木質(zhì)管徑越細。 例3.18 一根橫截面是圓形的管子，外半徑是0.14cm, —端封閉，在管的封閉端加一重物，并使管的 封閉端向下豎直地浮在水里。管和重物的總質(zhì)量為).2g,如果接觸角為零，問管的封

40、閉端低于水面多少？ a = 73 x 10-3 N - m-1。 水 解：已知管半徑R=0.14cm=1.4X 10-3m，管和重物的總質(zhì)量m=0.2g=2X 10-4kg，設(shè)管子的封閉端沒入水 面的深度為h,則管子所受浮力為 / = p n R 2 h 浮水 管子與表面層水之間的表面張力為 f = aL = a 2n R 張 由三力平衡得 G = f + f 浮張 即 mg = p n R 2 h + a 2n R 水 mg-a 2nR h = p nR 2 水 =2x 10-4 x9.8 一73x 10-3 x 2x 3.14x1.4x 10-3 = 1

41、03 x3.14x(1.4x 10-3)2 = 0.214 m 【評注】管子在水中受三個力的作用：①管子和重物的重力作用；②管子深入液體內(nèi)所受浮力；③管子與表面層水之間 存在表面張力。由三力平衡列方程求解。本題在分析受力時，易將表面張力漏掉，而且在計算其大小時，表面張力系數(shù)的三 個定義要根據(jù)情況靈活運用。 3.4 課后習(xí)題選解 3.1 一矩形框被可移動的橫桿分成兩部分， 這兩部分分別蒙以表面張力系數(shù)為 40 x10 -3 和 70x 10-3N - m-1的液膜，橫桿與框的一邊平行長度0.1m為，求橫桿所受的力。 解：根據(jù)表面張力定義F = aL 得f = a 2L f = a 2

42、L 1 1 2 2 F = f — f = 2(a — a)L = 2 xC。x 10-3 — 40 x 10-3 )x 0.1 = 6 x 10-3N 2 1 2 1 3.2 一個毛細管，水能在管內(nèi)升高到h，假如把這個毛細管插入水中，露出水面的高度h/2為，你能不 能由此得到人造噴泉，為什么？水在管中上升的高度是多少這時接觸角多大？ 解：不能，由于水面上升到處，液面的曲率半徑增大。 2a h =— pgr h 2a cos 0 2 Pgr cos0 0=1 3.3如圖3.8，半徑為r的毛細管插入水中，圖中A、B、C、D各點的壓強是多少？ 解：p = p p

43、= p p = 0 p = p -p = p -絲=p -2acos° 0為接觸角。 A 0 D 0 C B 0 S 0 R 0 r 3.4等溫地吹出一個直徑d=5.0X10-2n的肥皂泡需做多少功？這時肥皂內(nèi)外壓強差是多少（肥皂泡的 表面張力系數(shù)為a = 2.5 x 10-2N - m-1) ? 解：根據(jù)表面張力定義AW = aAS，得 AW = aAS = 2.5 x10-2 x 2 x 4n x r2 =2.5xlO-2 x 2x 4x3.14x 5.0 x10-2) =3.925 x 10-4J 4a 4x 2.5x10-2 P = = = 4Pa s

44、 R 5.0 x 10-2 2 3?5 —個人先吹起了一個半徑為°的肥皂泡, 接著他又在剛才那個肥皂泡內(nèi)吹起了一個半徑為1的肥 皂泡。⑴試求此時外面那個肥皂泡的半徑與°、 r1 之間的關(guān)系；（2）此人在吹第二個肥皂泡時所做的功 為多少？假設(shè)吹肥皂泡的過程很緩慢，周圍環(huán)境的壓強為0，溫度為^肥皂泡表面張力系數(shù)加。 解：（1）設(shè)后來外面肥皂泡的半徑為R，則兩肥皂泡之間的壓強和體積分別為: 4a 4 p = p + V =—兀（R3 - r3） 0 R 3 1 由 pV = 常數(shù) ，得 4a 4 4a 4 p V = (p + ) x 兀(

45、R3 - r3) = (p + ) x 兀 r3 2 2 0 R 3 1 - " ” 4a 4tt 由上式可得：（p + ） x （R3 — r3） = （p + ） r3 0 R 1 0 r 0 0 （2）在吹第二個肥皂泡時液體表面增加的勢能為 AE =a ? AS =a ? [4兀r2 + 4兀(R2 一 r2)]? 2 = 8mx(r2 + R2 一r2) p 由功能轉(zhuǎn)化原理外界做的凈功為 而大氣對肥皂泡做的負功為 W 大氣 所以人做的功為 W = AE 凈 p 4 =p ?—兀(R 3 一 r 3) 03 0 4 W = AE + W = 8兀a（

46、r2 + R2 一 r2） + 兀 p （R3 一 r3） p 大氣 1 0 3 0 0 3.6如圖所示，在水中平行而豎直地插入兩塊間距為0.5mm玻璃板。求板間水面上升的高度？已知接 觸角 0 = 0 ,水的 a = 7.3 x 10-2 N ? m-1。 解：根據(jù)題意,表面張力在豎直方向上的分量與液塊重力平衡得 2la cos 0 = Idhpg 于是 2acosa h = = 2 x 7.3 x 10 -5°° = 2.98 x 10 一 2m pgd 1.0 x 103 x 9.8 x 0.5 x 10-3 3.7 一根內(nèi)直徑為1.0mm上端封口的玻璃管，豎直插入

47、水銀中，平衡后,管內(nèi)氣壓比大氣壓低30 X 102Pa, 求水銀在管內(nèi)變化的高度？接觸角0 = 140°, a = 465 x 10-3 N ? m-1。 解：因為管內(nèi)液柱比管外高是由毛細現(xiàn)象和壓強差共同產(chǎn)生的 7 AP 2acos0 3.0x 102 2x465x 10-3 xcos140° . “ h = + = + = 1.18 x 10-2 m pg pgr 13.6x103 x9.8 1.0 13.6 x 103 x 9.8 x x 10-3 2 3.8 一株高5m的樹，外層載水管子（樹液輸管）為均勻毛細管，半徑X 10-4mm為；設(shè)樹液的表面張 力系數(shù)a = 0.

48、05N? m-1，接觸角為45°，問樹的根部最小壓強為多少時,才能使樹液上升到樹的頂端（樹 液的密度近似取水的密度）？ 解:方法與3 .7同 ， P = -2.035 x 105Pa 3.9在50km2的湖面上，下了一場50mm的大雨，雨滴半徑r = l.Omma = 72.8 x 10-3N ? m-1設(shè)溫度 不變，求釋放出來的能量。 解：在雨滴匯聚成水面過程中，體積不變得 4 4 （ Sh = n — nr 3 50 x 10-6 x 50 x 10-3 = n — n x 1.0 x 10-3 3 3 r n = 6 x 1014 AE = aAS = a 2 - S

49、)= 72.8x 10-3 x 匸x 1014 x 4x 3.14x(.0x 10-3) -50x 10 J = 5.4 x108 J 3.10深為h=2.0m的水池底部產(chǎn)生的直徑為d=5.0X10-5m的氣泡，等溫地上升到水面上時，直徑為多 大？水的表面張力系數(shù)為a = 7.3 x 10 -2N.m-1。 解：設(shè)氣泡在水面處的半徑為R',壓強為P'。在

50、水面下h處的半徑為R,壓強為P 根據(jù)題意 4 nR 3 匕_ 3 P' 1 2a + Pgh + - R P = P + 絲 0 R （1） 2） 3） （1）（2）（3）聯(lián)立得 R' = 2.69 x 10 -5 m，對應(yīng)的直徑 d' = 2 R' = 5.38 x 10 -5 m 3.11半徑為1.0X10-2m的球形泡在壓強為1.136X 105Pa的大氣中吹成，如泡膜的表面張力系數(shù)為 a = 5.0x10-2N?m-1，問周圍的大氣壓強多大，才可能使泡的半增加為2.0x 10-2N ?設(shè)這種變化是在等 溫情況下進行的。 解：設(shè)半徑R=1.0X 10-

51、2m時壓強為P半徑為2.0X 10-2m時,壓強為P' P = 1136 X105「 P' = P 0 4a + R' （1） 2） 4 nR' 3 3） 3 4 nR 3 3 1）（2）（3）聯(lián)立求解得 P0=14192.5Pa 3?12兩個半徑為a1和^的肥皂泡接觸后合并成一半徑為a的肥皂泡，設(shè)周圍環(huán)境的壓強為仏，溫 度為T0，肥皂泡表面張力系數(shù)知。求半徑a1，a2和a之間的關(guān)系。 解：合并前兩肥皂泡內(nèi)的壓強分別為 4a p = p + 1 0 a 1 4a p = p + 2 0 a 2 合并后肥皂泡內(nèi)的壓強為 4a p

52、 = p0+ 0a 由pV = p V + p V，及以上三式可得半徑a，a和a之間的關(guān)系為: 1 1 2 2 1 2 p a3 + 4aa2 = p (a3 + a3) + 4a(a2 + a2) 0 0 1 2 1 2 3.13 有人可以吹出套在一起的肥皂泡，即在一個大的肥皂泡內(nèi)套著一個小的肥皂泡，設(shè)大的肥皂泡半 徑為r，小的肥皂泡半徑為r。受擾動小的肥皂泡破裂，問此時大的肥皂泡半徑與r、r之間的關(guān)系。 1 2 1 2 設(shè)周圍環(huán)境的壓強為P0,溫度為T，肥皂泡表面張力系數(shù)為x。 00 解：小肥皂泡破裂前兩肥皂泡內(nèi)的壓強分別為 P = P。+匚 4x 4x p

53、 = p + + —— 小肥皂泡破裂后大肥皂泡內(nèi)的壓強為 由pV = p V + p V，及以上三式可得半徑r與r、r之間的關(guān)系為： 1 1 2 2 1 2 p r3 + 4ar2 二 p (r3 + r3) + 4a(r2 + r2 + 2) 0 0 1 2 1 2 r 3.14 一個半徑為5cm金屬圓環(huán)，從液體中剛能拉出時，測得在環(huán)的懸線上力IF=2.83X10-2N的向上的 拉力，求該液體的表面張力系數(shù)(被拉出的液膜可視為很短的圓柱面。) 解：根據(jù)地 F = aL得 F = a 2nr 2.83 x 10-2 = 2 x 2 x 2 x 3.14 x 5 x

54、10 -2 a = 2.25 x10 -2N - m-1 3.15我們可以利用毛細現(xiàn)象來測定一些微管的內(nèi)徑。已知在20°C時，水能將玻璃完全浸潤，即水與玻 璃的接觸角為0 = 0 C,水的表面張力系數(shù)為a = 0.073N/m。測得水在某一玻璃細管中的上升高度為 5cm,問這一細管的內(nèi)徑為多少？ 2a cos0 解：由毛細現(xiàn)象的公式h = ，得 2a cos 0 r= Pgh 2 x 0.073 即管的內(nèi)半徑為：0.29mm。 3.16 某燈芯能把水引到 80mm 的高度問酒精在這燈芯中可以上升多高？水的表面張力系數(shù)為 a = 7.3x 10-2N?m-1，酒精的表面

55、張力系數(shù)為a = 2.23x10-2N-m-1，密度為7.9x 102kg - m-3，接觸 角為0°。 2acos0 解：根據(jù)液體在毛細管中上升或下降的高度h= 得 h p'a h' pa' 即: 得 h _ 31mm 80 _ 7.9 x102 x 7.2 xlO-2 ~h~ 1.0 x 103 x 2.23 x 10-2 3.17水的表面張力系數(shù)為a _ 7.3x10-2N-m-1，求在半徑為0.1mm的毛細管中，由于表面張力而能 支持水柱的重量。 解：G _ a2兀r _ 7.3 x 10-2 x 2 x 3.14 x 0.1 x 10-3 _ 4.58 x 10

56、-5 N 3.18在插入水中半徑r _ 0.50mm的玻璃毛細管內(nèi)，水上升多高？如果又插入水銀中，同樣管徑的管 內(nèi)水銀面下降多少？（已知a _ 7.3 x 10-2 N - m-1 a _ 4.7 x 10-1N - m-1 p _ 1.0 x 10-3kg - m-3, p _ 13.6 x 10-3kg - m-3) 銀 水 銀 解： 1 2a cos 0 h _ 水 pgr 2 x 7.3 x 10 -2 1.0 x 103 x 9.8 x 0.5 x 10-3 _ 2.98x10-2m 1.41x10-2m 2x4.7x10-1 h _ 水銀 1

57、3.6 x 103 x 9.8 x 0.5 x 10-3 3.19移液管中有1 ml農(nóng)用殺蟲藥物其密度p _ 0.995 x 103kg ?m-3。今令其從移液管中級緩滴出， 共分30滴全部滴完。經(jīng)過測定，已知藥物將要下落時，其頸部的直徑為0.189cm，求藥液的表面張力系數(shù)。 解：根據(jù)題意表面張力的合力支持重^竺_ a2nr，帶入已知條件 n 9.8 x 0.995 x 103 x 1 x 10-6 30 a x 2 x 3.14 x x 10 - 2 2 解得 a _ 5.47 x 10-2N - m-1 3.20水和油邊界的表面張力系數(shù)a _ 18x10-3N

58、-m-1，為了使0.2X10-3kg質(zhì)量的油在水內(nèi)散布成小 油滴（當做球形）需做功24 X 10-2J，問小油滴的半徑多大？散布過程可認為是等溫的，油的密度 p _ 900kg - m -3。 44 解：根據(jù)題意 V _ 3兀R3 _ n 3兀廠3 （ 1） AS _ n4兀r2 一 4兀R2 （2） AW _ aAS （3） （1）（2）（3）聯(lián)立求解得： r_5x10-8m 3.21 試計算直徑為 2mm 的球形肥皂泡內(nèi)氣體的壓強和球形肥皂液滴內(nèi)液體的壓強（肥皂液的 a _ 2.5 x10-2N - m-1 ）。 4a 4 x 2.5 x10 -2 解: P _ P +

59、——_ 1.013 x 105 + ——. _ 1.014 x 105Pa 解：泡 0 R 1 x 2 x 10-3 2a P = P + = 1.0135 x 105Pa 滴內(nèi) 0 R 3.22將一充滿水銀的氣壓計下端浸在寬大盛水銀的容器中，讀數(shù)為95X104Pa, (1)求水銀的高度； (2)考慮到毛細現(xiàn)象，真正的大氣壓強為多大？ 一只毛細管的直徑為d=2.0 X 10-3m,接觸角 0 = n a = 4.9 x 10-1N - m-1。 水銀 解：(1)根據(jù)p = Pgh 得 H = — = 713mnHg Pg (2)由于毛細現(xiàn)象水銀在氣壓計中下降的高度 2a

60、cos0 2a Ah = =— Pgr pgr p = pg (h + Ah )= 0.96 x 105 Pa 空 3.23 一根橫截面是圓形的管子，外半徑是0.14cm, —端封閉，在管的封閉端加以重物并使管的封閉 端豎直向下地浮在水里。管和重物的總質(zhì)量為0.2g，如果接觸角為零，問管的封閉端低于水面多少？ a = 7.3 x 10-2N - m-1。 水 解：根據(jù)題意Mg + F = F 即g + a2nr = pgsh 張力 浮 0.2 x 10-3 x 9.8 + 7.3 x 10-2 x 2 x 3.14 x 0.14 x 10-2 = 1.0 x 103 x 9.8 x 3.14 x (0.14 x 10-2)2 h 解得 h = 4.3x10-2 m