（山東專用）2020年高考數(shù)學一輪復習 專題12 導數(shù)的概念及其運算（含解析）

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1、專題12 導數(shù)概念及其運算 一、【知識精講】 1.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù) (1)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率＝ 為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝. (2)幾何意義：函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處的切線的斜率.相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0). 2.函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù) 如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點處都有導數(shù)，其導數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，函數(shù)f′(x)＝稱為函數(shù)y＝f(x)

2、在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù). 3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 基本初等函數(shù) 導函數(shù) f(x)＝c(c為常數(shù)) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝axln__a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a＞0，a≠1) f′(x)＝ 4.導數(shù)的運算法則 若f′(x)，g′(x)存在，則有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

3、 (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0). 5.復合函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′. [微點提醒] 1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，且(f(x0))′＝0. 2.′＝－. 3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點. 4.函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)

4、|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”. 二、【典例精練】 考點一　導數(shù)的運算　 角度1　根據(jù)求導法則求函數(shù)的導數(shù) 例1. 分別求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝exln x； (2)y＝x； (3)f(x)＝ln . 【解析】　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋＝ex. (2)因為y＝x3＋1＋，所以y′＝3x2－. (3)因為y＝ln ＝ln， 所以y′＝··(1＋2x)′＝. 角度2　抽象函數(shù)的導數(shù)計算 例2. (2019·福州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)是f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln

5、 ，則f(1)＝(　　) A.－e B.2 C.－2 D.e 【答案】B 【解析】　由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，則f(1)＝2f′(1)＝2. 【解法小結(jié)】　1.求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)分割成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導. 2.復合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元. 3.抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解. 考點二　導數(shù)的幾何意義　 角度1　求切線方程 例3. (2018·全國Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)為奇函數(shù)，

6、則曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線方程為(　　) A.y＝－2x B.y＝－x C.y＝2x D.y＝x 【答案】D 【解析】　因為函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數(shù)，所以a－1＝0，則a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線方程為y＝x. 角度2　求切點坐標 例4.)設(shè)曲線y＝ex在點(0，1)處的切線與曲線y＝(x>0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為________. 【答案】(1，1) 【解析】∵函數(shù)y＝ex的導函數(shù)為y′＝ex， ∴曲線y＝ex在點(0，1)處的

7、切線的斜率k1＝e0＝1. 設(shè)P(x0，y0)(x0>0)，∵函數(shù)y＝的導函數(shù)為y′＝－，∴曲線y＝(x>0)在點P處的切線的斜率k2＝－， 由題意知k1k2＝－1，即1·＝－1，解得x＝1，又x0>0，∴x0＝1. 又∵點P在曲線y＝(x>0)上，∴y0＝1，故點P的坐標為(1，1). 角度3　求參數(shù)的值或取值范圍 例5. (2018·全國Ⅱ卷)曲線y＝2ln(x＋1)在點(0，0)處的切線方程為________________. 【答案】y＝2x. 【解析】由題意得y′＝.在點(0，0)處切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝0＝2.∴曲線y＝2ln(x＋1)在點(0，0)處的切線方程為y－

8、0＝2(x－0)，即y＝2x. 例6.(2016山東高考)若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】由函數(shù)的圖象在兩點處的切線互相垂直可知，存在兩點處的切線斜率的積，即導函數(shù)值的乘積為負一. 當時，，有，所以在函數(shù)圖象存在兩點使條件成立，故A正確；函數(shù)的導數(shù)值均非負，不符合題意，故選A 【解法小結(jié)】　1.求切線方程時，注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)

9、(x－x0)；求過某點的切線方程，需先設(shè)出切點坐標，再依據(jù)已知點在切線上求解. 2.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點處的導數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上. 【思維升華】] 1.對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則.求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤.對于復合函數(shù)求導，關(guān)鍵在于分清復合關(guān)系，適當選取中間變量，然后“由外及內(nèi)”逐層求導. 2.求曲線的切線方程要注意分清已知點是否是切點.若已知點是切點，則可通

10、過點斜式直接寫方程，若已知點不是切點，則需設(shè)出切點. 3.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題時，一般利用曲線、切線、切點的三個關(guān)系列方程求解. 【易錯注意點】 1.求導常見易錯點：①公式(xn)′＝nxn－1與(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中“＋”“－”號記混，如出現(xiàn)如下錯誤：′＝，(cos x)′＝sin x；③復合函數(shù)求導分不清內(nèi)、外層函數(shù). 2.求切線方程時，把“過點切線”問題誤認為“在點切線”問題. 三、【名校新題】 1.(2018·日照質(zhì)檢)已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0等于(　　) A.e2 B.e C. D.ln 2 【答案】B 【解析

11、】　f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e. 2． (2019·鄭州月考)已知曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為(　　) A.3 B.2 C.1 D. 【答案】A 【解析】設(shè)切點的橫坐標為x0(x0>0)， ∵曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為， ∴y′＝－，即－＝， 解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合題意)，即切點的橫坐標為3. 3.（2019開封市高三定位考試）曲線y=ex+1在x=1處的切線與坐標軸所圍成的三角形面積是（ ） A. 12e

12、 B. e2 C. 2e2 D.94e2 【答案】A 【解析】由y=ex+1，得y∕=ex,∴曲線y=ex+1在x=1處的切線斜率k=e, 所以曲線y=ex+1在x=1處的切線方程是y-(e+1)=e(x-1),令x=0,則y=1,令y=0,得x=-1e,所以所求圍成的三角形面積為12×1×1e=12e.故選A 4.(2019·合肥一模)函數(shù)f(x)＝x－g(x)的圖象在點x＝2處的切線方程是y＝－x－1，則g(2)＋g′(2)＝(　　) A.7 B.4 C.0 D.－4 【答案】A 【解析】　∵f(x)＝x

13、－g(x)，∴f′(x)＝1－g′(x)，又由題意知f(2)＝－3，f′(2)＝－1，∴g(2)＋g′(2)＝2－f(2)＋1－f′(2)＝7. 5.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線y＝aex＋x在點(1，ae＋1)處的切線與直線2ex－y－1＝0平行，則實數(shù)a＝(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】　∵y′＝aex＋1，∴在點(1，ae＋1)處的切線的斜率為y′|x＝1＝ae＋1，又切線與直線2ex－y－1＝0平行，∴ae＋1＝2e，解得a＝. 6.（2019福建五校第二次聯(lián)考）已知函數(shù)fx=ln-x+1,x<0x2+3x,x≥0，若fx-m+2x≥0，則實數(shù)m的取值范

14、圍是（ ） A.-∞,1 B.-2,1 C.0,3 D.3，+∞ 【答案】B 【解析】令gx=x2+3x,x≥0,則g∕x=2x+3,∴g∕0=3,所以函數(shù)gx在原點處的切線方程為y=3x,故函數(shù)fx的圖像在原點處的切線方程為y=3x，作出fx的圖像以及切線y=3x，再讓y=m+2x繞原點旋轉(zhuǎn)，則可得0≤m+2≤3, 解得-2≤m≤1,故選B 7.(2019·廣州調(diào)研)已知直線y＝kx－2與曲線y＝xln x相切，則實數(shù)k的值為(　　) A.ln 2

15、B.1 C.1－ln 2 D.1＋ln 2 【答案】D 【解析】　由y＝xln x得y′＝ln x＋1，設(shè)切點為(x0，y0)，則k＝ln x0＋1，∵切點(x0，y0)(x0>0)既在曲線y＝xln x上又在直線y＝kx－2上，∴∴kx0－2＝x0ln x0，∴k＝ln x0＋，則ln x0＋＝ln x0＋1，∴x0＝2，∴k＝ln 2＋1. 8.(2018·深圳二模)設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋＋b，若曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處的切線經(jīng)過坐標原點，則ab＝(　　) A.1 B.0 C.－1 D.－2 【答案】D 【解析】　由題意可得，f(a)＝a＋＋b，

16、f′(x)＝1－，所以f′(a)＝1－，故切線方程是y－a－－b＝(x－a)，將(0，0)代入得－a－－b＝(－a)，故b＝－，故ab＝－2. 9.（2019荊州市八校聯(lián)考）．已知函數(shù) ，在函數(shù)圖象上任取兩點，若直線的斜率的絕對值都不小于，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，在單調(diào)遞減， 設(shè) 設(shè)則在上單調(diào)遞減 則對恒成立 則對恒成立 則 解之得或 又，所以 10．（2019濟南市三模）已知函數(shù)，若對任意的實數(shù)，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是． 【答案】m≤12 【解析】記的最大值為， 則由題意知

17、，. 所以 . 借助縱向距離法（切比雪夫最佳逼近線） 記， 則對于，可以看作橫坐標相同時， 與圖像上點的縱向距離（或鉛錘距離）. 記連接，則圖中直線的斜率為， 則直線的方程為;直線與直線平行，且與切于點， 由 當直線與直線平行且與兩直線距離相等時， 即恰好處于兩直線正中間的位置時， 與圖像上點的縱向距離的最大值最小. 此時, 另： 11. (2019·東北三省四校聯(lián)考)已知曲線f(x)＝x＋＋b(x≠0)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝2x＋5，則a－b＝________. 【答案】-8 【解析】f′(x)＝1－，

18、∴f′(1)＝1－a， 又f(1)＝1＋a＋b，∴曲線在(1，f(1))處的切線方程為y－(1＋a＋b)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2a＋b， 根據(jù)題意有解得 ∴a－b＝－1－7＝－8. 12.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足關(guān)系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，則f′(2)＝________. 【答案】－ 【解析】因為f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x， 所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋， 所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋， 所以f′(2)＝－. 13.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線

19、方程為y＝2x－1，則曲線g(x)＝x2＋f(x)在點(2，g(2))處的切線方程為________________. 【答案】　　6x－y－5＝0 【解析】由題意，知f(2)＝2×2－1＝3，∴g(2)＝4＋3＝7， ∵g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，∴g′(2)＝2×2＋2＝6， ∴曲線g(x)＝x2＋f(x)在點(2，g(2))處的切線方程為y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0. 14.(2019·西安一模)定義1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導，即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x)在區(qū)間D上也可導，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導數(shù)，記作f″(x)＝[f′

20、(x)]′. 定義2：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導數(shù)恒為正，即f″(x)>0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù).已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋1在區(qū)間D上為凹函數(shù)，則x的取值范圍是________. 【答案】 【解析】因為f(x)＝x3－x2＋1，因為f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3，令f″(x)>0，解得x>，故x的取值范圍是. 15（2019江西七校第一次聯(lián)考）．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R）． （Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值． （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：f（x）≥﹣+﹣4x+ 【解析】

21、（1）解：，由題意可得f′（1）=0，解得a=1； 經(jīng)檢驗，a=1時f（x）在x=1處取得極值，所以a=1． （2）證明：由（1）知，f（x）=x2﹣x﹣lnx． 令， 由， 可知g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)， 所以g（x）≥g（1）=0，所以成立 16.（2019武漢部分高中聯(lián)考）.已知函數(shù). （1）若函數(shù)在點處的切線與直線平行，求實數(shù)的值； （2）若對于任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 【解析】（1）∵, ∴, ∴, ∵函數(shù)在處的切線與直線平行， ∴, ∴. （2）∵對于任意，恒成立， ∴ 即對于任意，恒成立， 令，， ， 令，得， 令，得， ∴函數(shù)在區(qū)間上的最大值， ∴， 即實數(shù)的取值范圍是. 11