(山東專(zhuān)用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題13 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)研究函數(shù)的單調(diào)性(含解析)

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(山東專(zhuān)用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題13 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)研究函數(shù)的單調(diào)性(含解析)_第1頁(yè)
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1、1專(zhuān)題專(zhuān)題 1313導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1 1)研究函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)單調(diào)性一一、【知識(shí)精講】【知識(shí)精講】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則:(1)若f(x)0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;(2)若f(x)0 在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.二二、【典例精練】【典例精練】考點(diǎn)一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例 1】已知函數(shù)f(x)ax3x2(aR R)在x43處取得極值.(1)確定a的值;(2)若g(x)f(x)ex,求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間.【解析】(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)3ax22x,因?yàn)閒(x)在x43處取得極值,所以

2、f43 0,即 3a432243 16a3830,解得a12.(2)由(1)得g(x)12x3x2ex,故g(x)12x(x1)(x4)ex.令g(x)0,即x(x1)(x4)0,解得1x0 或x0,得單調(diào)遞增區(qū)間;(4)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0,得單調(diào)遞減區(qū)間.2.若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí),用“,”與“和”連接.2考點(diǎn)二討論函數(shù)的單調(diào)性【例 2】(2017全國(guó)卷改編)已知函數(shù)f(x)ex(exa)a2x,其中參數(shù)a0.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)0,求a的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,),且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).

3、若a0,則f(x)e2x,在(,)上單調(diào)遞增.若a0,則由f(x)0,得xlna2.當(dāng)x,lna2時(shí),f(x)0.故f(x)在,lna2上單調(diào)遞減,在區(qū)間 lna2,上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)a0 時(shí),f(x)e2x0 恒成立.若aa2e34時(shí),f(x)0.綜上,a的取值范圍是2e34,0.【解法小結(jié)】1.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類(lèi)討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要在函數(shù)定義域內(nèi)討論,還要確定導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).2.個(gè)別導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性,如f(x)x3,f(x)3x20(f(x)0 在x0 時(shí)取到),f(x)在 R R 上

4、是增函數(shù).考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用多維探究角度 1比較大小或解不等式【例31】(1)已知函數(shù)yf(x)對(duì)于任意的x0,2 滿(mǎn)足f(x)cosxf(x)sinx1lnx,其中f(x)3是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列不等式成立的是()A.2f3 f4C.2f6 3f4D.3f3 f6(2)已知函數(shù)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),f(1)1e,對(duì)任意實(shí)數(shù)都有f(x)f(x)0,設(shè)F(x)f(x)ex,則不等式F(x)1e2的解集為()A.(,1)B.(1,)C.(1,e)D.(e,)【答案】(1)B(2)B【解 析】(1)令g(x)f(x)cosx,則g(x)f(x)cosxf(x)(sinx)c

5、os2x1lnxcos2x.由0 x0,解得1ex2;由0 x2,g(x)0,解得 0 x4,所以g3 g4,所以f3cos3f4cos4,即2f3 f4.(2)F(x)f(x)exexf(x)(ex)2f(x)f(x)ex,又f(x)f(x)0,知F(x)0,F(xiàn)(x)在 R R 上單調(diào)遞減.由F(x)1,所以不等式F(x)1e2的解集為(1,).角度 2根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)【例 32】(2019 全國(guó)卷 III)已知函數(shù)32()22f xxax.(1)討論()f x的單調(diào)性;(2)當(dāng) 0a0,則當(dāng)(,0),3ax 時(shí),()0fx;當(dāng)0,3ax時(shí),()0fx故()f x在(,0),3a單調(diào)遞增

6、,在0,3a單調(diào)遞減;若a=0,()f x在(,)單調(diào)遞增;若a0,f(x)0(f(x)0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.4.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是:對(duì)x(a,b),都有f(x)0(f(x)0),且f(x)在(a,b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.三三、【名校新題】【名校新題】1.(2019青島月考)函數(shù)f(x)cosxx在(0,)上的單調(diào)性是()A.先增后減B.先減后增C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減【答案】D【解析】易知f(x)sinx1,x(0,),則f(x)0,所以f(x)cosxx在(0,)上遞減.2.(2019福州質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)

7、x312x在區(qū)間(k1,k1)上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.k3 或1k1 或k3B.不存在這樣的實(shí)數(shù)kC.2k2D.3k1 或 1k3【答案】D6【解析】由f(x)x312x,得f(x)3x212,令f(x)0,解得x2 或x2,只要f(x)0 的解有一個(gè)在區(qū)間(k1,k1)內(nèi),函數(shù)f(x)在區(qū)間(k1,k1)上就不單調(diào),則k12k1 或k12k1,解得3k1 或 1k3.3.(2019淄博桓臺(tái)月考)若函數(shù)f(x)kxlnx在區(qū)間(2,)上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是()A.(,2B.12,C.2,)D.,12【答案】B【解析】由于f(x)k1x,f(x)kxlnx在區(qū)間(2,)

8、上單調(diào)遞增,等價(jià)于f(x)k1x0 在(2,)上恒成立,由于k1x,而 01x2,則f(x)2x4 的解集為()A.(1,1)B.(1,)C.(,1)D.(,)【答案】B【解析】由f(x)2x4,得f(x)2x40,設(shè)F(x)f(x)2x4,則F(x)f(x)2,因?yàn)閒(x)2,所以F(x)0 在 R 上恒成立,所以F(x)在 R 上單調(diào)遞增.又F(1)f(1)2(1)42240,故不等式f(x)2x40 等價(jià)于F(x)F(1),所以x1.5(2019百校聯(lián)盟聯(lián)考)若函數(shù)f(x)ex(sinxa)在區(qū)間2,2 上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A 2,)B(1,)C(2,)D1,)【答案】D

9、【解析】由題意知f(x)ex(sinxcosxa)0 在區(qū)間2,2 上恒成立,即a 2sinx4 在區(qū)間2,2 上恒成立,x44,34,sinx4 22,1,2sinx4 2,71),a1,故選 D.6.(2019惠州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)xsinxcosxx2,則不等式f(lnx)fln1x2f(1)的解集為()A.(e,)B.(0,e)C.0,1e(1,e)D.1e,e【答案】D【解析】f(x)xsinxcosxx2是偶函數(shù),所以fln1xf(lnx)f(lnx).則原不等式可變形為f(lnx)f(1)f(|lnx|)0,得x0 時(shí),f(x)0.所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞增.|lnx|

10、11lnx11ex0,解得a3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3,0)(0,).8.若函數(shù)f(x)13x312x22ax在23,上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則a的取值范圍是_.【答案】19,【解析】對(duì)f(x)求導(dǎo),得f(x)x2x2ax122142a.當(dāng)x23,時(shí),f(x)的最大值為f23 292a.令292a0,解得a19.所以a的取值范圍是19,.9.(2016全國(guó)卷改編)若函數(shù)f(x)x13sin 2xasinx在(,)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是_.【答案】13,138【解析】f(x)123cos 2xacosx123(2cos2x1)acosx43cos2xacosx53,f(x)在 R 上單調(diào)遞增

11、,則f(x)0 在 R 上恒成立.令 cosxt,t1,1,則43t2at530 在1,1上恒成立,即 4t23at50 在t1,1上恒成立.令g(t)4t23at5,則g(1)43a50,g(1)43a50,解得13a13.10.已知函數(shù)f(x)x4axlnx32,其中aR,且曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)y12x.(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)14ax21x,由f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)y12x知f(1)34a2,解得a54.(2)由(1)知f(x)x454xlnx32(x0).則f(x)x24x

12、54x2.令f(x)0,且x0,x5(x1 舍去).當(dāng)x(0,5)時(shí),f(x)5 時(shí),f(x)0.所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(5,),減區(qū)間為(0,5).11.(2019成都七中檢測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)ax2alnx,g(x)1xeex,其中aR,e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)x1 時(shí),g(x)0.【解析】(1)解由題意得f(x)2ax1x2ax21x(x0).當(dāng)a0 時(shí),f(x)0 時(shí),由f(x)0 有x12a,當(dāng)x0,12a時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.(2)證明令s(x)ex1x,則s(x)ex11.當(dāng)x1 時(shí),s(x)0,所以s(x)s(1),

13、即 ex1x,從而g(x)1xeexe(ex1x)xex0.12.(2019昆明診斷)已知函數(shù)f(x)lnx,g(x)12ax22x.(1)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】h(x)lnx12ax22x,x0.h(x)1xax2.(1)若函數(shù)h(x)在(0,)上存在單調(diào)減區(qū)間,則當(dāng)x0 時(shí),1xax21x22x有解.設(shè)G(x)1x22x,所以只要aG(x)min.又G(x)1x121,所以G(x)min1.所以a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,).(2)由h(x)在1,4上單調(diào)遞

14、減,當(dāng)x1,4時(shí),h(x)1xax20 恒成立,則a1x22x恒成立,設(shè)G(x)1x22x,所以aG(x)max.又G(x)1x121,x1,4,因?yàn)閤1,4,所以1x14,1,所以G(x)max716(此時(shí)x4),所以a716.又當(dāng)a716時(shí),h(x)1x716x2(7x4)(x4)16x,x1,4,h(x)(7x4)(x4)16x0,10當(dāng)且僅當(dāng)x4 時(shí)等號(hào)成立.h(x)在1,4上為減函數(shù).故實(shí)數(shù)a的取值范圍是716,.13.(2019 全國(guó)卷 II)已知函數(shù) 11lnxf xxx.(1)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),證明曲線(xiàn)y=l

15、nx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)exy 的切線(xiàn).【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)椋?,1),(1,+)單調(diào)遞增因?yàn)閒(e)=e 110e 1,22222e1e3(e)20e1e1f,所以f(x)在(1,+)有唯一零點(diǎn)x1,即f(x1)=0又1101x,1111111()ln()01xfxf xxx ,故f(x)在(0,1)有唯一零點(diǎn)11x綜上,f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)(2)因?yàn)?ln01exx,故點(diǎn)B(lnx0,01x)在曲線(xiàn)y=ex上由題設(shè)知0()0f x,即0001ln1xxx,故直線(xiàn)AB的斜率00000000000111ln111ln1xxxxxkxxxxxx曲線(xiàn)y=ex在點(diǎn)

16、001(ln,)Bxx處切線(xiàn)的斜率是01x,曲線(xiàn)lnyx在點(diǎn)00(,ln)A xx處切線(xiàn)的斜率也是01x,所以曲線(xiàn)lnyx在點(diǎn)00(,ln)A xx處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)y=ex的切線(xiàn)14.(2019 全國(guó)卷 III)已知函數(shù)32()2f xxaxb.11(1)討論()f x的單調(diào)性;(2)是否存在,a b,使得()f x在區(qū)間0,1的最小值為1且最大值為 1?若存在,求出,a b的所有值;若不存在,說(shuō)明理由.【解析】(1)2()622(3)fxxaxxxa令()0fx,得x=0 或3ax.若a0,則當(dāng)(,0),3ax 時(shí),()0fx;當(dāng)0,3ax時(shí),()0fx故()f x在(,0),3a單調(diào)遞增,

17、在0,3a單調(diào)遞減;若a=0,()f x在(,)單調(diào)遞增;若a0,則當(dāng),(0,)3ax 時(shí),()0fx;當(dāng),03ax時(shí),()0fx故()f x在,(0,)3a單調(diào)遞增,在,03a單調(diào)遞減.(2)滿(mǎn)足題設(shè)條件的a,b存在.(i)當(dāng)a0 時(shí),由(1)知,()f x在0,1單調(diào)遞增,所以()f x在區(qū)間0,l的最小值為(0)=fb,最大值為(1)2fab.此時(shí)a,b滿(mǎn)足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)1b ,21ab,即a=0,1b (ii)當(dāng)a3 時(shí),由(1)知,()f x在0,1單調(diào)遞減,所以()f x在區(qū)間0,1的最大值為(0)=fb,最小值為(1)2fab此時(shí)a,b滿(mǎn)足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)21ab,b=1,即a=4,b=1(iii)當(dāng) 0a3 時(shí),由(1)知,()f x在0,1的最小值為3327aafb,最大值為b或2ab若3127ab,b=1,則33 2a,與 0a3 矛盾.12若3127ab,21ab,則3 3a 或3 3a 或a=0,與 0a3 矛盾綜上,當(dāng)且僅當(dāng)a=0,1b 或a=4,b=1 時(shí),()f x在0,1的最小值為1,最大值為 1

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