8、2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
【解析】若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交．
【答案】D
(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是( )
A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直
C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行
【解析】連接B1C，B1D1，則點M是B1C的中點，MN是△B1CD1的中位線，∴MN∥B1D1.
∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，
∴M
9、N⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.
又∵A1B1與B1D1相交，
∴MN與A1B1不平行，故選D.
【答案】D
(3)在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號)
【解析】圖①中，直線GH∥MN；
圖②中，G，H，N三點共面，但M?面GHN，
因此直線GH與MN異面；
圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；
圖④中，G，M，N共面，但H?面GMN，
因此GH與MN異面．
所以圖②④中GH與MN異面．
【答案】②④
【點評】空間中
10、兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決．
考點3 異面直線所成的角
(1)如圖，三棱錐ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________．
【解析】如圖所示，連接DN，取線段DN的中點K，連接MK，CK.
∵M為AD的中點，
∴MK∥AN，
∴∠KMC為異面直線AN，CM所成的角．
∵AB＝AC＝BD＝CD
11、＝3，AD＝BC＝2，
N為BC的中點，
由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2，
∴MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝＝.
在△CKM中，由余弦定理，得
cos∠KMC＝＝.
【答案】
(2)空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大?。?
【解析】如圖，取AC的中點G，連接EG、FG，則EG綊AB，F(xiàn)G綊CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．
∵AB與CD所成的角為30°，
∴∠EGF＝30°或150°.
12、
由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，
當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；
當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°.
故EF與AB所成的角為15°或75°.
【點評】(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．
(2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”．其中空間選點任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線、平行四邊形等進行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進而求解．
方法總結(jié) 【p127】
1．證明點共線、線
13、共點、點或線共面等問題的方法：
(1)證明若干點共線，通常證明這些點都是某兩個平面的公共點，根據(jù)公理3，這些點都在交線上；或選擇其兩點確定一條直線，然后證明其他點都在這條直線上．
(2)證明若干條直線共點與證明若干點共線的方法類似，轉(zhuǎn)化化歸為證明“點在直線上”(證明兩條直線的交點在第三條直線上)．
(3)證明若干元素(點或直線)共面，常用方法是：(法一)根據(jù)公理2或推論確定一個平面，然后再證其他元素也在這個平面內(nèi)；(法二)根據(jù)公理2或其推論確定兩個平面，然后再證明這兩個平面重合．
2．求異面直線所成的角，常用平移法，即平移異面直線中的一條(或兩條)構(gòu)造異面直線所成的角，然后通過解三角形
14、求解．
注意：(1)當用平移轉(zhuǎn)化法繁瑣或無法平移時，可考慮兩條異面直線是否垂直；(2)兩條異面直線所成的角是銳角或直角．
3．證明兩直線是異面直線的常用方法是“判定定理”和“反證法”，其中“反證法”最常用．
走進高考 【p127】
1．(2018·全國卷Ⅱ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為
A.B.C.D.
【解析】法一：如圖，補上一相同的長方體CDEF－C1D1E1F1，連接DE1，B1E1.
易知AD1∥DE1，則∠B1DE1為異面直線AD1與DB1所成角．因為在長方體ABCD－A1B1C1D1中，
15、AB＝BC＝1，AA1＝，所以DE1＝＝＝2，DB1＝＝，B1E1＝＝＝，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝＝，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.
法二：如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角．因為在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝，所以O(shè)M＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.
法三：以D為坐標原點，DA，D
16、C，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．由條件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以＝(－1，0，)，＝(1，1，)，則由向量夾角公式，得cos〈，〉＝＝＝，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.
【答案】C
考點集訓 【p244】
A組題
1．下列各圖是正方體或正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點中不共面的一個圖是( )
【解析】如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為相應棱上的中點，則截面ABCDEF為選項A和選項B中的點所在的平面，
由三角形中線的性質(zhì)可知：PQ∥AB，SR∥
17、AB，則PQ∥SR，據(jù)此可知選項C中的P，Q，R，S四點共面，
選項D中很明顯P，Q，R三點共面，點S不在平面PQR內(nèi)．
【答案】D
2．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是( )
A．相交或平行
B．相交或異面
C．平行或異面
D．相交、平行或異面
【解析】依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．
【答案】D
3．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是( )
A.B.
C.D.
【解析】過點N作
18、AM的平行線交AB于點E，則AE＝3EB，連接EC，
設(shè)AB＝4，在△NEC中有EN＝，EC＝，NC＝，
由余弦定理得cos∠ENC＝＝，
∴直線AM和CN所成的角的余弦值是.
【答案】D
4．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中AB與CD的位置關(guān)系為( )
A．平行
B．相交成60°角
C．異面成60°角
D．異面且垂直
【解析】由圖可知還原立體圖象為：
所以可知AB，CD異面，因為CE平行AB，所以∠DCE為所求角，因為三角形CDE為等邊三角形，故∠DCE＝60°.
【答案】C
5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，
19、則異面直線CP與BA1所成角θ的取值范圍是( )
A．0<θ< B．0<θ≤
C．0≤θ≤ D．0<θ≤
【解析】如圖，A1B∥CD1，所以異面直線CP，BA1所成的角為∠D1CP，當點P在線段AD1上運動時，求∠D1CP的取值范圍，點P不能與D1重合，與點A重合時，∠D1CP最大，最大為，∠D1CP的取值范圍是，所以異面直線CP，BA1所成角的取值范圍是.
【答案】D
6．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，與異面直線AB和CC1都可以共面的棱的條數(shù)為________．
【解析】如圖，與異面直線AB和CC1都共面的棱共有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，共5條．
20、
【答案】5
7．如圖，在底面為正方形的四棱錐P－ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，點E為棱PA的中點，則異面直線BE與PD所成角的余弦值為________．
【解析】取PD的中點記為F點，BC的中點記為G點，連接FG，EF，GD，因為EF∥BC，且EF＝BC，BG＝BC，故得到四邊形EFGB為平行四邊形，故∠GFD或其補角為所求角，根據(jù)題干得到，三角形PAB為等邊三角形，BF為其高線，長度為，F(xiàn)G＝，DG＝＝，F(xiàn)D＝1，根據(jù)余弦定理得到cos∠GFD＝＝－，因為異面直線夾角為直角或銳角，故取正值，為.
【答案】
8．如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G
21、分別在AB，BC，CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E，F(xiàn)，G的平面交AD于點H.
(1)求AH∶HD；
(2)求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點．
【解析】(1)∵＝＝2，∴EF∥AC，
∴EF∥平面ACD，而EF?平面EFGH，
平面EFGH∩平面ACD＝GH，
∴EF∥GH，∴AC∥GH.
∴＝＝3.∴AH∶HD＝3∶1.
(2)∵EF∥GH，且＝，＝，
∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形．
令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD，
又P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD.∴EH，F(xiàn)G
22、，BD三線共點．
B組題
1．以下四個命題中，
①不共面的四點中，其中任意三點不共線；
②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；
③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面．
正確命題的個數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】①中顯然是正確的；②中若A，B，C三點共線，則A，B，C，D，E五點不一定共面；③構(gòu)造長方體或正方體(如圖)，顯然b，c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確．
【答案】B
2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分
23、別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條．
【解析】法一：如圖所示．在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點．所以這樣的直線有無數(shù)條．
法二：在A1D1上任取一點P，過點P與直線EF作一個平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交．
【答案】無數(shù)
3．如圖
24、，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D是CC1的中點，則直線AC1與BD所成角的余弦值為________．
【解析】記AC中點為E，并連接BE，
∵D是CC1的中點，
則DE∥AC1，
∴直線AC1與BD所成角即為DE與BD所成角，
設(shè)CA＝CB＝CC1＝2，
∴CD＝1，BD＝，DE＝，BE＝，
∴cos θ＝＝.
【答案】
4．如圖，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB＝AC＝1，∠BAC＝，高等于3，點M1，M2，N1，N2為所在線段的三等分點．
(1)求此三棱柱的體積和三棱錐A1－AM1N2的體
25、積；
(2)求異面直線A1N2，AM1所成的角的大?。?
【解析】(1)∵S△ABC＝，∴VABC－A1B1C1＝.
又S△AM1A1＝，C1到平面ABB1A1的距離等于1，即N2到平面ABB1A1的距離等于1，
∴VA1－AM1N2＝VN2－AM1A1＝×＝，
∴三棱柱ABC－A1B1C1的體積等于，三棱錐A1－AM1N2的體積等于.
(2)取線段AA1的三等分點P1，P2，連P1M2，P1C.
∵A1N2∥P1C，AM1∥P1M2，∴∠M2P1C的大小等于異面直線A1N2，AM1所成的角或其補角的大?。?
∵P1M2＝AM1＝，P1C＝，M2C＝.
∴cos∠M2P1C＝＝－.
∴異面直線A1N2，AM1所成的角的大小等于.
備課札記
16
（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第九章 直線、平面、簡單幾何體和空間向量 第55講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系練習 理（含解析）新人教A版
