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1、第二節(jié) 一元二次不等式及其解法
A組 基礎(chǔ)題組
1.不等式(x-2)(2x-3)<0的解集是( )
A.-∞,32∪(2,+∞) B.R
C.32,2 D.?
答案 C
2.已知不等式ax2-5x+b>0的解集為{x|-30的解集是( )
A.x|-1312 D.x|x<-12或x>13
答案 C 由題意得方程ax2-5x+b=0的兩根分別為-3,2,于是-3+2=--5a,-3×2=ba?a=-5,b=30.
則不等式bx2-5x+a>0,
即30x2-5x-5>0
2、,
即(3x+1)(2x-1)>0,
所以x<-13或x>12.故選C.
3.在R上定義運算“☉”:a☉b=ab+2a+b,則滿足x☉(x-2)<0的實數(shù)x的取值范圍是( )
A.(0,2) B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)
答案 B 根據(jù)給出的定義得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),
由x☉(x-2)<0得(x+2)(x-1)<0,
解得-20在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A
3、.(-∞,-2) B.(-2,+∞) C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)
答案 A 不等式x2-4x-2-a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價于a<(x2-4x-2)max,x∈(1,4).
令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),
所以g(x)
4、x+a≤0的解集中有且僅有3個整數(shù),
則f(2)≤0,f(1)>0,即22-6×2+a≤0,12-6×1+a>0,
解得5
5、可化為(x-a)(x-1)≤0,當a<1時,不等式的解集為[a,1],此時只要a≥-4即可,即-4≤a<1;當a=1時,不等式的解集為{1},此時符合要求;當a>1時,不等式的解集為[1,a],此時只要a≤3即可,即10,|a|≤1恒成立的x的取值范圍.
解析 將原不等式整理為關(guān)于a的不等式(x-3)a+x2-6x+9>0.
令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9.
因為f(a)>0在|a|≤1時恒成立,
所以若x=3,則f(a)=0,不符合題意,應(yīng)舍去;
若x≠3,則由一次函數(shù)的單調(diào)性,可得f(-1)
6、>0,f(1)>0,即x2-7x+12>0,x2-5x+6>0,
解得x<2或x>4.
所以x的取值范圍是{x|x<2或x>4}.
9.已知不等式(a+b)x+2a-3b<0的解集為x|x>-34,求不等式(a-2b)x2+2(a-b-1)x+a-2>0的解集.
解析 因為(a+b)x+2a-3b<0,
所以(a+b)x<3b-2a,
因為不等式的解集為x|x>-34,
所以a+b<0,且3b-2aa+b=-34,解得a=3b<0,
則不等式(a-2b)x2+2(a-b-1)x+a-2>0,
等價于bx2+(4b-2)x+3b-2>0,
即x2+4-2bx+3-2b<0,
7、
即(x+1)x+3-2b<0.
易知-3+2b<-1,
所以所求不等式的解集為x|-3+2b320,
即x2
8、-28x+192<0,
解得121時,解得1
9、(x)=f(x)-x的兩個零點為m,n(m0的解集;
(2)若a>0,且00,即a(x+1)(x-2)>0.
當a>0時,不等式F(x)>0的解集為{x|x<-1或x>2};
當a<0時,不等式F(x)>0的解集為{x|-10,且0
10、1-an+ax>0.
∴f(x)-m<0,即f(x)0時,原不等式可化為a(x-2)x-1a<0,根據(jù)不等式的性質(zhì),得不等式等價于(x-2)x-1a<0.
因為方程(x-2)x-1a=0的兩個根分別是2,1a,所以
當012時,1a<2,則原不等式的解集是x|1a2,
即原不等式的解集是{x|x>2}.
③當a<0時,原不等式可化為a(x-2)x-1a<0,
根據(jù)不等式的性質(zhì),得不等式等價于(x-2)x-1a>0,
由于1a<2,故原不等式的解集是x|x<1a或x>2.
綜上所述,當a<0時,不等式的解集為x|x<1a或x>2;
當a=0時,不等式的解集為{x|x>2};
當012時,不等式的解集為x|1a
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