（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題三 立體幾何 第2講 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系練典型習(xí)題 提數(shù)學(xué)素養(yǎng)（含解析）

《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題三 立體幾何 第2講 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系練典型習(xí)題 提數(shù)學(xué)素養(yǎng)（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題三 立體幾何 第2講 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系練典型習(xí)題 提數(shù)學(xué)素養(yǎng)（含解析）（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 一、選擇題 1．(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測(cè))平面α外有兩條直線a，b，它們?cè)谄矫姒羶?nèi)的投影分別是直線m，n，則下列命題正確的是(　　) A．若a⊥b，則m⊥n B．若m⊥n，則a⊥b C．若m∥n，則a∥b D．若m與n相交，則a與b相交或異面 解析：選D.對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)直線a，b相交，且所在平面與平面α垂直時(shí)，直線m，n重合，故A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，不妨在正方體ABCD-A1B1C1D1中考慮，取面對(duì)角線AB1，AD1，其所在直線分別記為a，b，其在平面ABCD上的投影分別為AB，AD，記為m，n，此時(shí)m⊥n，但a與b不垂直，故B不正

2、確；對(duì)于選項(xiàng)C，不妨在正方體ABCD-A1B1C1D1中考慮，取面對(duì)角線AB1，CD1，其所在直線分別記為a，b，其在平面ABCD上的投影分別為AB，CD，記為m，n，此時(shí)m∥n，但a與b不平行，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若m與n相交，則a與b不可能平行，只能是相交或異面，故D正確，選D. 2．(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為(　　) A．1　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選D.由題意畫出圖形如圖所示，取AD1的中點(diǎn)為O，連接OC1，OA1，易知OA1⊥平面ABC1D1，所以∠A1C1O是直線

3、A1C1與平面ABC1D1所成的角，在Rt△OA1C1 中，A1C1＝2OA1，所以sin∠A1C1O＝＝.故選D. 3．如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE 解析：選C.因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所

4、以平面ACD⊥平面BDE.故選C. 4．(2019·江西省五校協(xié)作體試題)如圖，圓錐的底面直徑AB＝4，高OC＝2，D為底面圓周上的一點(diǎn)，且∠AOD＝，則直線AD與BC所成的角為(　　) A． B． C． D． 解析：選B.如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB交底面圓于E，分別以O(shè)E，OB，OC所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椤螦OD＝π，所以∠BOD＝，則D(，1，0)，A(0，－2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，＝(，3，0)，＝(0，－2，2)，所以cos〈，〉＝＝－，則直線AD與BC所成的角為，故選B. 5.如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，

5、將△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置為D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面體D1ABC的四個(gè)面中，有n對(duì)平面相互垂直，則n等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選B. 如圖，設(shè)D1在平面ABC上的射影為E，連接D1E，則D1E⊥平面ABC， 因?yàn)镈1E?平面ABD1， 所以平面ABD1⊥平面ABC. 因?yàn)镈1E⊥平面ABC，BC?平面ABC， 所以D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E， 所以BC⊥平面ABD1， 又BC?平面BCD1， 所以平面BCD1⊥平面ABD1， 因?yàn)锽C⊥平面ABD1，AD1?平面ABD1， 所以

6、BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C， 所以AD1⊥平面BCD1，又AD1?平面ACD1， 所以平面ACD1⊥平面BCD1. 所以共有3對(duì)平面互相垂直．故選B. 6．(多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的是(　　) A．平面PB1D⊥平面ACD1 B．A1P∥平面ACD1 C．異面直線A1P與AD1所成角的范圍是 D．三棱錐D1-APC的體積不變 解析：選ABD.對(duì)于A，根據(jù)正方體的性質(zhì)，有DB1⊥平面ACD1，又DB1?平面PB1D，則平面PB1D⊥平面ACD1，故A正確；對(duì)于B，連接A1B，A1C

7、1，易證明平面BA1C1∥平面ACD1，又A1P?平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)P與線段BC1的兩端點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最小值，當(dāng)P與線段BC1的中點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最大值，故A1P與AD1所成角的范圍是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，V三棱錐D1-APC＝V三棱錐C-AD1P，因?yàn)辄c(diǎn)C到平面AD1P的距離不變，且△AD1P的面積不變，所以三棱錐C-AD1P的體積不變，故D正確．故選ABD. 二、填空題 7．(2019·沈陽市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下面結(jié)論中正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)

8、) ①BD∥平面CB1D1； ②AC1⊥平面CB1D1； ③異面直線AC與A1B成60°角； ④AC1與底面ABCD所成角的正切值是. 解析：對(duì)于①，BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，①正確；對(duì)于②，因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1，連接A1C1，又A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面AA1C1，所以B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1，所以AC1⊥平面CB1D1，②正確；對(duì)于③，易知AC∥A1C1，異面直線AC與A1B所成角為∠BA1C1，連接BC1，又△A1C1B為等邊三角形，所以∠BA1C1＝6

9、0°，異面直線AC與A1B成60°角，③正確；對(duì)于④，AC1與底面ABCD所成角的正切值是＝＝≠，故④不正確．故正確的結(jié)論為①②③. 答案：①②③ 8．(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)A關(guān)于平面BDC1的對(duì)稱點(diǎn)為M，則M到平面A1B1C1D1的距離為________． 解析：法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，正方體的棱長為1，在正方體ABCD-A1B1C1D1下面補(bǔ)一個(gè)棱長為1的正方體ABCD-A2B2C2D2，連接A2C2，B2D2，AC2，設(shè)B2D2∩A2C2＝E，連接CE交AC2于M(即A關(guān)于平面BDC1的對(duì)稱點(diǎn))，易得M，所以點(diǎn)M到

10、平面A1B1C1D1的距離為1－＝. 法二：依題意，點(diǎn)M在平面ACC1A1上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由已知得A，C1，直線OC1的方程為y＝x，其斜率為， 因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于直線OC1的對(duì)稱點(diǎn)為M，設(shè)M(a，b)， 所以，解得， 所以點(diǎn)M到直線A1C1的距離為1－＝， 所以點(diǎn)A關(guān)于平面BDC1的對(duì)稱點(diǎn)M到平面A1B1C1D1的距離為. 答案： 9．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2.過點(diǎn)A1作平面α與AB，AD分別交于M，N兩點(diǎn)，若AA1與平面α所成的角為45°，則截面A1MN面積的最小值是________，此時(shí)AM＝________．

11、 解析：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥MN，連接A1E，因?yàn)锳1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥MN，所以MN⊥平面A1AE，所以A1E⊥MN，平面A1AE⊥平面A1MN，所以∠AA1E為AA1與平面A1MN所成的角，所以∠AA1E＝45°，在Rt△A1AE中，因?yàn)锳A1＝2，所以AE＝2，A1E＝2，在Rt△MAN中，由射影定理得ME·EN＝AE2＝4，由基本不等式得MN＝ME＋EN≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)ME＝EN，即E為MN的中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以截面A1MN面積的最小值為×4×2＝4.因?yàn)锳M2＋AN2＝MN2，所以AM＝2. 答案：4　2 三、解答題 10.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD

12、，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E、F(E與A、D不重合)分別在棱AD、BD上，且EF⊥AD. 求證：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 證明：(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD， 所以EF∥AB. 又因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， BC?平面BCD且BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因?yàn)锳D?平面ABD，所以BC⊥AD. 又因?yàn)锳B⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因?yàn)锳C?

13、平面ABC， 所以AD⊥AC. 11.如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)． 求證：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE. 證明：(1)如圖，取CE的中點(diǎn)G， 連接FG， BG. 因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)， 所以GF∥DE且GF＝DE. 因?yàn)锳B⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE， 所以GF∥AB. 又因?yàn)锳B＝DE，所以GF＝AB. 所以四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG. 因?yàn)锳F?平面BCE，BG?平面BCE， 所以AF∥平面BCE. (2)因?yàn)椤鰽

14、CD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)， 所以AF⊥CD. 因?yàn)镈E⊥平面ACD，AF?平面ACD， 所以DE⊥AF. 又CD∩DE＝D， 所以AF⊥平面CDE. 因?yàn)锽G∥AF，所以BG⊥平面CDE. 又因?yàn)锽G?平面BCE， 所以平面BCE⊥平面CDE. 12．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體． (1)求證：AB⊥平面ADC； (2)若AD＝1，AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成角的正切值為，求點(diǎn)B到平面ADE的距離． 解：

15、(1)證明：因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， 又DC⊥BD，DC?平面BCD， 所以DC⊥平面ABD. 因?yàn)锳B?平面ABD， 所以DC⊥AB. 又因?yàn)檎郫B前后均有AD⊥AB， 且DC∩AD＝D， 所以AB⊥平面ADC. (2)由(1)知DC⊥平面ABD， 所以AC在平面ABD內(nèi)的正投影為AD， 即∠CAD為AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成的角． 依題意知tan ∠CAD＝＝， 因?yàn)锳D＝1，所以DC＝. 設(shè)AB＝x(x＞0)，則BD＝， 易知△ABD∽△DCB，所以＝， 即＝，解得x＝， 故AB＝，BD＝，BC＝3. 由于AB⊥平面ADC， 所以AB⊥AC，又E為BC的中點(diǎn)，所以由平面幾何知識(shí)得AE＝＝， 同理DE＝＝， 所以S△ADE＝×1× ＝. 因?yàn)镈C⊥平面ABD，所以VA-BCD＝CD·S△ABD＝. 設(shè)點(diǎn)B到平面ADE的距離為d， 則d·S△ADE＝VB-ADE＝VA-BDE＝VA-BCD＝， 所以d＝，即點(diǎn)B到平面ADE的距離為. - 9 -