（課標(biāo)通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第6講 雙曲線檢測(cè) 文

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1、第6講 雙曲線 [基礎(chǔ)題組練] 1．若雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1(a>0，b>0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4，則b＝(　　) A．2　　　　　 B．4 C．6 D．8 解析：選B.由題意得，＝2?b＝2a，C2的焦距2c＝4?c＝＝2?b＝4，故選B. 2．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且雙曲線的焦距為2，則該雙曲線的方程為(　　) A.－y2＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1 解析：選A.由題意可得 解得則該雙曲線方程為－y2＝1. 3．(2019·遼

2、寧撫順模擬)當(dāng)雙曲線M：－＝1(－2≤m<0)的焦距取得最小值時(shí)，雙曲線M的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 解析：選C.由題意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，當(dāng)m＝－1時(shí)，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，此時(shí)雙曲線M的方程為x2－＝1，所以漸近線方程為y＝±2x.故選C. 4．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，過(guò)其左焦點(diǎn)F作x軸的垂線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若雙曲線的右頂點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(2，＋∞) B．(1，2) C. D. 解析：選A.由雙曲線的性質(zhì)可得|AF|

3、＝，即以AB為直徑的圓的半徑為，而右頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)的距離為a＋c，由題意可知>a＋c，整理得c2－2a2－ac>0，兩邊同除以a2，則e2－e－2>0，解得e>2或e<－1，又雙曲線的離心率大于1，所以e>2. 5．已知雙曲線的焦距為6，其上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之差為－4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． 解析：若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.由題意得即又c2＝a2＋b2，故b2＝5.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.同理可得所以b＝5.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.綜上所述，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1或－＝1. 答案：－＝1或－

4、＝1 6．若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4)，則此雙曲線的離心率為_(kāi)_______． 解析：由雙曲線的漸近線過(guò)點(diǎn)(3，－4)知＝， 所以＝.又b2＝c2－a2，所以＝， 即e2－1＝，所以e2＝，所以e＝. 答案： 7．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同的焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． 解：橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－5，0)，(5，0)， 因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5. 設(shè)雙曲線G的方程為－＝1(a>0，b>0)， 所以漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25，

5、又圓心M(0，5)到兩條漸近線的距離為r＝3. 所以＝3，得a＝3，b＝4， 所以雙曲線G的方程為－＝1. 8．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(4，0)，實(shí)軸長(zhǎng)為4. (1)求雙曲線C的方程； (2)若直線l：y＝kx＋2與雙曲線C左支交于A，B兩點(diǎn)，求k的取值范圍． 解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)． 由已知得：a＝2，c＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝4，所以雙曲線C的方程為－＝1. (2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，將y＝kx＋2與－＝1聯(lián)立，得(1－3k2)x2－12kx－36＝0.由題意知 解得

6、，l與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn)． 所以k的取值范圍為 [綜合題組練] 1．(2018·高考天津卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選A.由題意不妨設(shè)A，B，雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，即bx－ay＝0，則d1＝，d2＝， 故d1＋d2＝＋＝＝2b＝6，故b＝3. 又＝＝＝＝2，所以b2＝3a2，得a2＝3.所以雙曲線的方程為－＝1. 2．(2018·高考全國(guó)

7、卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A. B．3 C．2 D．4 解析：選B.法一：由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為 y＝±x. 設(shè)兩漸近線夾角為2α， 則有tan α＝＝，所以α＝30°. 所以∠MON＝2α＝60°. 又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對(duì)稱性，不妨設(shè)MN⊥ON，如圖所示． 在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝. 則在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故選B. 法二：因?yàn)殡p曲線－y2＝1的

8、漸近線方程為y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線與直線y＝x交于點(diǎn)M，由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°，又直線MN過(guò)點(diǎn)F(2，0)，所以直線MN的方程為y＝－(x－2)， 由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故選B. 3．(綜合型)已知雙曲線－＝1，過(guò)點(diǎn)M(m，0)作垂直于雙曲線實(shí)軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．若△AOB是銳角三角形(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：由題意得A，B，所以＝，＝.因?yàn)椤鰽OB是銳角三角形，所以∠AOB是銳角，即與的夾角為銳角，所以·>0，即m2－＋4>0，解

9、得－2.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2，－)∪(，2)． 答案：(－2，－)∪(，2) 4．(2019·河北名校名師俱樂(lè)部二調(diào))已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延長(zhǎng)AF2交雙曲線的右支于點(diǎn)B，則△F1AB的面積等于________．　 解析：由題意知a＝1，由雙曲線定義知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，所以|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.由題意

10、知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，所以|BA|＝|BF1|，所以△BAF1為等腰三角形，因?yàn)椤螰1AF2＝45°，所以∠ABF1＝90°，所以△BAF1為等腰直角三角形．所以|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2.所以S△F1AB＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4. 答案：4 5．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)． (1)求雙曲線的方程； (2)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AB|. 解：(1)因?yàn)殡p曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線

11、的一個(gè)頂點(diǎn)， 所以解得c＝3，b＝， 所以雙曲線的方程為－＝1. (2)雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為F2(3，0)， 所以經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30°的直線的方程為y＝(x－3)． 聯(lián)立得5x2＋6x－27＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝－. 所以|AB|＝ × ＝. 6．(綜合型)設(shè)A，B分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)到漸近線的距離為. (1)求雙曲線的方程； (2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使＋＝t，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)． 解：(1)由題意知a＝2， 因?yàn)橐粭l漸近線為y＝x，即bx－ay＝0. 所以由焦點(diǎn)到漸近線的距離為， 得＝. 又因?yàn)閏2＝a2＋b2， 所以b2＝3， 所以雙曲線的方程為－＝1. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x0≥2. 則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 將直線方程y＝x－2代入雙曲線方程－＝1得x2－16x＋84＝0， 則x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12. 所以解得 所以t＝4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3)． 7