金融經(jīng)濟(jì)學(xué)(第七章 套利定價(jià)理論,APT)

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1、第第7章章套利定價(jià)理論（Arbitrage Pricing Theory，APT）CAPM的局限性的局限性（一）相關(guān)假設(shè)條件的局限性 1.市場(chǎng)無(wú)摩擦假設(shè)和賣(mài)空無(wú)限制假設(shè)與現(xiàn)實(shí)不符；2.投資者同質(zhì)預(yù)期與信息對(duì)稱的假設(shè)意味著信息是無(wú)成本的，與現(xiàn)實(shí)不符；3.投資者為風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假設(shè)過(guò)于嚴(yán)格；（二）（二）CAPM的實(shí)證檢驗(yàn)問(wèn)題的實(shí)證檢驗(yàn)問(wèn)題1.市場(chǎng)組合的識(shí)別和計(jì)算問(wèn)題市場(chǎng)組合的識(shí)別和計(jì)算問(wèn)題 理論上，市場(chǎng)資產(chǎn)組合定義為所有資產(chǎn)的加權(quán)組合，每一種資產(chǎn)的權(quán)數(shù)等于該資產(chǎn)總市場(chǎng)價(jià)值占所有資產(chǎn)總價(jià)值的比重。但實(shí)際上，市場(chǎng)資產(chǎn)涵蓋的范圍非常廣泛，因此，在CAPM的實(shí)際運(yùn)用中要識(shí)別一個(gè)真正的市場(chǎng)組合幾乎不可能。一些經(jīng)

2、濟(jì)學(xué)家采用一個(gè)容量較大的平均數(shù)（如標(biāo)準(zhǔn)普爾工業(yè)指數(shù)）作為市場(chǎng)資產(chǎn)組合的替代，對(duì)CAPM進(jìn)行了檢驗(yàn)，得出的結(jié)果卻與現(xiàn)實(shí)相悖。2.單因素模型無(wú)法全面解釋對(duì)現(xiàn)實(shí)中資產(chǎn)單因素模型無(wú)法全面解釋對(duì)現(xiàn)實(shí)中資產(chǎn)收益率決定的影響因素收益率決定的影響因素 Rosenberg and Marashe（1977）的研究發(fā)現(xiàn)，如果將紅利、交易量和企業(yè)規(guī)模加入計(jì)量模型，則系數(shù)會(huì)更有說(shuō)服力。Basu（1977）發(fā)現(xiàn)，低市盈率股票的期望收益率高于資本資產(chǎn)定價(jià)模型的估計(jì)；Banz(1981)的實(shí)證研究表明，股票收益率存在“規(guī)模效應(yīng)”，即小公司股票有較高的超常收益率；Kleim（1983）發(fā)現(xiàn)股票收益呈季節(jié)性變動(dòng)，即存在季節(jié)效應(yīng)

3、。兩方面的局限性都削弱了CAPM對(duì)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)的解釋能力。（三）關(guān)于（三）關(guān)于CAPM檢驗(yàn)的羅爾批評(píng)（檢驗(yàn)的羅爾批評(píng)（Rolls Critique）Roll（1977）對(duì)CAPM提出了如下批評(píng)意見(jiàn)：1.對(duì)于CAPM唯一合適的檢驗(yàn)形式應(yīng)當(dāng)是：檢驗(yàn)包括所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在內(nèi)的市場(chǎng)資產(chǎn)組合是否具有均值-方差效率。2.如果檢驗(yàn)是基于某種作為市場(chǎng)資產(chǎn)組合代表的股票指數(shù)，那么如果該指數(shù)具有均值-方差效率，則任何單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)都會(huì)落在證券市場(chǎng)線上，而這是由于恒等變形引起的，沒(méi)有實(shí)際意義；3.如果檢驗(yàn)是基于某種無(wú)效率的指數(shù)，則風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的任何情形都有可能出現(xiàn)，它取決于無(wú)效指數(shù)的選擇。該結(jié)論斷言，即便市場(chǎng)組合是均值-方差

4、效率的，CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能夠證明單一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)均衡收益同風(fēng)險(xiǎn)、市場(chǎng)組合之間存在某種有意義的關(guān)系。因此，羅爾認(rèn)為，由于技術(shù)上的原因和原理因此，羅爾認(rèn)為，由于技術(shù)上的原因和原理上的模糊，上的模糊，CAPM是無(wú)法檢驗(yàn)的。是無(wú)法檢驗(yàn)的。羅斯（Ross，1976）給出了一個(gè)以無(wú)套利定價(jià)為基礎(chǔ)的多因素資產(chǎn)定價(jià)模型，也稱套利定價(jià)理論模型（Arbitrage Pricing Theory，APT）。該模型由一個(gè)多因素收益生成函數(shù)推導(dǎo)而出，其理論基礎(chǔ)為一一價(jià)定律（價(jià)定律（The Law of One Price），），即兩種風(fēng)險(xiǎn)收益性質(zhì)相同的資產(chǎn)不能按不同價(jià)格出售。該模型推導(dǎo)出

5、的資產(chǎn)收益率決定于一系列影響資產(chǎn)收益的因素，而不完全依賴于市場(chǎng)資產(chǎn)組合，而套利活動(dòng)則保證了市場(chǎng)均衡的實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，APT對(duì)CAPM中的投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假設(shè)條件作了放松，從而較CAPM具有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)解釋能力。6.1單因子模型單因子模型n定義定義6.1 因子模型（或者指標(biāo)模型）是一種假設(shè)證券的回報(bào)率只與不同的因子或者指標(biāo)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)的經(jīng)濟(jì)模型。n因素模型中的因素常以指數(shù)形式出現(xiàn)（如GNP指數(shù)、股價(jià)指數(shù)、物價(jià)指數(shù)等）,所以又稱為指數(shù)模型。n單因素模型相對(duì)CAPM是為了解決兩個(gè)問(wèn)題：一是提供一種簡(jiǎn)化地應(yīng)用CAPM的方式；二是細(xì)分影響總體市場(chǎng)環(huán)境變化的宏觀因素，如國(guó)民收入、通脹率、利率、能源價(jià)格等具體帶來(lái)風(fēng)

6、險(xiǎn)的因素因素模型。n以回歸分析得單因素模型。一、因子模型的特點(diǎn)一、因子模型的特點(diǎn)n第一，因子模型中的因子應(yīng)該是系統(tǒng)影響所有證券價(jià)格的經(jīng)濟(jì)因子；n第二，在構(gòu)造的因子模型中，我們假設(shè)兩個(gè)證券的回報(bào)率相關(guān)（一起運(yùn)動(dòng)僅僅是因?yàn)樗鼈儗?duì)因子運(yùn)動(dòng)的共同反應(yīng)導(dǎo)致的）；n第三，證券回報(bào)率中不能由因子模型解釋的部分是該證券所獨(dú)有的，從而與別的證券回報(bào)率的特有部分無(wú)關(guān)。下表反映了公司i的股票收益率和國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（）的增長(zhǎng)率（簡(jiǎn)記為因子）和通貨膨脹率（簡(jiǎn)記為因子I）年的統(tǒng)計(jì)情況。ir年度5.7%1.1%14.3%2 6.4 4.4 19.2 3 7.9 4.4 23.4 4 7.0 4.6 15.6 5 5.1 6.

7、1 9.2 6 2.9 3.1 13.0ir假設(shè)證券的回報(bào)率生成過(guò)程僅包含一個(gè)因素，例如認(rèn)為證券的回報(bào)率與預(yù)期國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)率有關(guān)。n這一關(guān)系也可用下面的圖形表示 24201612844826n為了闡明圖中所反映的數(shù)量關(guān)系，我們使用一元回歸分析的統(tǒng)計(jì)技術(shù)做一條直線來(lái)擬合圖中的點(diǎn)。那么，圖中這條直線的回歸方程則為R Ri i=4%+2GDP=4%+2GDPn回歸方程和直線都表示較高預(yù)期的GDP與較高的證券收益率相關(guān)聯(lián)。n任一給定證券的實(shí)際回報(bào)率由于含有非因素回報(bào)率的緣故而位于擬合直線的上方或下方。因此對(duì)例中的單因素模型多反映的關(guān)系的完整描述為：4%2iirGDPn從方程中我們可以看出，任何一

8、個(gè)證券的收益由三部分構(gòu)成：ni：宏觀因素期望變化為零時(shí)的收益，是投資者對(duì)證券的期初收益；niG：系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)收益，即隨整個(gè)市場(chǎng)運(yùn)動(dòng)變化不確定性（非預(yù)期的）的收益，且變化的敏感度是i；ni是與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值無(wú)關(guān)因素的作用，是非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)收益，即只與單個(gè)證券相關(guān)的非預(yù)期事件形成的非預(yù)期收益。iiiiRGn二、單因素模型的一般形式二、單因素模型的一般形式n 一般地，單因素模型認(rèn)為有一個(gè)因素F對(duì)證券收益產(chǎn)生廣泛影響，這種影響力通過(guò)對(duì)每種證券i在任意時(shí)期t的建立如下方程來(lái)反映：itiititRFn 是證券i在t時(shí)期的收益率，是宏觀因素在t期的值，是證券i對(duì)宏觀因素的敏感度，是一個(gè)均值為零的隨機(jī)變量，是當(dāng)宏觀

9、因素均值為零時(shí)證券收益率。itRitFiti單因素模型有如下假設(shè)()0itE(,)0ijCov(,)0ittCovF期望收益率：期望收益率：根據(jù)單因素模型，證券i的期望收益率可以表示為：()()iiiE RE F方差方差：在單因素模型中，同樣可以證明任意證券i的方差等于：在這里，2F是因素的方差，2(i)是隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差協(xié)方差協(xié)方差：在單因素模型中，計(jì)算證券間的協(xié)方差變得十分簡(jiǎn)單。2222()iiFi 2ijijF方程中證券i的期望收益、方差、協(xié)方差分別為：先考慮一個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)（）對(duì)公司i的股票收益率的影響，即研究與公司i的股票收益率 的關(guān)系。由一元線性回歸可得如下方程：iriiiirGe

10、()()iiiE rE G其中是隨機(jī)變量，是由回歸確定的系數(shù)。且 ，并有iieGr,2%,4ii0)(ieE0),cov(Geijieeji,0),cov(現(xiàn)在我們來(lái)看公司i的股票的收益率的方差。因?yàn)?，所以可以導(dǎo)出0),cov(Gei2222ieGii如果經(jīng)統(tǒng)計(jì)測(cè)算出G增長(zhǎng)率的方差是 ，非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的方差是，則可算出股票收益率的方差為0003.02G00152.02ie00272.02i 定義定義6.2 我們稱上式中的我們稱上式中的 為因子風(fēng)險(xiǎn)；為因子風(fēng)險(xiǎn)；為非因?yàn)榉且蜃语L(fēng)險(xiǎn)子風(fēng)險(xiǎn)22iG 2ie再來(lái)看協(xié)方差。如果另外有一家公司j的股票，根據(jù)其業(yè)績(jī)表現(xiàn)統(tǒng)計(jì)測(cè)算出它的。股票i和股票j的收益率的協(xié)

11、方差可以容易地算出4j2Gjiij所以有0024.00003.042ij 結(jié)論：大大地減少了計(jì)算的工作量。因?yàn)槿绻M合大大地減少了計(jì)算的工作量。因?yàn)槿绻M合里里n項(xiàng)資產(chǎn)，計(jì)算組合的方差協(xié)方差矩陣需要進(jìn)行項(xiàng)資產(chǎn)，計(jì)算組合的方差協(xié)方差矩陣需要進(jìn)行 次方差協(xié)方差的測(cè)算，但現(xiàn)在只需要次方差協(xié)方差的測(cè)算，但現(xiàn)在只需要n個(gè)個(gè) 和個(gè)就可以了。（和個(gè)就可以了。（第一個(gè)性質(zhì)第一個(gè)性質(zhì)）2/)1(nn,iieia 2Gn充分分散風(fēng)險(xiǎn)的投資組合充分分散風(fēng)險(xiǎn)的投資組合n假如一個(gè)投資組合是充分分散風(fēng)險(xiǎn)的，那它的廠商特定風(fēng)險(xiǎn)或非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)可以被分散掉，保留下來(lái)的只有因素（系統(tǒng)）風(fēng)險(xiǎn)，即收益與風(fēng)險(xiǎn)為：1()pppppFnpi

12、iirE rFw 這里：n我們把充分分散的投資組合定義為：滿足按比例分散持有足夠大數(shù)量的證券組合，而每種證券i的數(shù)量又小到可以使非系統(tǒng)方差被忽略掉。n既然非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素可以被分散掉，那么只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)在市場(chǎng)均衡中控制證券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。在充分分散的投資組合中，各個(gè)廠商之間的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)相互抵償，因此，在一個(gè)證券組合中，與其期望收益相關(guān)的就只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)了。（第二個(gè)性質(zhì)第二個(gè)性質(zhì)）6.2 6.2 市場(chǎng)模型市場(chǎng)模型(Market Model)(Market Model)n在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中常用證券市場(chǎng)指數(shù)來(lái)作為影響證券價(jià)格的單因素，此時(shí)的單因素模型被稱為市場(chǎng)模型。n市場(chǎng)模型實(shí)際上是單因素模型的一個(gè)特例。iIi

13、Ii IiIrr 式中：r i代表某一給定時(shí)期證券i的收益率 I代表市場(chǎng)指數(shù) ri代表相同時(shí)期市場(chǎng)指數(shù)I的收益率 iI是隨機(jī)誤差項(xiàng)假設(shè)一種股票在某一特定時(shí)期內(nèi)的收益率與同一時(shí)期證券市場(chǎng)指數(shù)（如標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)）的收益率相聯(lián)系，即如果行情上揚(yáng)，則很可能該股票價(jià)格會(huì)上升，市場(chǎng)行情下降，則該股票很可能下跌。因此，可以用市場(chǎng)模型的方程表示這一關(guān)系：例子：考慮股票A，有Ii=2%，I i=1.2，這意味著股票A的市場(chǎng)模型為：2%1.2AiIAIrr因此，如果市場(chǎng)指數(shù)回報(bào)率為10%，則證券A的回報(bào)率預(yù)期為14%（=2%+1.2*10%）。同樣，如果市場(chǎng)預(yù)期的回報(bào)率為-5%，則證券A的預(yù)期回報(bào)率為-4%。

14、注意：由于隨機(jī)誤差項(xiàng)的存在（表示證券回報(bào)率中沒(méi)有被市場(chǎng)模型所完全解釋的部分），當(dāng)市場(chǎng)指數(shù)上升10%或下降5%時(shí)，證券A的回報(bào)率將不會(huì)準(zhǔn)確地為14%或-4%。即，實(shí)際回報(bào)率和所給定市場(chǎng)指數(shù)回報(bào)率之間的差額將歸結(jié)于隨機(jī)誤差項(xiàng)的影響。CAPM模型與單因素模型的關(guān)系模型與單因素模型的關(guān)系 n CAPM可視為一個(gè)特殊的單因素模型，在那里的市場(chǎng)組合收益率rM實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)單因素。以市場(chǎng)組合的收益率的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償來(lái)作為宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)，于是有：n rirf i i（rmrf）i ，n 或者Ri=i+iRm+in（實(shí)際上這是證券i對(duì)市場(chǎng)組合收益的回歸方程，其回歸直線就是證券i的特征線）若用有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)組合的收益率

15、的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償來(lái)作為宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)。于是ifMiifierrrr)(0,1,0MMMe因?yàn)樯鲜鲫P(guān)系對(duì)于證券組合也一樣成立，如果就代表有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合本身，那么回歸結(jié)果一定會(huì)有，i任何證券i的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償和有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償之間協(xié)方差就應(yīng)該是22MiMMiiM從而2/MiMi于是我們得到)()(fMiifirrErrE多出的一個(gè)是證券的收益超出由資本資產(chǎn)定價(jià)模型給出的市場(chǎng)均衡收益率的部分。顯然，如果處于均衡狀顯然，如果處于均衡狀態(tài)，對(duì)所有的資產(chǎn)來(lái)說(shuō)，都應(yīng)該有態(tài)，對(duì)所有的資產(chǎn)來(lái)說(shuō)，都應(yīng)該有i0i ）點(diǎn)和有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合點(diǎn)生成的雙曲線不會(huì)在點(diǎn)與資本市場(chǎng)線相切。因?yàn)槿绻嗲械脑挘瑢?huì)導(dǎo)出點(diǎn)會(huì)落在證券市場(chǎng)線上的

16、結(jié)論。）點(diǎn)也一定不會(huì)落在有效組合邊界上。否則，由兩基金分離定理知點(diǎn)和點(diǎn)生成的連線就是有效組合邊界，這就與第點(diǎn)不符。0A%1A 如果在市場(chǎng)上有一個(gè)共同基金，它的運(yùn)作水平使 將會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？例如，現(xiàn)在市場(chǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是6%，有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償是8%，基金組合的值是0.5，。這時(shí)點(diǎn)會(huì)落在證券市場(chǎng)線的上面?？蓴嘌裕捍藭r(shí)，優(yōu)化地組合點(diǎn)和點(diǎn)得到的新組合就會(huì)落到資本市場(chǎng)線的上面。將這個(gè)新的組合再與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合，就能得到比市場(chǎng)的均衡更好的效益。因此，如果能找到具有正的 的投資組合，就能夠擊敗市場(chǎng)。A0A 事實(shí)上，如果對(duì)組合容許賣(mài)空的話，只要就可以設(shè)計(jì)出擊敗市場(chǎng)的投資策略。此類投資策略要成立，意味著

17、市場(chǎng)在某些方面存在著缺陷而導(dǎo)致失衡。pprMfr資本市場(chǎng)線AB資本市場(chǎng)線新資本市場(chǎng)線在市場(chǎng)實(shí)踐中，表示有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)就是證券市場(chǎng)的價(jià)格指數(shù)。采用指數(shù)來(lái)代替有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合，通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法測(cè)算出指數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，就可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算工作量。因此，指數(shù)化的投資策略提供了實(shí)際可行的途徑。并且，證券市場(chǎng)的價(jià)格指數(shù)也就成為有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)估值和定價(jià)的基礎(chǔ)，同時(shí)也是設(shè)計(jì)投資策略的強(qiáng)有力的工具。n 但資本資產(chǎn)定價(jià)模是一個(gè)資產(chǎn)定價(jià)的均衡模型，而因素模型卻不是。例如，比較分別由資本資產(chǎn)定價(jià)模型和因素模型得到的證券的預(yù)期收益率：()()iiiE RE F()()ifMfiE RrE rr前者不是一個(gè)均衡模型，而后

18、者是均衡模型n既然單因素模型不是一個(gè)均衡模型，那單因素模型中參數(shù)i和i與資本資產(chǎn)定價(jià)模型中單因素i之間存在怎樣的關(guān)系呢？n例如，如果實(shí)際收益率可以看作是由單因素模型產(chǎn)生，其中因素F是市場(chǎng)組合的收益率rM，那么預(yù)期收益率將等于：()()iiiME RE r()(1)()iifMiE RrE r根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)模型，如果均衡存在，則這意味著，單因素模型和資本資產(chǎn)定價(jià)模型的參數(shù)之間必然存在下列關(guān)系：(1)iifiir我們可以再?gòu)囊韵陆嵌瓤磧蓚€(gè)貝塔兩個(gè)貝塔的關(guān)系：證券i的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償與市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)膮f(xié)方差是：這里：ii和資本資產(chǎn)定價(jià)模型（證券市場(chǎng)線）里的和資本資產(chǎn)定價(jià)模型（證券市場(chǎng)線）里的系數(shù)是完全

19、一樣的，這也就是我們?yōu)槭裁窗阎赶禂?shù)是完全一樣的，這也就是我們?yōu)槭裁窗阎笖?shù)模模型里對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)變量的敏感度也定義為數(shù)模模型里對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)變量的敏感度也定義為的原因的原因。221imimmimm 2imim從而在資本資產(chǎn)定價(jià)模型和市場(chǎng)模型中都有一個(gè)被稱為值的斜率，并且這兩個(gè)模型或多或少地包含了市場(chǎng)，但是它們之間卻有明顯的區(qū)別明顯的區(qū)別：q首先首先，資本資產(chǎn)定價(jià)模型是一個(gè)均衡模型，它描述證券的價(jià)格如何確定；市場(chǎng)模型是一個(gè)因素模型。q其次其次，資本資產(chǎn)定價(jià)模型是相對(duì)于整個(gè)市場(chǎng)組合而言的，即相對(duì)于市場(chǎng)中所有證券的集合。而市場(chǎng)模型是相對(duì)于某個(gè)市場(chǎng)指數(shù)而言，即基于市場(chǎng)中的一個(gè)樣本。q雖然從嚴(yán)格意義上講，資本資產(chǎn)

20、定價(jià)模型中的值和市場(chǎng)模型中的值是有區(qū)別的，但是在實(shí)際操作中，由于我們不能確切知道市場(chǎng)組合的構(gòu)成，所以一般用市場(chǎng)指數(shù)來(lái)代替，因此我們因此我們可以用市場(chǎng)模型中測(cè)算的可以用市場(chǎng)模型中測(cè)算的 值來(lái)代替資值來(lái)代替資本資產(chǎn)定價(jià)模型中的本資產(chǎn)定價(jià)模型中的 值值。6.3多因素模型n一、多因素模型的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)n二、多因素模型一、多因素模型的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)一、多因素模型的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ) n宏觀經(jīng)濟(jì)狀況影響著大部分企業(yè)，因而對(duì)經(jīng)濟(jì)前景的預(yù)期的變化被認(rèn)為對(duì)絕大部分證券的收益率產(chǎn)生深刻影響。然而經(jīng)濟(jì)并不是一個(gè)簡(jiǎn)單統(tǒng)一的實(shí)體，因而我們需要確認(rèn)一些具有廣泛作用的共同影響力，比如：n1.國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值；n2.利率水平；n3.通貨膨脹率；n4

21、.石油價(jià)格水平。n多因素模型對(duì)現(xiàn)實(shí)的近似程度更高。這一簡(jiǎn)化形式使得證券組合理論廣泛應(yīng)用于實(shí)際成為可能，尤其是20世紀(jì)70年代以來(lái)計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及以及軟件的成套化和市場(chǎng)化，極大地促進(jìn)了現(xiàn)代證券組合理論在實(shí)踐中的應(yīng)用。二、多因素模型二、多因素模型（Multifactor models）n與單因素模型不同，當(dāng)考慮多個(gè)因素對(duì)證券收益率的影響時(shí)，則產(chǎn)生多因素模型，多因素模型更加清晰明確解釋了系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，從而有可能展示不同的股票對(duì)不同的因素有不同的敏感性，這可能會(huì)使精確性得以提高。n作為多因素模型的一個(gè)例子，我們考慮一個(gè)雙雙因素模型因素模型，這意味著假設(shè)收益率生成過(guò)程中包含有兩個(gè)因素。雙因素模型在t時(shí)期的

22、方程式為：F1t和F2t是兩個(gè)對(duì)證券回報(bào)率具有普遍影響的因素，i1和i2分別是證券i對(duì)兩個(gè)因素的敏感性。同單因素模型一樣，it是隨機(jī)誤差項(xiàng)，i是當(dāng)兩個(gè)因素都取值為0是證券i的預(yù)期回報(bào)率。1122itiitititRFF 在雙因素模型中，我們需要為每種證券在雙因素模型中，我們需要為每種證券估計(jì)估計(jì)4個(gè)參數(shù)個(gè)參數(shù)：i，i1，i2以及隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差it。對(duì)每個(gè)因素，需要估計(jì)兩個(gè)參數(shù)：因素的預(yù)期值以及因素的方差和。此外還要此外還要估計(jì)兩個(gè)因素的協(xié)方差估計(jì)兩個(gè)因素的協(xié)方差cov(F1,F2)。n預(yù)期收益率預(yù)期收益率 利用上述估計(jì)值，證券i的預(yù)期收益率可以由下式計(jì)算得出：nE(Ri)=i+i1 E(F1

23、)+i2 E(F2)n方差方差 根據(jù)雙因素模型，任意證券i的方差為：n協(xié)方差協(xié)方差 根據(jù)雙因素模型，同樣可以計(jì)算出任意兩種證券i和j的協(xié)方差為：22111222112112()ov(,)ijijFijFijijCF F 222222112212122(,)iiFiFiiiCov F F 利用多元線性回歸分析的知識(shí)和前面的例子，把G和I的影響都考慮在內(nèi)，得到iiiGiIirGIe線性回歸后可算出，用第六年的實(shí)際數(shù)據(jù)代入，可算得公司的預(yù)期收益的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償是10%。則企業(yè)非系統(tǒng)性因子所產(chǎn)生的影響是。7.0,2.2%,8.5iIiGi222222),cov(2ieiIiGIiIGiGiIG此時(shí)公司收益率

24、的方差為 在多因素模型中，一個(gè)組合對(duì)某一因素的敏感性是對(duì)所含證券的敏感性的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)為投資于各證券的比例。方程背后的假設(shè)是：方程背后的假設(shè)是：1.證券收益率有數(shù)量相對(duì)較少的共同因素產(chǎn)生；2.不同股票對(duì)各個(gè)因素有不同的敏感度，即系數(shù)；3.各個(gè)公司的特有風(fēng)險(xiǎn)部分不相關(guān)，因而是可分散的。多多因素模型的一般式是因素模型的一般式是 1122.itiitititRFF多因子模型：一般化的描述多因子模型：一般化的描述問(wèn)題的一般化問(wèn)題的一般化1122iiiiirFFe1122()()()iiiiE rE FE F0)(ieEcov(,)0ije Fjieeji,0),cov(設(shè)12222222121212

25、2cov(,)iiiiiieFFF F 12221122122112()cov(,)ijijijijijFFF F 對(duì)共同因素的解釋對(duì)共同因素的解釋-共同因素可被看作有關(guān)宏觀經(jīng)濟(jì)變量的新信息的代表。新信息：由于它代表新的信息，它們的均值一般為零。因而可被看作證券的期望收益。代表（proxy）：共同因素是宏觀經(jīng)濟(jì)變量的可觀測(cè)指標(biāo)，而非宏觀經(jīng)濟(jì)變化因素本身。例如，美國(guó)勞工部的就業(yè)報(bào)告，貿(mào)易赤字，石油價(jià)格等。-總之，共同因素是對(duì)范圍廣闊的市場(chǎng)指數(shù)的收益率而非只對(duì)單個(gè)股票產(chǎn)生影響的經(jīng)濟(jì)變量。因素估計(jì)方法總結(jié)因素估計(jì)方法總結(jié)估計(jì)方法估計(jì)方法優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)缺點(diǎn)因因素素分分析析根據(jù)項(xiàng)因素分析這樣的統(tǒng)計(jì)過(guò)程來(lái)確

26、定因素組合。因素組合為模仿各因素的證券組合。在給定的假設(shè)條件下能根據(jù)歷史收益率得到最好的因素估計(jì)關(guān)于協(xié)方差不隨時(shí)間變化的假設(shè)是關(guān)鍵，且在現(xiàn)實(shí)中可能被破壞；不能“指定”因素，音素的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義不明確。宏宏觀觀經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)變變量量挑選反映生產(chǎn)力、利率和通脹變化的宏觀經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列作為因素的代表。e.g.五因素（p185）提供關(guān)于因素的最直觀的解釋假定最合適的因素是宏觀經(jīng)濟(jì)變量的非預(yù)期變化。宏觀經(jīng)濟(jì)變量（如總生產(chǎn)力和通脹）的非預(yù)期變化可能難以度量難以度量、甚至難以難以量化量化。我的疑問(wèn)：殘差項(xiàng)會(huì)否相關(guān)？估計(jì)方法估計(jì)方法優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)缺點(diǎn)公司特點(diǎn)利用公司的特點(diǎn)，如公司規(guī)模、市凈率等，選取股票來(lái)構(gòu)造因素投資組合比

27、因素分析法直觀；并不要求協(xié)方差為不時(shí)變的常數(shù)。如根據(jù)過(guò)去反常的收益率選擇因素的投資組合，能解釋歷史的“意外情況”。在解釋未來(lái)的期望收益時(shí)未必有效。（APT成立時(shí)與不成立時(shí)的情況）因素模型與系數(shù)11111,.KpppjjpjNpi iiNpiiiNpjijiNpiiiRFRx rxxx1.對(duì)因素系數(shù)的直觀認(rèn)識(shí)2.資產(chǎn)組合的多因素模型。若資產(chǎn)組合遵循K因素模型（見(jiàn)下），且資產(chǎn)組合有N種證券組成，則組合的收益率由右式?jīng)Q定。1KiiijjijrF利用因素模型計(jì)算協(xié)方差和方差依據(jù)多因素模型的因素系數(shù)計(jì)算協(xié)方差11121(,)(,)(,)0,(,)0 ,(),/*Result 6.3*/()()./*Re

28、sult 6.4*/KKijijiimmijjnnjmnijmnKijimjmmmKiimmimCov r rCovFFif CovCov FFwhen ij mnthenVar FVar FVari 11(,)0 ,(,)mnKKijimjnmnmnf Cov FFwhen mnCov FF 因素模型與證券收益率之間的相關(guān)性：在多因素模型中，因素系數(shù)的結(jié)構(gòu)相似的證券或證券組合的收益率高度相關(guān)，而那些因素結(jié)構(gòu)不同的證券彼此的相關(guān)性可能較低。因素模型在均方差分析中應(yīng)用：與CAPM比較，對(duì)一個(gè)有N個(gè)證券組成的組合來(lái)說(shuō)，CAPM需要計(jì)算N+N*(N-1)/2的方差與協(xié)方差，而K因素模型需計(jì)算K*N個(gè)

29、系數(shù)，外加K個(gè)因素方差和N個(gè)殘差方差。由于KN，N(K+1)*(N+1)-1N*(N+1)/2N2。計(jì)算量大大減小。因素模型與追蹤投資組合依據(jù)因素模型設(shè)計(jì)擁有特定系數(shù)結(jié)構(gòu)的資產(chǎn)組合，來(lái)追蹤某種資產(chǎn)、負(fù)債或投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系。追蹤投資組合與公司套期保值。通過(guò)賣(mài)空追蹤公司股票對(duì)風(fēng)險(xiǎn)源的敏感度()的投資組合，公司可以對(duì)沖掉這些風(fēng)險(xiǎn)。i=i1+i2=0。這種套期保值操作未必要公司本身操作，投資者可以DIY。公司的資本分配決策與追蹤投資組合。公司通過(guò)將資本分配到最有價(jià)值的投資項(xiàng)目來(lái)最大化公司的價(jià)值。追蹤投資組合可以當(dāng)作衡量相應(yīng)投資項(xiàng)目?jī)r(jià)值的標(biāo)桿。設(shè)計(jì)追蹤投資組合具體步驟：1.確定相關(guān)因素的數(shù)量；2.

30、利用6.4節(jié)中的三種方法之一求解因素，并計(jì)算系數(shù)。3.為每個(gè)因素系數(shù)構(gòu)造一個(gè)方程。方程的左半部分是投資組合中各證券權(quán)重的函數(shù)（各證券的系數(shù)根據(jù)權(quán)重相加），方程的右半部分追蹤投資組合的因素系數(shù)。4.求解方程，得到追蹤投資組合中各證券的權(quán)重。構(gòu)建K因素模型的追蹤投資組合，需要至少K+1種證券。純因素投資組合可看作一種特殊的追蹤投資組合。注意：計(jì)算時(shí)假定風(fēng)險(xiǎn)可分散的殘差項(xiàng)為零，這意味著追蹤投資組合通過(guò)K+1種已分散風(fēng)險(xiǎn)的投資組合構(gòu)建。6.4套利定價(jià)理論套利定價(jià)理論一、套利理論提出的背景CAPM基于眾多的假設(shè)，其中的一些假設(shè)與現(xiàn)實(shí)不相吻合，而且檢驗(yàn)CAPM時(shí)，難以得到真正的市場(chǎng)組合，致使CAPM不易被

31、檢驗(yàn)；一些經(jīng)驗(yàn)結(jié)果與CAPM相悖。nStephen Ross在1976年提出了一種新的資本資產(chǎn)均衡理論即套利定價(jià)理論（APT)。由于該理論認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)可由幾個(gè)因子產(chǎn)生，而不象CAPM那樣基于一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子，這與許多經(jīng)驗(yàn)結(jié)果相吻合。n并且，CAPM是APT的一個(gè)特例。APT的假定又大大少于CAPM的假定，市場(chǎng)組合在APT中不起作用，致使APT比CAPM容易檢查。因此APT成為CAPM的一個(gè)較好的替代理論。二、套利定價(jià)理論的假設(shè)條件二、套利定價(jià)理論的假設(shè)條件n 我們把套利模型的假設(shè)條件和CAPM模型的假設(shè)條件作個(gè)比較，可以得到APT模型和CAPM模型共同擁有的以下假設(shè)：n投資者有相同的投資理念存在著大量

32、投資者，投資者是價(jià)格的接受者，單個(gè)投資者的交易行為對(duì)證券價(jià)格不發(fā)生影響。n投資者追求效用最大化n沒(méi)有交易成本。n而APT模型不需要以下的假設(shè)條件不需要以下的假設(shè)條件：n 單一投資期n不存在稅的問(wèn)題n投資者能以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率自由地借入和貸出資金n投資者以回報(bào)率的均值和方差選擇投資組合n對(duì)投資者的偏好和效用沒(méi)有假設(shè)對(duì)投資者的偏好和效用沒(méi)有假設(shè)APTAPT模型的假設(shè)模型的假設(shè)投資者是回避風(fēng)險(xiǎn)的，且以效用最大化為目標(biāo) 存在一個(gè)完全競(jìng)爭(zhēng)的資本市場(chǎng)，不考慮交易成 本因素的影響 當(dāng)投資者具有在不增加風(fēng)險(xiǎn)的前提下提高回 報(bào)率的機(jī)會(huì)時(shí)，每個(gè)人都會(huì)利用這個(gè)機(jī)會(huì)，即個(gè)體是非滿足的。證券種類眾多，并且彼此之間相互獨(dú)立投資

33、者認(rèn)為任何一種證券的收益率都是一個(gè)線 性函數(shù) 三、套利的含義三、套利的含義n套利（arbitrage）就是在兩個(gè)不同的市場(chǎng)上以兩種不同的價(jià)格同時(shí)買(mǎi)入和賣(mài)出某證券。n通過(guò)在一個(gè)市場(chǎng)上以較低的價(jià)格買(mǎi)進(jìn)并同時(shí)在另一市場(chǎng)上以較高的價(jià)格賣(mài)出，套利者就能在沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)的情況下獲利。n但是要注意的是，因?yàn)樘桌找娓鶕?jù)定義是沒(méi)因?yàn)樘桌找娓鶕?jù)定義是沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)的，所以投資者一旦發(fā)現(xiàn)這種機(jī)會(huì)就會(huì)有風(fēng)險(xiǎn)的，所以投資者一旦發(fā)現(xiàn)這種機(jī)會(huì)就會(huì)設(shè)法利用，并隨著他們的買(mǎi)進(jìn)和賣(mài)出消除這些設(shè)法利用，并隨著他們的買(mǎi)進(jìn)和賣(mài)出消除這些獲利機(jī)會(huì)獲利機(jī)會(huì)。這就意味著無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)的存續(xù)時(shí)間很短。不合理的價(jià)格關(guān)系包括多種不同情況，主要有不合理的價(jià)

34、格關(guān)系包括多種不同情況，主要有以下三種以下三種：同種金融工具在不同金融市場(chǎng)之間存在不合理的價(jià)格差異；同一金融工具在不同時(shí)間段內(nèi)的不合理價(jià)格差異；相關(guān)的金融工具在同一時(shí)間段內(nèi)存在不合理的價(jià)格差異。四、套利機(jī)會(huì)四、套利機(jī)會(huì) 如果一種投資能夠立即產(chǎn)生正的收益而在將來(lái)不需要有任何支付（不管是正的還是負(fù)的），我們稱這種投資為第一類的套利機(jī)會(huì)。如果一種投資有非正的成本，但在將來(lái)，獲得正的收益的概率為正，而獲得負(fù)的收益（或者說(shuō)正的支出）的概率為零，我們稱這種投資為第二類的套利機(jī)會(huì)。任何一個(gè)均衡的市場(chǎng)，都不會(huì)存在這兩種套利機(jī)會(huì)！n無(wú)套利均衡分析方法無(wú)套利均衡分析方法是現(xiàn)代金融學(xué)研究的基本方法，其關(guān)鍵技術(shù)是組合

35、復(fù)制技術(shù)。上述概念說(shuō)明復(fù)制可以從正反兩個(gè)方向來(lái)做：n復(fù)制未來(lái)的現(xiàn)金流，同時(shí)檢查目前是否有價(jià)格失衡的套利機(jī)會(huì)；n也可以是現(xiàn)在的價(jià)格相等，復(fù)制未來(lái)在任何情況下都產(chǎn)生更為有利的現(xiàn)金流，或者未來(lái)在任何情況下都產(chǎn)生更為不利的現(xiàn)金流。n無(wú)論是都有利還是都不利都會(huì)產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)，但必須是在任何情況下都有利或都不利。單因素的套利定價(jià)模型中先有這樣的關(guān)系iiiieFrEr)()(,0),cov(,0),cov(jieeFejii其中是隨機(jī)變量，是第項(xiàng)金融工具的實(shí)際實(shí)現(xiàn)的收益率，是宏觀經(jīng)濟(jì)因子的實(shí)際值，是企業(yè)所特有原因?qū)λl(fā)行的金融工具的收益所造成的擾動(dòng)，且，是第項(xiàng)金融工具的收益率對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)因子的敏感度。iieFr

36、,iF0)(FE0)(ieEieiiFir五、單因素的套利定價(jià)理論五、單因素的套利定價(jià)理論現(xiàn)在看一個(gè)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)被充分分散化掉的投資組合。在這個(gè)組合里，項(xiàng)金融工具的權(quán)重為于是組合的收益率為n1,1,1niiiwniwppppeFrEr)(其中niiipw1niiipewe1組合的方差為)(2222PFppe其中)()(1222niiipewe為了分析簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定組合中各項(xiàng)金融工具的權(quán)重相等，即有。于是有ninwi,1,1)(0)()(1)()(2121222nnenenneeiniiniip 即增加分散化能縮減總風(fēng)險(xiǎn)即增加分散化能縮減總風(fēng)險(xiǎn)。導(dǎo)致這個(gè)結(jié)果的原因在于，增加證券組合中證券的種類時(shí)，

37、證券組合的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)（因子風(fēng)險(xiǎn)）近似保持不變，而證券組合的非因子風(fēng)險(xiǎn)卻顯著減小。因此，對(duì)于一個(gè)充分分散化的投資組合P來(lái)說(shuō)，其收益率和方差為FrErppp)(222Fpp 從而得到單因子模型的重要性質(zhì)：1、有關(guān)證券組合邊界的計(jì)算量大大減少；有關(guān)證券組合邊界的計(jì)算量大大減少；2、分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化；分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化；3、分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)。分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)。如果有兩個(gè)充分分散化的投資組合和，若BA就必定有)()(BArErE，否則要出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)。例如，若1BA%8)(%,10)(BArErE我們賣(mài)空價(jià)值100萬(wàn)元的組合，同時(shí)將這賣(mài)空所得的100萬(wàn)元投資于組合，就能套取2萬(wàn)元的

38、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。算式如下：到期多頭的收益100)0.1%10(F100)0.1%8(F2100%2 到期空頭的支付凈利潤(rùn) 但對(duì)于有不同值的充分分散化的投資組合，其預(yù)期收益率中風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償必須正比于值，不然也將發(fā)生無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利。結(jié)論：如果兩個(gè)充分分散化的投資組合有相同的值，它們?cè)谑袌?chǎng)中必定有相同的預(yù)期收益。與宏觀因子有關(guān)的 值風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償1.00.5ADC1076%4frr若把有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合看作一個(gè)充分分散化的投資組合，再以有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的未預(yù)期到的收益變化作為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的度量。有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的值當(dāng)然為，因?yàn)楫a(chǎn)生系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的值當(dāng)然為，因?yàn)楫a(chǎn)生系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的因子就是它本身風(fēng)險(xiǎn)的因子就是它本身。代表有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合

39、的值()和預(yù)期收益率之間的關(guān)系的點(diǎn)也落在圖中的直線上，于是對(duì)任意充分分散化的投資組合，其預(yù)期收益率和值的關(guān)系就可表示成1M)()(fMPfPrrErrEQfQPfPrrErrE)()(KrrErrEjfjifi)()(對(duì)單個(gè)證券來(lái)說(shuō)，套利定價(jià)理論要告訴我們的是：對(duì)于組合中的任意兩項(xiàng)不同的證券來(lái)說(shuō)，同樣的關(guān)系式幾乎也成立。即對(duì)任兩項(xiàng)不同的金融工具和，有ijKrrEifi)(此處是對(duì)幾乎所有的證券都一樣的一個(gè)常數(shù)。從而對(duì)于任意組合中的金融工具，有i所以對(duì)任何充分分散化的投資組合，就一定有111()()nnnPiifiiifpiiiE rwE rrwKwrK亦即有KrrEPfP)(對(duì)所有充分分散化的

40、投資組合來(lái)說(shuō)，都是相同的。6.5多因子的套利定價(jià)理論多因子的套利定價(jià)理論再來(lái)討論二因子的套利定價(jià)模型，然后推廣到一般的情況。兩個(gè)宏觀因子的模型如下：1122()iiiiirE rFFe其中是隨機(jī)變量，是第項(xiàng)金融工具的實(shí)際實(shí)現(xiàn)的收益率，是宏觀經(jīng)濟(jì)因子的實(shí)際值，是企業(yè)所特有原因?qū)λl(fā)行的金融工具的收益所造成的擾動(dòng)，是第項(xiàng)金融工具的收益率對(duì)第個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)因子的敏感度。且，iieFFr,21iir0)(jFE0)(ieEieijij21,FF)(,0),cov(,0),cov(,0),cov(21jieeFeFFjiji由證券組合的定義1npi iirr則11221112211111122()()()(

41、)()npiiiiiinnnniiiiiii iiiiipppprFFeFFeFFe 其中11112211nnpiipiiiinnpiipiiiiee 多因子模型具有和單因子模型一樣的重要性質(zhì)：1、有關(guān)證券組合邊界的計(jì)算量大大減少；有關(guān)證券組合邊界的計(jì)算量大大減少；2、分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化；分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化；3、分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)。分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)。比如有因子組合和，前者的預(yù)期收益率為后者的預(yù)期收益率為。設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為，則因子組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償為，因子組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償為8%101%122%4fr%6%4%10先引入因子組合因子組合的概念。因子組合是非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)因子組合是非系統(tǒng)

42、風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)充分分散化而消除掉的組合，對(duì)其中一個(gè)因子的值為充分分散化而消除掉的組合，對(duì)其中一個(gè)因子的值為而對(duì)其它的值為而對(duì)其它的值為。這種因子組合的構(gòu)造在實(shí)際中是可行的，因?yàn)橛袃r(jià)證券的種類很多而因子的數(shù)量又非常有限。多因子證券市場(chǎng)線中，因子組合將起到基準(zhǔn)的作用。對(duì)任一個(gè)充分分散化的投資組合，它對(duì)兩個(gè)宏觀因子的值分別為和。多因子的套利定價(jià)理論指出，投資組合的總風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償應(yīng)當(dāng)是投資者承受這兩種宏觀因子的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)所應(yīng)得到的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償之和。而每種宏觀因子的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)扔谙鄬?duì)于該因子的值乘以相應(yīng)因子組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，即5.01A75.02A%9%875.0%65.0)()(2211fAfArr于是，投資組合的預(yù)

43、期收益率就是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率加上總的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償為13%如果投資組合的預(yù)期收益率不等于13%，例如是12%，則可以構(gòu)筑如下的組合頭寸：取權(quán)重為50%的因子組合，權(quán)重為75%的因子組合，再加上權(quán)重為-25%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，構(gòu)成一個(gè)新的組合，這個(gè)組合的預(yù)期收益率為0.5x10%+0.75x12%-0.25x4%=13%。同時(shí)構(gòu)筑這個(gè)組合的多頭和組合的空頭，就能套取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。算式如下：這是零投資組合能套取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)的情形。到期套利組合多頭的收益到期組合空頭的支付凈利潤(rùn) 1%2175.05.0%13FF)75.05.0%12(21FF從這個(gè)簡(jiǎn)單的例子可以發(fā)現(xiàn)，套利組合是這樣構(gòu)筑的：對(duì)于任意一個(gè)暴露在和這兩個(gè)宏

44、觀因子的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)下的投資組合，分別以其值、為權(quán)重選取因子組合和，再加上權(quán)重為 的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券。這一組合實(shí)際上復(fù)制了組合，所以組合可由此套利組合給出定價(jià)1F2F1P2P211PP)()(2211fpfpfrrrfppppprrE)1()(212211再推廣到一般的情況：1()niiijjijrE rFenjfjpjfprrrE1)()()()()(2211fififirrrrE先推廣到單個(gè)證券的情況：6.6 APT的理論推導(dǎo)的理論推導(dǎo)假設(shè)假設(shè)1：市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)、無(wú)摩擦、無(wú)限可分假設(shè)假設(shè)2 2：投資者是非滿足的：當(dāng)投資者具有套利機(jī)會(huì)時(shí)，他們會(huì)構(gòu)造套利證券組合來(lái)增加自己的財(cái)富。假設(shè)假設(shè)3 3：所有投資

45、者有相同的預(yù)期：任何證券i的回報(bào)率滿足k因子模型：1()kiiijjijrE rFe假設(shè)假設(shè)5 5：市場(chǎng)上的證券的種類遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于因子的數(shù)目k。假設(shè)假設(shè)4：0,cov(,)0,cov(,)0,()iijijE ee Fe eij 注：因子模型說(shuō)明，所有具有等因子敏感度的證券注：因子模型說(shuō)明，所有具有等因子敏感度的證券（組合），除去非因子風(fēng)險(xiǎn)外，其行為是一致的（組合），除去非因子風(fēng)險(xiǎn)外，其行為是一致的。因此，所有具有等因子敏感度的證券（組合）的期因此，所有具有等因子敏感度的證券（組合）的期望回報(bào)率是一樣的，否則，就會(huì)存在第二類套利機(jī)望回報(bào)率是一樣的，否則，就會(huì)存在第二類套利機(jī)會(huì)，投資者就會(huì)利用它，直

46、到消除這類風(fēng)險(xiǎn)為止。會(huì)，投資者就會(huì)利用它，直到消除這類風(fēng)險(xiǎn)為止。定義定義6.3 如果一個(gè)證券組合滿足下列三個(gè)條件：1、初始價(jià)格為零；、初始價(jià)格為零；2、對(duì)因子的敏感度為零；、對(duì)因子的敏感度為零；3、期望回報(bào)率為正。、期望回報(bào)率為正。我們稱這種證券組合為套利證券組合套利證券組合。若證券市場(chǎng)處于一個(gè)均衡狀態(tài)，在這時(shí)的證券市若證券市場(chǎng)處于一個(gè)均衡狀態(tài)，在這時(shí)的證券市場(chǎng)里，不需要成本、沒(méi)有因子風(fēng)險(xiǎn)的證券組合，其期場(chǎng)里，不需要成本、沒(méi)有因子風(fēng)險(xiǎn)的證券組合，其期望回報(bào)率必為零望回報(bào)率必為零。我們用數(shù)學(xué)式子表示為 我們選擇證券組合（1，2，n），使得其成本為零，即10nii（6.1）該證券組合的回報(bào)率為11

47、1111 nnnnpiiiiiikki iiiiirE rFFe 為了得到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的證券組合，我們必須消除因子風(fēng)險(xiǎn)和非因子風(fēng)險(xiǎn)。滿足下面三個(gè)條件的證券組合符合這一要求：（1）所選的每個(gè)權(quán)i充分??；（2）所包括的證券種類盡量多；（3）對(duì)每個(gè)因子而言，所選的權(quán)使得證券組合的因子敏感度為零。用數(shù)學(xué)式子表示，這些條件是 （1）i1n （2）n是一個(gè)很大的數(shù) （3）對(duì)每個(gè)因子而言，111111 nnnpiiiiiikkiiiniiirE rFFE r 從而10niiki（6.2）在我們構(gòu)造的證券組合的過(guò)程中，投資者既不需要成本，也不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，如果構(gòu)造的證券組合的回報(bào)率不為零，它就是一個(gè)套利證券組合，當(dāng)市場(chǎng)

48、達(dá)到均衡時(shí)，這是不可能的。因此，滿足上述條件的組合，其回報(bào)率一定為零，即1 0npiiirE r（6.3）將（6.1）、（6.2）、（6.3）的內(nèi)容用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以描述如下：如果1211(,)01Tn 1212(,)0jjTnjkj 成立則一定有1212 (,)0 TnnE rE rE r 由Farkas引理，期望回報(bào)率向量一定可以表示成單位常向量和因子敏感度向量的線性組合，即存在k+1個(gè)常數(shù) ，使得01,k011 jjkjkE r （6.4）Farkas引理 設(shè)A為mn矩陣，c為n維向量，則有解的充要條件是 無(wú)解0,0TAxc x,0TA ycy如果存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，其回報(bào)率為 ，顯然fr0fr

49、 假設(shè) 是對(duì)第j個(gè)因子有單位敏感度但對(duì)其他的因子敏感度為零的證券組合的期望回報(bào)率，則由（6.4）有jjjfr1()()kifijjfjE rrr 即APT可以表示為套利機(jī)會(huì)存在的條件套利機(jī)會(huì)存在的條件（或套利組合的建立）（或套利組合的建立）n設(shè)市場(chǎng)有N種證券，Wi表示投資者對(duì)證券持有權(quán)數(shù)的變化根據(jù)套利的定義，套利有自融資功能，套利組合中買(mǎi)入證券所需資金由證券獲得。n根據(jù)套利的定義，如果套利機(jī)會(huì)存在，套利組合不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)任何因素的敏感性為零，n 即 ，J=1,2,.K N需大于J，n根據(jù)套利的定義，套利須獲得非負(fù)的收益。0PJb123.00,1,2,3,.npjwwwwjkW112+W222+

50、W 332+W NN2=0W111+W221+W 331+W NN1=0 W11K+W22K+W 33K+W NNK=0第一個(gè)條件第一個(gè)條件：第二個(gè)條件：第二個(gè)條件：即：即：這時(shí)滿足這兩個(gè)等式的任何一組解將成為潛在的套利組合，即滿足自融資和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利條件。n 因此，當(dāng)一個(gè)組合滿足上述三個(gè)方程時(shí)，因此，當(dāng)一個(gè)組合滿足上述三個(gè)方程時(shí)，便存在一個(gè)能獲得不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的正的收益便存在一個(gè)能獲得不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的正的收益的套利組合。的套利組合。231 123.0nnwrw rw rw r第三個(gè)條件：第三個(gè)條件：n當(dāng)套利機(jī)會(huì)不存在時(shí)，市場(chǎng)均衡。那么，當(dāng)各種證券的期望收益處于什么狀態(tài)時(shí)，沒(méi)有套利機(jī)會(huì)呢？即各種證券的期

51、望收益處于什么狀態(tài)時(shí)，上述三個(gè)方程的聯(lián)立解不存在呢？n且僅當(dāng)期望收益率是敏感性的線性函數(shù)時(shí)，上述三個(gè)方程的聯(lián)立解不存在，即不存在套利機(jī)會(huì)，這時(shí)市場(chǎng)達(dá)到均衡。即有：套利定價(jià)方程套利定價(jià)方程nE(ri)=01i1+2i2+.Kiknik是第i個(gè)證券第k個(gè)因素的敏感度。如果市場(chǎng)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，上式為：nE(ri)=rf1i1+2i2+.Kik 是因素組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償：jjfr jn投資組合的總的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償應(yīng)當(dāng)是投資者承受宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)所應(yīng)得到的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)暮汀６糠N宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償?shù)扔谙鄬?duì)于該因素的值乘以因素組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。n因此，套利定價(jià)方程的一般形式是：1122().ifififikkfEr

52、rrrr 舉例：?jiǎn)我蛩靥桌M合n假定投資者擁有3種證券，他所持的每種證券當(dāng)前的市值為4000000美元。這三種證券具有如下的預(yù)期回報(bào)率和敏感性。這樣的預(yù)期回報(bào)率與因素敏感性是否代表一個(gè)均衡狀態(tài)？I預(yù)期收益率ri%敏感因子bi證券1150.9證券2213.0證券3121.8iiiieFbarn套利組合（0.1，0.075，-0.175）n買(mǎi)賣(mài)行為導(dǎo)致套利機(jī)會(huì)減少最終消失，如果找不到滿足滿足預(yù)期收益率大于0的資產(chǎn)組合，此時(shí)存在非負(fù)的常數(shù)0 1，使得預(yù)期回報(bào)率和敏感性之間滿足如下線形關(guān)系1011r 1()iffirrr1231230.93.01.801521120 xxxxxx單單因素資產(chǎn)定價(jià)線因素

53、資產(chǎn)定價(jià)線1()ififrrr 0BiirAAB1舉例：多因素套利組合舉例：多因素套利組合n假定證券的回報(bào)率可由兩個(gè)因素模型產(chǎn)生：n4種證券具有如下的預(yù)期回報(bào)率和敏感性：iiiiieFbFbar2211ibi1%bi2證券1150.92.0證券2213.01.5證券3121.80.7證券482.03.2irn套利組合(0.1，0.088，-0.108，-0.08)123412340.931.82021.50.73.20 xxxxxxxx081221154321xxxxn通過(guò)購(gòu)買(mǎi)證券1和2，同時(shí)出售證券3和4，使得證券1和2價(jià)格上漲，3和4價(jià)格下跌，推動(dòng)市場(chǎng)均衡。即當(dāng)滿足前面三個(gè)等式的組合的預(yù)期

54、回報(bào)率為0，均衡達(dá)到。n如果找不到滿足滿足預(yù)期收益率大于0的資產(chǎn)組合，此時(shí)存在非負(fù)的常數(shù)0 1 2，使得預(yù)期回報(bào)率和敏感性之間滿足如下線形關(guān)系：01122iiir 6.7 APT與與CAPM的區(qū)別和聯(lián)系的區(qū)別和聯(lián)系nAPT與CAPM最根本的區(qū)別最根本的區(qū)別在于，CAPM是典型的收益/風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡所主導(dǎo)的市場(chǎng)均衡，APT特別強(qiáng)調(diào)的是無(wú)套利均衡原則。n無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)建立市場(chǎng)均衡價(jià)格和收益/風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡關(guān)系建立市場(chǎng)價(jià)格均衡關(guān)系有著本質(zhì)區(qū)別本質(zhì)區(qū)別：n收益/風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡關(guān)系所主導(dǎo)的市場(chǎng)價(jià)格均衡，一旦價(jià)格失衡，就會(huì)有許多投資者調(diào)整自己的投資組合來(lái)重建市場(chǎng)均衡，但每個(gè)投資者只對(duì)自己的頭寸作有限范圍的調(diào)整。n套利則不然

55、，一旦出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，每一個(gè)套利者都會(huì)盡可能大的構(gòu)筑頭寸，因此從理論上來(lái)講，只需少數(shù)幾位（甚至只需一位）套利者就可以重建市場(chǎng)均衡。nCAPM是典型的收益/風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡所主導(dǎo)的市場(chǎng)均衡，每一位投資者都按照自己的收益/風(fēng)險(xiǎn)偏好選擇有效組合邊界上的投資組合。如果市場(chǎng)組合中的某一項(xiàng)證券價(jià)格失衡，資本市場(chǎng)線就會(huì)發(fā)生移動(dòng)，所有投資者都會(huì)吸納價(jià)植被低估的證券而拋出價(jià)值被高估的證券。n所以重建市場(chǎng)均衡的力量來(lái)自于許多投資者重建市場(chǎng)均衡的力量來(lái)自于許多投資者共同行為共同行為。nCAPM對(duì)證券回報(bào)率的分布和個(gè)體效用函對(duì)證券回報(bào)率的分布和個(gè)體效用函數(shù)做出假設(shè)數(shù)做出假設(shè)，APT沒(méi)有相應(yīng)的假設(shè)，但但APT假設(shè)證券的回報(bào)率是由

56、因子模型產(chǎn)生的假設(shè)證券的回報(bào)率是由因子模型產(chǎn)生的；nCAPM中證券價(jià)格依賴于市場(chǎng)證券組合的回報(bào)率，為了定價(jià)首先必須給出市場(chǎng)組合回報(bào)率的估計(jì)，而在APT中證券價(jià)格依賴于中證券價(jià)格依賴于因子的回報(bào)率因子的回報(bào)率，為了定價(jià)必須首先給出因子回報(bào)率的估計(jì)。n單因子模型211),cov()(MMfMrFrrn兩因子模型211),cov()(MMfMrFrr222),cov()(MMfMrFrr存在一種經(jīng)濟(jì)環(huán)境，此時(shí)存在一種經(jīng)濟(jì)環(huán)境，此時(shí)APT的假設(shè)成立，證的假設(shè)成立，證券的回報(bào)率由因子模型生成，同時(shí)，有關(guān)券的回報(bào)率由因子模型生成，同時(shí)，有關(guān)CAPM的假設(shè)也成立，的假設(shè)也成立，APT與與CAPM是一致的是一

57、致的 三種模型的比較三種模型的比較 1 1、CAPMCAPM和單指數(shù)模型在本質(zhì)上是一樣的和單指數(shù)模型在本質(zhì)上是一樣的 但CAPM要求有一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合，而單指數(shù)模型是利用一個(gè)在實(shí)際中與理論的有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合完全正相關(guān)的綜合指數(shù)來(lái)代替實(shí)際不存在的有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合，故在實(shí)際的投資策略的制定中，單指數(shù)模型是有真正的實(shí)用價(jià)值；2 2、APTAPT強(qiáng)調(diào)的是無(wú)套利原則強(qiáng)調(diào)的是無(wú)套利原則 它的出發(fā)點(diǎn)是排除無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，少數(shù)投資者會(huì)構(gòu)筑大額的套利頭寸產(chǎn)生巨大的市場(chǎng)壓力來(lái)重建均衡，它的成立只需要有充分分散化的投資組合，不象單指數(shù)模型一定要有對(duì)有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合有替代作用的市場(chǎng)指數(shù)；3 3、CAPMCAPM則是典型的

58、收益風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡所主導(dǎo)則是典型的收益風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡所主導(dǎo)的市場(chǎng)均衡的市場(chǎng)均衡，是許多投資者的行為共同作用的結(jié)果，它的成立依賴許多嚴(yán)格的假設(shè)條件；4 4、APTAPT的定價(jià)并不是對(duì)所有的證券都成的定價(jià)并不是對(duì)所有的證券都成立的立的，由于它只強(qiáng)調(diào)無(wú)套利原則，而且這種無(wú)套利均衡定價(jià)是通過(guò)對(duì)充分分散化的投資組合的分析得出的，所以對(duì)有的單項(xiàng)資產(chǎn)其所以對(duì)有的單項(xiàng)資產(chǎn)其定價(jià)結(jié)論不成立，故實(shí)踐中定價(jià)結(jié)論不成立，故實(shí)踐中APTAPT主要對(duì)組合投主要對(duì)組合投資決策起支持作用資決策起支持作用；5 5、單項(xiàng)資產(chǎn)在市場(chǎng)上定價(jià)失衡時(shí)，在、單項(xiàng)資產(chǎn)在市場(chǎng)上定價(jià)失衡時(shí)，在CAPMCAPM的條件下，所有的投資者都會(huì)同時(shí)調(diào)整自己的的條件下

59、，所有的投資者都會(huì)同時(shí)調(diào)整自己的頭寸來(lái)重建均衡頭寸來(lái)重建均衡。因此對(duì)單項(xiàng)資產(chǎn)的定價(jià)，CAPM和單指數(shù)模型則有更廣泛的應(yīng)用，從而CAPM的那些有關(guān)市場(chǎng)的條件也是我們必須加以考慮的；6 6、CAPMCAPM是是APTAPT的特例，因?yàn)榈奶乩?，因?yàn)镃APMCAPM是單因子是單因子的，一般所指的的，一般所指的APTAPT是多因子的。實(shí)質(zhì)上，是多因子的。實(shí)質(zhì)上，CAPMCAPM也有多因子的推廣結(jié)果。也有多因子的推廣結(jié)果。另外，在使用APT時(shí)，還有一個(gè)對(duì)宏觀因子的識(shí)別問(wèn)題。不同的研究使用了不同的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。但歸納起來(lái)大致有以下三大類：一是總量經(jīng)濟(jì)活動(dòng)參數(shù)，如或的增長(zhǎng)率、工業(yè)產(chǎn)出、總銷售額等；二是通貨膨脹

60、率；三是與市場(chǎng)利率有關(guān)的參數(shù)如利率差或利率本身等。套利定價(jià)理論的經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn) 公司規(guī)模、市凈率等對(duì)證券價(jià)格的影響是由于心理行為的影響還是由一些被研究者忽略的因素導(dǎo)致，這一爭(zhēng)論還沒(méi)有定論。因?yàn)?，多因素套利定價(jià)理論的經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)不如CAPM理論那樣完善。下面是關(guān)于經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)的文獻(xiàn)綜述。APT理論的檢驗(yàn)分析了三個(gè)推論三個(gè)推論：1所有因素值等于0的投資組合的預(yù)期收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。2證券的預(yù)期收益率的增長(zhǎng)與特定的因素值的增長(zhǎng)呈線性相關(guān)。3除了因素系數(shù)之外，沒(méi)有其他任何股票的特征能夠決定預(yù)期收益率。套利定價(jià)理論的經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)來(lái)自因素分析研究的證據(jù)：來(lái)自因素分析研究的證據(jù)：開(kāi)端開(kāi)端：Roll and Ross,198

61、0。分析具有非零風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的因素個(gè)數(shù)。結(jié)論：至少有三個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素，但不會(huì)超過(guò)四個(gè)。發(fā)展發(fā)展：Chen,1983：在控制了不同規(guī)模的公司的因素敏感性之后，規(guī)模效應(yīng)消失。Connor and Korajczyk,1988。Lehmann and Modest 1988:即使這些差異得到控制，仍存在規(guī)模效應(yīng)。來(lái)自宏觀經(jīng)濟(jì)因素研究的證據(jù)來(lái)自宏觀經(jīng)濟(jì)因素研究的證據(jù)Chen,Roll,and Ross 1986,五因素（月度GDP增長(zhǎng)率的變化、信用風(fēng)險(xiǎn)貼水的變化、長(zhǎng)期-短期政府債券的利率差的變化、未預(yù)期的通脹率、預(yù)期的通脹率）。強(qiáng)調(diào)市場(chǎng)指數(shù)與消費(fèi)品價(jià)格對(duì)預(yù)期收益率影響不大。Chan,Chen and Hsieh 1985，在上述模型基礎(chǔ)上考慮了規(guī)模效應(yīng)。Jagannathan，Wang 1996與Chan,Chen and Hsieh 1986中討論了小公司效應(yīng)。公司特征研究的證據(jù)公司特征研究的證據(jù)Fama and French 1993 根據(jù)如下三種零成本資產(chǎn)組合提出一個(gè)三因素模型：1、1單位市值加權(quán)的指數(shù)組合多頭+1單位國(guó)庫(kù)券空頭度量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。2、1單位低市凈率股票多頭+1單位高市凈率股票空頭度量市凈率的因素。3、1單位小規(guī)模公司多頭+1單位大規(guī)模公司空頭度量公司規(guī)模因素。文章發(fā)現(xiàn)，該模型能夠解釋大多數(shù)股票的風(fēng)險(xiǎn)貼水。例外，趨勢(shì)的影響。