2019年高考數學 高考題和高考模擬題分項版匯編 專題02 函數的概念與基本初等函數Ⅰ理（含解析）

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1、專題02 函數的概念與基本初等函數I 1．【2019年高考全國Ⅰ卷理數】已知，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 即 則． 故選B． 【名師點睛】本題考查指數和對數大小的比較，考查了數學運算的素養(yǎng)．采取中間量法，根據指數函數和對數函數的單調性即可比較大?。? 2．【2019年高考天津理數】已知，，，則的大小關系為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因為， ， ，即， 所以. 故選A. 【名師點睛】本題考查比較大小問題，關鍵是選擇中間量和利用函數的單調性進行比較. 3．【2019年高考全國Ⅱ卷理數】若a>b，則 A．ln(

2、a?b)>0 B．3a<3b C．a3?b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【解析】取，滿足，但，則A錯，排除A； 由，知B錯，排除B； 取，滿足，但，則D錯，排除D； 因為冪函數是增函數，，所以，即a3?b3>0，C正確. 故選C． 【名師點睛】本題主要考查對數函數的性質、指數函數的性質、冪函數的性質及絕對值的意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷． 4．【2019年高考北京理數】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽

3、的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為 A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10?10.1 【答案】A 【解析】兩顆星的星等與亮度滿足， 令， 則 從而. 故選A. 【名師點睛】本題以天文學問題為背景，考查考生的數學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及對數的運算. 5．【2019年高考全國Ⅰ卷理數】函數f(x)=在的圖像大致為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得是奇函數，其圖象關于原點對稱． 又，可知應為D選項中的圖象． 故選D． 【名師點睛】本題考查函數的性質與圖象的識

4、別，滲透了邏輯推理、直觀想象和數學運算素養(yǎng)．采取性質法和賦值法，利用數形結合思想解題． 6．【2019年高考全國Ⅲ卷理數】函數在的圖像大致為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設，則，所以是奇函數，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C． 又排除選項D； ，排除選項A， 故選B． 【名師點睛】本題通過判斷函數的奇偶性，排除錯誤選項，通過計算特殊函數值，作出選擇．本題注重基礎知識、基本計算能力的考查． 7．【2019年高考浙江】在同一直角坐標系中，函數，(a>0，且a≠1)的圖象可能是 【答案】D 【解析】當時，函數的圖象過定點且單調遞減，則函數的圖象過定點且單調

5、遞增，函數的圖象過定點且單調遞減，D選項符合； 當時，函數的圖象過定點且單調遞增，則函數的圖象過定點且單調遞減，函數的圖象過定點且單調遞增，各選項均不符合. 綜上，選D. 【名師點睛】易出現的錯誤：一是指數函數、對數函數的圖象和性質掌握不熟練，導致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認識函數的單調性. 8．【2019年高考全國Ⅱ卷理數】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道

6、運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 因為， 所以， 即， 解得， 所以 故選D. 【名師點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復雜式子的變形易出錯． 9．【2019年高考全國Ⅲ卷理數】設是定義域為R的偶函數，且在單調遞減，則 A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（） C．（

7、）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3） 【答案】C 【解析】是定義域為的偶函數，． ， 又在(0，+∞)上單調遞減， ∴， 即. 故選C． 【名師點睛】本題主要考查函數的奇偶性、單調性，先利用函數的奇偶性化為同一區(qū)間，再利用中間量比較自變量的大小，最后根據單調性得到答案． 10．【2019年高考全國Ⅱ卷理數】設函數的定義域為R，滿足，且當時，．若對任意，都有，則m的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，． ∵時，； ∴時，，； ∴時，，， 如圖： 當時，由解得，， 若對任意，都有，則. 則m的取值范圍是.

8、 故選B. 【名師點睛】本題考查了函數與方程，二次函數.解題的關鍵是能夠得到時函數的解析式，并求出函數值為時對應的自變量的值. 11．【2019年高考浙江】已知，函數．若函數恰有3個零點，則 A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0 【答案】C 【解析】當x＜0時，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b1-a， 則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點； 當x≥0時，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b， ， 當a+1≤0，即a≤

9、﹣1時，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調遞增， 則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點，不合題意； 當a+1＞0，即a>﹣1時，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時函數單調遞增， 令y′＜0得x∈[0，a+1），此時函數單調遞減，則函數最多有2個零點. 根據題意，函數y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個零點?函數y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個零點，在[0，+∞）上有2個零點， 如圖： ∴b1-a＜0且-b＞013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b＜0， 解得b＜0，1﹣a＞0，b＞-16（a+1）3， 則a>–1，b<0. 故選C．

10、 【名師點睛】本題考查函數與方程，導數的應用.當x＜0時，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一個零點；當x≥0時，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b，利用導數研究函數的單調性，根據單調性畫出函數的草圖，從而結合題意可列不等式組求解． 12．【2019年高考江蘇】函數的定義域是 ▲ . 【答案】 【解析】由題意得到關于x的不等式，解不等式可得函數的定義域. 由已知得,即，解得， 故函數的定義域為. 【名師點睛】求函數的定義域，其實質就是以函數解析式有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可． 13．【2019年

11、高考全國Ⅱ卷理數】已知是奇函數，且當時，.若，則__________． 【答案】 【解析】由題意知是奇函數，且當時，， 又因為，， 所以， 兩邊取以為底數的對數，得， 所以，即． 【名師點睛】本題主要考查函數的奇偶性，對數的計算． 14．【2019年高考北京理數】設函數（a為常數）．若f（x）為奇函數，則a=________；若f（x）是R上的增函數，則a的取值范圍是___________． 【答案】 【解析】首先由奇函數的定義得到關于的恒等式，據此可得的值，然后利用可得a的取值范圍. 若函數為奇函數，則即， 即對任意的恒成立， 則，得. 若函數是R上的增函數，則在

12、R上恒成立， 即在R上恒成立， 又，則， 即實數的取值范圍是. 【名師點睛】本題考查函數的奇偶性?單調性?利用單調性確定參數的范圍.解答過程中，需利用轉化與化歸思想，轉化成恒成立問題.注重重點知識?基礎知識?基本運算能力的考查. 15．【2019年高考浙江】已知，函數，若存在，使得，則實數的最大值是___________. 【答案】 【解析】存在，使得， 即有， 化為， 可得， 即， 由，可得. 則實數的最大值是. 【名師點睛】本題考查函數的解析式及二次函數，結合函數的解析式可得，去絕對值化簡，結合二次函數的最值及不等式的性質可求解. 16．【2019年高考北京理

13、數】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%． ①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________． 【答案】①130；②15 【解析】①時，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付元. ②設顧客一次購買水果的促銷前總價為元，

14、 當元時，李明得到的金額為，符合要求； 當元時，有恒成立， 即， 因為，所以的最大值為. 綜上，①130；②15. 【名師點睛】本題主要考查函數的最值，不等式的性質及恒成立，數學的應用意識，數學式子變形與運算求解能力.以實際生活為背景，創(chuàng)設問題情境，考查學生身邊的數學，考查學生的數學建模素養(yǎng). 17．【2019年高考江蘇】設是定義在R上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數.當時，，，其中k>0.若在區(qū)間(0，9]上，關于x的方程有8個不同的實數根，則k的取值范圍是 ▲ . 【答案】 【解析】作出函數，的圖象，如圖： 由圖可知，函數的圖象與的圖象僅有2個

15、交點，即在區(qū)間(0，9]上，關于x的方程有2個不同的實數根， 要使關于的方程有8個不同的實數根， 則與的圖象有2個不同的交點， 由到直線的距離為1，可得，解得， ∵兩點連線的斜率， ∴， 綜上可知，滿足在(0,9]上有8個不同的實數根的k的取值范圍為. 【名師點睛】本題考查分段函數，函數的圖象，函數的性質，函數與方程，點到直線的距離，直線的斜率等，考查知識點較多，難度較大.正確作出函數，的圖象，數形結合求解是解題的關鍵因素. 18．【云南省玉溪市第一中學2019屆高三第二次調研考試數學】函數的零點所在的一個區(qū)間是 A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D

16、．（1,2） 【答案】B 【解析】易知函數在定義域上單調遞增且連續(xù)， 且，，f(0)=1>0， 所以由零點存在性定理得，零點所在的區(qū)間是（-1,0）. 故選B. 【名師點睛】本題考查函數的單調性和零點存在性定理，屬于基礎題. 19．【云南省玉溪市第一中學2019屆高三第二次調研考試數學】下列函數中，既是偶函數，又在區(qū)間上單調遞減的函數是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，，為偶函數， 在區(qū)間上，單調遞減，單調遞增，有增有減. 故選B. 【名師點睛】本題考查函數的奇偶性和單調性，屬于基礎題. 20．【山東省德州市2019屆高三第二次練習數學】設函

17、數，則 A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【解析】∵函數， ∴=2+9=11． 故選B． 【名師點睛】本題考查分段函數、函數值的求法，考查對數函數的運算性質，是基礎題． 21．【山東省濟寧市2019屆高三二模數學】已知f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數，當x∈(0,2)時，f(x)=x2+lnx，則f(2019)= A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由題意可得：f(2019)=f(505×4-1)=f(-1)=-f(1)=-12+ln1=-1. 故選A． 【名師點睛】本題主要考查函數的奇偶性，函數的周期性等知識，意在考

18、查學生的轉化能力和計算求解能力. 22．【黑龍江省哈爾濱市第三中學2019屆高三第二次模擬數學】函數的單調減區(qū)間為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函數， 則或， 故函數的定義域為或， 由是單調遞增函數，可知函數的單調減區(qū)間即的單調減區(qū)間， 當時，函數單調遞減， 結合的定義域，可得函數的單調減區(qū)間為. 故選A. 【名師點睛】本題考查了復合函數的單調性，要注意的是必須在定義域的前提下，去找單調區(qū)間. 23．【山東省煙臺市2019屆高三3月診斷性測試（一模）數學】若函數是定義在上的奇函數，，當時，，則實數 A． B．0 C．1 D．2 【答案】C

19、 【解析】∵是定義在上的奇函數，， 且時，， ∴， ∴． 故選C． 【名師點睛】本題主要考查函數奇偶性的應用，以及已知函數值求參數的方法，熟記函數奇偶性的定義即可，屬于?？碱}型. 24．【北京市房山區(qū)2019屆高三第一次模擬測試數學】關于函數f(x)=x-sinx，下列說法錯誤的是 A．fx是奇函數 B．fx在-∞,+∞上單調遞增 C．x=0是fx的唯一零點 D．fx是周期函數 【答案】D 【解析】f-x=-x-sin-x=-x+sinx=-fx，則fx為奇函數，故A正確； 由于f'x=1-cosx≥0，故fx在-∞,+∞上單調遞增，故B正確； 根據fx在-∞,+∞上

20、單調遞增，f0=0，可得x=0是fx的唯一零點，故C正確； 根據fx在-∞,+∞上單調遞增，可知它一定不是周期函數，故D錯誤. 故選D. 【名師點睛】本題考查函數性質的綜合應用，關鍵是能夠利用定義判斷奇偶性、利用導數判斷單調性、利用單調性判斷零點. 25．【河南省鄭州市2019屆高三第三次質量檢測數學】我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休，在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象的特征，如函數的圖象大致是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因為函數，， 所以函數不

21、是偶函數，圖象不關于y軸對稱，故排除A、B選項； 又因為所以， 而選項C在時是遞增的，故排除C. 故選D. 【名師點睛】本題考查了函數的圖象和性質，利用函數的奇偶性和取特值判斷函數的圖象是解題的關鍵，屬于基礎題. 26．【四川省百校2019屆高三模擬沖刺卷】若函數的大致圖象如圖所示，則的解析式可以是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】當x→0時，f（x）→±∞，而A中的f（x）→0，排除A； 當x＜0時，f（x）＜0，而選項B中x＜0時，>0， 選項D中，>0，排除B，D， 故選C． 【名師點睛】本題考查了函數的單調性、函數值的符號，考查數形結合思想，利

22、用函數值的取值范圍可快速解決這類問題． 27．【天津市北辰區(qū)2019屆高考模擬考試數學】已知函數fx是定義在R上的偶函數，且在0,+∞上單調遞增，則三個數a=f-log313，b=flog1218，c=f20.6的大小關系為 A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b 【答案】C 【解析】∵2=log39fl

23、og313>f20.6，即b>a>c. 故選C. 【名師點睛】本題考查利用函數的單調性比較大小的問題，關鍵是能夠利用奇偶性將自變量變到同一單調區(qū)間內，再通過指數、對數函數的單調性，利用臨界值確定自變量的大小關系. 28．【寧夏銀川一中2018屆高三第二次模擬考試數學】已知不等式xy≤ax2+2y2對于x∈[1,2],y∈2,3恒成立，則a的取值范圍是 A．1,+∞ B．-1,4 C．-1,+∞ D．-1,6 【答案】C 【解析】不等式xy≤ax2+2y2對于x∈[1,2],y∈2,3恒成立，等價于a≥yx-2yx2對于x∈[1,2],y∈2,3恒成立， 令t=yx，則1≤t≤3

24、，∴a≥t-2t2在1,3上恒成立， ∵y=-2t2+t=-2t-142+18，∴t=1時，ymax=-1， ∴a≥-1， 故a的取值范圍是-1,+∞. 故選C． 【名師點晴】本題主要考查二次函數的性質以及不等式恒成立問題，不等式恒成立問題的常見解法：①分離參數，a≥fx恒成立，即a≥fxmax，或a≤fx恒成立，即a≤fxmin； ②數形結合，fx>gx，則y=fx的圖象在y=gx圖象的上方； ③討論最值，fxmin≥0或fxmax≤0恒成立. 29．【北京市朝陽區(qū)2019屆高三第二次（5月)綜合練習（二模）數學】已知函數，若函數存在零點，則實數a的取值范圍是 A． B．

25、 C． D． 【答案】D 【解析】函數的圖象如圖： 若函數存在零點，則實數a的取值范圍是（0，+∞）． 故選D． 【名師點睛】本題考查分段函數，函數的零點，考查數形結合思想以及計算能力． 30．【山東省煙臺市2019屆高三5月適應性練習（二）數學】已知函數的定義域為,為偶函數，且對，滿足.若，則不等式的解集為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因為對，滿足，所以當時，是單調遞減函數，又因為為偶函數，所以關于直線對稱，所以函數當時，是單調遞增函數，又因為，所以有， 當，即當時， ； 當，即當時， ， 綜上所述：不等式的解集為. 故選A． 【名師

26、點睛】本題考查了抽象函數的單調性、對稱性、分類討論思想. 對于來說，設定義域為，，， 若，則是上的增函數； 若，則是上的減函數. 31．【重慶西南大學附屬中學校2019屆高三第十次月考數學】已知是偶函數，在上單調遞減，，則的解集是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因為是偶函數，所以的圖象關于直線對稱， 因此，由得， 又在上單調遞減，則在上單調遞增， 所以，當即時，由得，所以， 解得； 當即時，由得，所以，解得， 因此，的解集是. 故選D. 【名師點睛】本題考查函數的奇偶性和單調性，不等式的求解，先根據函數的奇偶性得到函數在定義域上的單調性，從而分類討

27、論求解不等式. 32．【山東省德州市2019屆高三第二次練習數學】已知定義在R上的函數在區(qū)間上單調遞增，且的圖象關于對稱，若實數a滿足，則a的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據題意，的圖象關于直線對稱，則函數的圖象關于軸對稱，即函數為偶函數， 又由函數在區(qū)間上單調遞增， 可得，則， 即，解得， 即a的取值范圍為. 故選C． 【名師點睛】本題考查函數的單調性與奇偶性的應用，考查對數不等式的解法. 33．【陜西省西安市2019屆高三第三次質量檢測數學】若定義在R上的函數fx滿足f(x+2)=f(x)且x∈[-1,1]時，fx=x，則方程fx=l

28、og3x的根的個數是 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】因為函數fx滿足fx+2=fx，所以函數fx是周期為2的周期函數. 又x∈[-1,1]時，fx=|x|，所以函數fx的圖象如圖所示. 再作出y=log3x的圖象，如圖， 易得兩函數的圖象有4個交點， 所以方程f(x)=log3|x|有4個根． 故選A． 【名師點睛】本題考查函數與方程，函數的零點、方程的根、函數圖象與x軸交點的橫坐標之間是可以等價轉化的. 34．【廣東省汕頭市2019屆高三第二次模擬考試（B卷)數學】已知函數，，設為實數，若存在實數，使得成立，則的取值范圍為 A． B．

29、 C． D． 【答案】A 【解析】因為， 所以當時，單調遞增，故； 當時，， 當且僅當，即時，取等號， 綜上可得，f(x)∈[2,+∞). 又因為存在實數a，使得g(b)+f(a)=2成立， 所以只需g(b)≤2-f(a)min，即g(b)=b2-b-2≤0， 解得-1≤b≤2. 故選A. 【名師點睛】本題主要考查分段函數的值域，將存在實數a，使得g(b)+f(a)=2成立，轉化為g(b)≤2-f(a)min是解題的關鍵，屬于常考題型. 35．【云南省玉溪市第一中學2019屆高三第二次調研考試數學】若，則的定義域為____________. 【答案】 【解析】要使

30、函數有意義，需， 解得. 則的定義域為. 【名師點睛】本題考查函數的定義域，屬于基礎題. 36．【山東省濱州市2019屆高三第二次模擬（5月）考試數學】若函數f(x)=x2-(a-2)x+1(x∈R)為偶函數，則loga27+log1a87=__________． 【答案】-2 【解析】函數f(x)為偶函數，則f(x)=f(-x)， 即：x2-(a-2)x+1=x2+(a-2)x+1恒成立， ∴a-2=0,a=2. 則loga27+log1a87=log227+log278=log227×78=log214=-2. 【名師點睛】本題主要考查偶函數的性質與應用，對數的運算法則

31、等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力. 37．【湖南省長沙市第一中學2019屆高三下學期高考模擬卷（一）數學】若函數稱為“準奇函數”，則必存在常數a，b，使得對定義域的任意x值，均有，已知為準奇函數”，則a＋b＝_________. 【答案】2 【解析】由知“準奇函數”關于點對稱. 因為=關于對稱，所以，， 則. 故答案為2. 【名師點睛】本題考查新定義的理解和應用，考查了函數圖象的對稱性，屬于基礎題． 38．【廣東省深圳市深圳外國語學校2019屆高三第二學期第一次熱身考試數學】函數為奇函數，則實數__________． 【答案】 【解析】函數為奇函數，， 即，

32、 則，即， ，則， ，則. 當時，， 則的定義域為：且， 此時定義域不關于原點對稱，為非奇非偶函數，不滿足題意； 當時，，滿足題意， . 【名師點睛】本題主要考查利用函數的奇偶性求解函數解析式，根據條件建立方程關系是解決本題的關鍵，易錯點是忽略定義域關于原點對稱的前提，造成求解錯誤． 39．【東北三省三校（遼寧省實驗中學、東北師大附中、哈師大附中)2019屆高三第三次模擬考試數學】若函數fx=2x+1mx+m-1,x≥0,x<0在-∞,+∞上單調遞增，則m的取值范圍是__________． 【答案】(0,3] 【解析】∵函數fx=2x+1mx+m-1,x≥0,x<0在-∞

33、,+∞上單調遞增， ∴函數y=mx+m-1在區(qū)間-∞,0上為增函數， ∴m>0m-1≤20+1=2，解得0