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1、題型練3 大題專項(一) 三角函數(shù)、解三角形綜合問題
題型練第54頁 ?
1.(2019全國Ⅲ,理18)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.
解:(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA.
因為sinA≠0,所以sinA+C2=sinB.
由A+B+C=180°,可得sinA+C2=cosB2,
故cosB2=2sinB2cosB2.
因為cosB2≠0,故sinB2=12,因此B=60°.
(2)由題設(shè)及(1)知△AB
2、C的面積S△ABC=34a.
由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120°-C)sinC=32tanC+12.
由于△ABC為銳角三角形,故0°
3、37,
∴sinA=32.∵B∈π2,π,∴A∈0,π2,∴A=π3.
(2)在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32×-17+12×437=3314.
如圖所示,在△ABC中,過點B作BD⊥AC于點D.
∵sinC=hBC,
∴h=BC·sinC=7×3314=332,
∴AC邊上的高為332.
3.(2019吉林第三次調(diào)研)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為3a2tanC6sinA.
(1)求sin Bcos C的值;
(2)若6cos Bsin C=3,a=3,求b+c的最大值.
解
4、:(1)依題意,得12absinC=3a2tanC6sinA,即3bsinAcosC=3a,
由正弦定理,得3sinBsinAcosC=3sinA.
∵A∈(0,π),∴sinA>0,
∴sinBcosC=33.
(2)∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,
∴sinA=33+36=32.
∵A為銳角,∴cosA=12,
由余弦定理,得9=b2+c2-2bc×12,即9+3bc=(b+c)2,
∴(b+c)2≤9+3×b+c22,整理得14(b+c)2≤9,
即b+c≤6,當且僅當b=c=3時取等號.
故b+c的最大值為6.
4.已知函數(shù)f(x
5、)=4tan xsinπ2-xcosx-π3-3.
(1)求f(x)的定義域與最小正周期;
(2)討論f(x)在區(qū)間-π4,π4上的單調(diào)性.
解:(1)f(x)的定義域為xx≠π2+kπ,k∈Z.
f(x)=4tanxcosxcosx-π3-3
=4sinxcosx-π3-3
=4sinx12cosx+32sinx-3
=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x+3(1-cos2x)-3
=sin2x-3cos2x=2sin2x-π3,
所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)令z=2x-π3,函數(shù)y=2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是-π2+2kπ,π2+2k
6、π,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.設(shè)A=-π4,π4,B=x-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=-π12,π4.所以,當x∈-π4,π4時,f(x)在區(qū)間-π12,π4上單調(diào)遞增,在區(qū)間-π4,-π12上單調(diào)遞減.
5.已知函數(shù)f(x)=3acos2ωx2+12asin ωx-32a(ω>0,a>0)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,其中點A為圖象上的最高點,點B,C為圖象與x軸的兩個相鄰交點,且△ABC是邊長為4的正三角形.
(1)求ω與a的值;
(2)若f(x0)=835,且x0∈-103,23,求
7、f(x0+1)的值.
解:(1)由已知可得f(x)=a32cosωx+12sinωx=asinωx+π3.
∵BC=T2=4,
∴T=8,∴ω=2π8=π4.
由題圖可知,正三角形ABC的高即為函數(shù)f(x)的最大值a,
得a=32BC=23.
(2)由(1)知f(x0)=23sinπ4x0+π3=835,
即sinπ4x0+π3=45.
∵x0∈-103,23,∴π4x0+π3∈-π2,π2,
∴cosπ4x0+π3=1-452=35,
∴f(x0+1)=23sinπ4x0+π4+π3
=23sinπ4x0+π3+π4
=23sinπ4x0+π3cosπ4+cosπ4x
8、0+π3sinπ4=23×45×22+35×22=765.
6.在平面直角坐標系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sin x,cos x),x∈0,π2.
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m與n的夾角為π3,求x的值.
解:(1)∵m=22,-22,n=(sinx,cosx),且m⊥n,
∴m·n=22,-22·(sinx,cosx)
=22sinx-22cosx=sinx-π4=0.
又x∈0,π2,∴x-π4∈-π4,π4.
∴x-π4=0,即x=π4.
∴tanx=tanπ4=1.
(2)由(1)和已知,得cosπ3=m·n|m|·|n|
=sinx-π4222+-222·sin2x+cos2x
=sinx-π4=12.
又x-π4∈-π4,π4,
∴x-π4=π6,即x=5π12.
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